Logique : propositions, implication et raisonnements

Propositions, « pour tout » et « il existe », contre-exemple, « et », « ou » et négation, implication, réciproque, contraposée, équivalence, disjonction des cas et raisonnement par l’absurde.

À propos de cette page

Cinq problèmes corrigés de logique : un « vrai ou faux » justifié sur les carrés et la divisibilité, l’entrée gratuite d’un musée (« ou » inclusif, réciproque, contraposée), quatre cartes à retourner pour tester une règle, les sommes d’entiers consécutifs, et un enclos rectangulaire de périmètre 36 m dont on prouve par l’absurde l’aire impossible.

5 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je repère la forme de chaque affirmation : « pour tout » (même caché), « il existe », « et », « ou », « si…, alors… ».
Je teste quelques valeurs (dont zéro, des négatifs, des décimaux) pour savoir si l’affirmation semble vraie ou fausse.
Fausse : un contre-exemple, avec le calcul qui le prouve. Vraie : je choisis le raisonnement (direct, contraposée, disjonction des cas, absurde) et je l’annonce.
Je conclus par une phrase qui répond à la question et revient au contexte (visiteurs, cartes, enclos…).

Problème 1 · Vrai ou faux, en justifiant★★★Facile

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant : une réponse sans justification ne rapporte aucun point.

1. Affirmation A : « le carré d’un nombre réel est toujours supérieur ou égal à ce nombre ». Elle est fausse : pour $x = 0, 5$ , $x^{2} =$
$0, 5^{2} = 0, 25$ et $0, 25 < 0, 5$ : $x = 0, 5$ est un contre-exemple, l’affirmation A est fausse.
2. Affirmation B : « si un entier est divisible par $6$ et par $10$ , alors il est divisible par $60$ ». Le plus petit entier naturel non nul qui la contredit est
Les entiers non nuls divisibles par $6$ et par $10$ sont $30$ , $60$ , $90$ … Or $30 = 6 \times 5 = 10 \times 3$ n’est pas divisible par $60$ . B est fausse.
3. Affirmation C : « pour tous réels $a$ et $b$ , si $a < b$ , alors $a^{2} < b^{2}$ ». Avec $a = - 3$ et $b = 1$ , $a^{2} =$
$- 3 < 1$ , mais $a^{2} = 9$ et $b^{2} = 1$ , donc $a^{2} > b^{2}$ . C’est un contre-exemple : C est fausse (elle devient vraie si $a$ et $b$ sont positifs).
4. Affirmation D : « il existe un entier dont le carré se termine par $7$ ». Démontrer qu’elle est fausse par disjonction des cas sur le chiffre des unités. Les chiffres des unités possibles d’un carré sont $0$ , $1$ , $4$ , $5$ , $6$ et
Rédaction attendue. Le chiffre des unités de $n^{2}$ ne dépend que de celui de $n$ . Distinguons les dix cas : $0^{2} = 0$ , $1^{2} = 1$ , $2^{2} = 4$ , $3^{2} = 9$ , $4^{2} = 16$ , $5^{2} = 25$ , $6^{2} = 36$ , $7^{2} = 49$ , $8^{2} = 64$ , $9^{2} = 81$ . Le carré se termine donc par $0$ , $1$ , $4$ , $5$ , $6$ ou $9$ , jamais par $7$ . Aucun entier ne convient : l’affirmation D est fausse.

Problème 2 · L’entrée gratuite au musée★★★Moyen

Un musée applique la règle : « l’entrée est gratuite pour toute personne qui a moins de

18

ans ou qui possède la carte Jeunes ». Six visiteurs se présentent : Lina (

16

ans, sans carte), Hugo (

22

ans, avec carte), Sami (

30

ans, sans carte), Emma (

17

ans, avec carte), Paul (

45

ans, sans carte), Inès (

19

ans, sans carte).

