Arithmétique : multiples, diviseurs, nombres pairs et impairs

1. a)$29\times 30=870$ et $870+29=899$, donc $899=29\times 31$. Comme $31$ est un entier, $899$ est un multiple de $29$. (1)
2. b)Division euclidienne : $200=13\times 15+5$ avec $0⩽5<13$. Le plus grand multiple de $13$ inférieur ou égal à $200$ est $13\times 15=195$ (le suivant, $195+13$, dépasse $200$). (1)
3. c)$7+4+2+5=18$ est un multiple de $9$ : $7425$ est divisible par $9$ ($7425=9\times 825$). Le nombre formé par ses deux derniers chiffres, $25$, n’est pas un multiple de $4$ : $7425$ n’est pas divisible par $4$ (il est d’ailleurs impair). (1)
4. d)$45=3^2\times 5$ et $120=2^3\times 3\times 5$ ont pour facteurs communs $3\times 5=15$. ${\displaystyle \frac{45}{120}}={\displaystyle \frac{3}{8}}$, et $3$ et $8=2^3$ n’ont aucun facteur commun : la forme irréductible est ${\displaystyle \frac{3}{8}}$. (1)
5. e)$14n+9=14n+8+1=2(7n+4)+1$, et $7n+4$ est un entier : $14n+9$ est impair pour tout entier $n$. (1)

Repère — Multiple : une égalité a = b × k avec k entier. Non multiple : un reste non nul.

1. a)On cherche les paires jusqu’à $d=10$, car $11\times 11=121>110$ : $110=1\times 110=2\times 55=5\times 22=10\times 11$, et $3$, $4$, $6$, $7$, $8$, $9$ ne divisent pas $110$. Les diviseurs positifs de $110$ sont $1$, $2$, $5$, $10$, $11$, $22$, $55$ et $110$. (1)
2. b)$110$ a $8$ diviseurs positifs. Dans $\mathbb{Z}$, si $d$ divise $110$, alors $-d$ aussi : on ajoute les $8$ opposés. $110$ a $16$ diviseurs dans $\mathbb{Z}$. (1)
3. c)$7\times 285=1995$ et $7\times 286=2002$ : $2000=7\times 285+5$ avec $0⩽5<7$. Le reste vaut $5$, il n’est pas nul : $7$ ne divise pas $2000$. (1)

Repère — Dans ℤ, chaque diviseur positif a un opposé qui est aussi un diviseur : le nombre de diviseurs double.

1. a)Soit $a$ et $b$ deux multiples de $9$ : il existe deux entiers relatifs $k$ et $k\prime$ tels que $a=9k$ et $b=9k\prime$. Alors $a+b=9k+9k\prime =9(k+k\prime )$. Comme $k$ et $k\prime$ sont des entiers, $K=k+k\prime$ est un entier, et $a+b=9K$ : $a+b$ est un multiple de $9$. (1)
2. b)Soit $n$ un entier impair : il existe $k\in \mathbb{Z}$ tel que $n=2k+1$. Alors $n^2$ $=(2k+1{)}^2$ $=4k^2+4k+1$ $=2(2k^2+2k)+1$. Le nombre $m=2k^2+2k$ est un entier (sommes et produits d’entiers). Ainsi $n^2=2m+1$ : $n^2$ est impair. (1)
3. c)Soit $n$ un entier tel que $n^2$ est pair. Raisonnons par l’absurde : si $n$ était impair, $n^2$ serait impair d’après la question précédente, ce qui contredit l’hypothèse. Donc $n$ est pair. (1)
4. d)D’après la question précédente, $n$ est pair : il existe $k\in \mathbb{Z}$ tel que $n=2k$. Alors $n^2=4k^2$, et $k^2$ est un entier : $n^2$ est un multiple de $4$. (1)

Repère — Une démonstration commence par traduire l’hypothèse avec des lettres et finit par « … est un entier ».

1. a)On distingue deux cas, car rien n’est supposé sur $n$.
   • Si $n$ est pair, $n=2k$ et $3n^2+n=12k^2+2k=2(6k^2+k)$ : c’est un nombre pair.
   • Si $n$ est impair, $n=2k+1$ et $3n^2+n$ $=3(4k^2+4k+1)+2k+1$ $=12k^2+14k+4$ $=2(6k^2+7k+2)$ : c’est un nombre pair.
   Dans les deux cas, $6k^2+k$ et $6k^2+7k+2$ sont des entiers : $3n^2+n$ est pair pour tout entier $n$. (1)
2. b)Soit $a$ pair et $b$ impair : il existe deux entiers $k$ et $p$ tels que $a=2k$ et $b=2p+1$. Alors $a+b=2k+2p+1=2(k+p)+1$, et $k+p$ est un entier : $a+b$ est impair. (1)
3. c)On développe : $(2n+1{)}^2+(2n+3{)}^2$ $=4n^2+4n+1+4n^2+12n+9$ $=8n^2+16n+10$ $=2(4n^2+8n+5)$, et $4n^2+8n+5$ est un entier : ce nombre est pair. De plus, $8n^2+16n+10=4(2n^2+4n+2)+2$. Supposons qu’il s’écrive $4m$ avec $m$ entier : alors $4(m-2n^2-4n-2)=2$, soit $m-2n^2-4n-2={\displaystyle \frac{1}{2}}$, ce qui est impossible pour un entier. Ce nombre n’est donc jamais un multiple de $4$. (1)
4. d)Des exemples ne prouvent pas une propriété « pour tout entier » ; ici, l’élève n’a testé que des nombres impairs. Un seul contre-exemple suffit à montrer que l’affirmation est fausse : pour $n=2$, $n^2+3=7$, qui est impair. (En fait, $n^2+3$ est pair exactement lorsque $n$ est impair.) (1)

Repère — « Pour tout entier n » sans autre hypothèse : on traite n pair, puis n impair.

1. a)$90=2\times 45=2\times 3^2\times 5$ et $225=9\times 25=3^2\times 5^2$. (1)
2. b)Il y a $90+225=315$ fleurs, et $315=3^2\times 5\times 7$. La proportion de roses vaut ${\displaystyle \frac{90}{315}}={\displaystyle \frac{2\times 3^2\times 5}{3^2\times 5\times 7}}={\displaystyle \frac{2}{7}}$ ; $2$ et $7$ n’ont aucun facteur commun : c’est la forme irréductible. (1)
3. c)Toutes les fleurs sont utilisées : le nombre de bouquets divise $90$ (les roses se répartissent exactement) et $225$ (les tulipes aussi). C’est donc un diviseur commun de $90$ et $225$. Les facteurs premiers communs sont $3^2$ et $5$ : le plus grand diviseur commun est $3^2\times 5=45$. On peut composer au maximum $45$ bouquets, chacun de ${\displaystyle \frac{90}{45}}=2$ roses et ${\displaystyle \frac{225}{45}}=5$ tulipes. (1)
4. d)$90=15\times 6$ et $225=15\times 15$ : $15$ divise $90$ et $225$, il peut composer $15$ bouquets de $6$ roses et $15$ tulipes. En revanche, $30=2\times 3\times 5$ contient le facteur $2$, alors que $225$ est impair : $30$ ne divise pas $225$ ($225=30\times 7+15$). Les tulipes ne pourraient pas être réparties exactement entre $30$ bouquets : c’est impossible. (1)

Repère — « Répartir toutes les fleurs en paquets identiques » : le nombre de paquets est un diviseur commun.