1. Nombre de visiteurs qui entrent gratuitement :
Lina et Emma ont moins de $18$ ans ; Hugo a la carte. Sami, Paul et Inès n’ont ni l’un ni l’autre. Trois entrées gratuites.
2. Nombre de visiteurs qui remplissent les deux conditions à la fois (le « ou » est inclusif) :
Seule Emma a moins de $18$ ans et la carte. Elle entre gratuitement : le « ou » inclusif ne l’exclut pas.
3. Négation de la condition de gratuité : « ne pas avoir moins de $18$ ans ne pas posséder la carte ».
non ( $P$ ou $Q$ ) = (non $P$ ) et (non $Q$ ) : on paie quand on a au moins $18$ ans et pas de carte.
4. L’implication « si un visiteur a moins de $18$ ans, alors il entre gratuitement » est vraie, mais sa réciproque est fausse. Justifier avec un contre-exemple : l’âge du visiteur qui contredit la réciproque est
Rédaction attendue. La réciproque est « si un visiteur entre gratuitement, alors il a moins de $18$ ans ». Hugo entre gratuitement (il a la carte) mais il a $22$ ans : l’hypothèse est vraie et la conclusion fausse. La réciproque est donc fausse.
5. La contraposée de l’implication de la question précédente est « si un visiteur paie son entrée, alors il n’a pas moins de $18$ ans ». Parmi les visiteurs qui paient, le plus jeune a ans.
Les visiteurs qui paient sont Sami ( $30$ ans), Paul ( $45$ ans) et Inès ( $19$ ans) : tous ont au moins $18$ ans, comme l’annonce la contraposée. La plus jeune, Inès, a $19$ ans.

Problème 3 · Quatre cartes et une règle★★★Moyen

Chaque carte porte un nombre entier sur une face et une couleur sur l’autre. On veut vérifier la règle

R

: « si une carte porte un nombre pair, alors son autre face est rouge ». Sur la table, on voit les faces :

8

3

, rouge, bleu. On ne retourne que les cartes qui peuvent contredire

R

1. La carte montrant un nombre qu’il faut retourner porte le nombre
$8$ est pair : si son autre face n’était pas rouge, $R$ serait fausse. Il faut la retourner. La carte $3$ ne peut pas contredire $R$ : son hypothèse « nombre pair » est fausse.
2. La règle $R$ a pour contraposée « si l’autre face n’est pas rouge, alors le nombre est impair ». La carte de couleur à retourner est la carte
La carte bleue n’est pas rouge : d’après la contraposée, son nombre doit être impair. S’il était pair, $R$ serait fausse. Il faut la retourner.
3. Justifier qu’il est inutile de retourner la carte rouge : elle ne pourrait tester que la de $R$ .
Rédaction attendue. $R$ dit seulement ce qui se passe quand le nombre est pair. Une carte rouge avec un nombre impair ne contredit pas $R$ : l’hypothèse « nombre pair » est fausse. Vérifier que « rouge » entraîne « pair », ce serait tester la réciproque « si l’autre face est rouge, alors le nombre est pair », que $R$ n’affirme pas. La carte rouge ne peut donc pas contredire $R$ .
4. Une autre table montre les faces : $5$ , $12$ , vert, rouge, $14$ , jaune. Nombre de cartes à retourner pour vérifier $R$ :
On retourne les nombres pairs ( $12$ et $14$ ) et les couleurs qui ne sont pas rouges (vert et jaune) : $4$ cartes. Le $5$ et la carte rouge ne peuvent pas contredire $R$ .

Problème 4 · Sommes d’entiers consécutifs★★★Difficile

On dit qu’un entier

N

est « somme de deux consécutifs » s’il existe un entier

n

tel que

N = n + (n + 1)

, et « somme de trois consécutifs » s’il existe un entier

a

tel que

N = a + (a + 1) + (a + 2)

1. Démontrer que tout entier somme de deux consécutifs est impair : $n + (n + 1) = 2 n +$
Rédaction attendue. Soit $N$ une somme de deux consécutifs : $N = n + (n + 1) = 2 n + 1$ avec $n$ entier. $N$ est donc impair. L’implication « si $N$ est somme de deux consécutifs, alors $N$ est impair » est démontrée.
2. Réciproquement, tout entier impair $2 k + 1$ s’écrit $k + (k + 1)$ . Par exemple, $45 =$ $+ 23$ .
$45 = 2 \times 22 + 1 = 22 + 23$ . La réciproque est vraie : « $N$ est somme de deux consécutifs » $\Leftrightarrow$ « $N$ est impair ».
3. Démontrer par l’absurde que $60$ n’est pas somme de deux consécutifs : on obtiendrait $n =$ , qui n’est pas un entier.
Supposons $60 = n + (n + 1)$ avec $n$ entier. Alors $2 n + 1 = 60$ , soit $n = 29, 5$ , qui n’est pas entier : contradiction. On pouvait aussi dire : $60$ est pair, or une somme de deux consécutifs est impaire.
4. On admet (ou on démontre) qu’un entier est somme de trois consécutifs si et seulement si c’est un multiple de $3$ . Le plus petit entier supérieur ou égal à $100$ qui est somme de trois consécutifs s’écrit $a + (a + 1) + (a + 2)$ avec $a =$
$a + (a + 1) + (a + 2) = 3 a + 3 = 3 (a + 1)$ : c’est un multiple de $3$ ; réciproquement, $3 m = (m - 1) + m + (m + 1)$ . Le plus petit multiple de $3$ supérieur ou égal à $100$ est $102 = 3 \times 34$ , donc $a + 1 = 34$ et $a = 33$ : $33 + 34 + 35 = 102$ .

Problème 5 · Un enclos rectangulaire★★★Difficile

Un éleveur veut construire un enclos rectangulaire de périmètre

36

m. On note

L

ℓ

sa longueur et sa largeur, en mètres, avec

L ⩾ ℓ > 0

1. $L + ℓ =$
Le périmètre vaut $2 (L + ℓ) = 36$ , donc $L + ℓ = 18$ .
2. Démontrer que, pour tous réels $L$ et $ℓ$ , $(L - ℓ)^{2} = (L + ℓ)^{2} - 4 L ℓ$ . Pour $L = 13$ et $ℓ = 5$ , les deux membres valent
Rédaction attendue. Avec les identités remarquables (rappel du collège) : $(L + ℓ)^{2} - 4 L ℓ = L^{2} + 2 L ℓ + ℓ^{2} - 4 L ℓ = L^{2} - 2 L ℓ + ℓ^{2} = (L - ℓ)^{2}$ . Le calcul vaut pour tous réels $L$ et $ℓ$ . Pour $L = 13$ , $ℓ = 5$ : $(13 - 5)^{2} = 64$ et $18^{2} - 4 \times 65 = 324 - 260 = 64$ .
3. Démontrer par l’absurde qu’aucun enclos de ce périmètre n’a une aire de $90$ m². On obtiendrait $(L - ℓ)^{2} =$
Rédaction attendue. Supposons qu’un tel enclos existe : $L + ℓ = 18$ et $L ℓ = 90$ . Alors $(L - ℓ)^{2} = 18^{2} - 4 \times 90 = 324 - 360 = - 36$ . Or un carré est toujours positif ou nul : contradiction. Aucun enclos de périmètre $36$ m n’a une aire de $90$ m².
4. Pour une aire de $77$ m², la longueur est $L =$ m.
$(L - ℓ)^{2} = 324 - 4 \times 77 = 324 - 308 = 16$ et $L - ℓ ⩾ 0$ , donc $L - ℓ = 4$ . Avec $L + ℓ = 18$ : $2 L = 22$ , $L = 11$ et $ℓ = 7$ . Vérification : $11 \times 7 = 77$ .
5. Comme $(L - ℓ)^{2} ⩾ 0$ , l’aire $L ℓ$ d’un enclos de périmètre $36$ m est au plus m².
$(L - ℓ)^{2} = 324 - 4 L ℓ ⩾ 0$ donne $4 L ℓ ⩽ 324$ , soit $L ℓ ⩽ 81$ . L’aire $81$ m² est atteinte pour $L = ℓ = 9$ : l’enclos carré.

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