Logique : propositions, implication et raisonnements

Propositions, « pour tout » et « il existe », contre-exemple, « et », « ou » et négation, implication, réciproque, contraposée, équivalence, disjonction des cas et raisonnement par l’absurde.

À propos de cette page

Ce cours de maths de 2nde sur la logique suit cinq parties : propositions avec « pour tout » et « il existe » et contre-exemple, connecteurs « et », « ou » et négation, implication, réciproque et équivalence, contraposée, puis disjonction des cas et raisonnement par l’absurde. Chaque partie donne des exemples rédigés, dont la réciproque et la contraposée du théorème de Pythagore.

Propositions, « pour tout », « il existe » et contre-exemple

Ce qu’il faut savoir

Proposition. Une proposition mathématique est une phrase dont on peut dire si elle est vraie ou fausse (l’un ou l’autre, jamais les deux). « $15$ est un multiple de $4$ » est une proposition (fausse). « Calcule $15 \times 4$ » (une consigne) ou « $x + 1$ » (une expression) n’en sont pas.

Proposition qui dépend d’une variable. On note $P (n)$ : « $n + 7$ est un multiple de $3$ ». Sa vérité dépend de l’entier $n$ : $P (2)$ est vraie ( $2 + 7 = 9$ ), $P (3)$ est fausse ( $3 + 7 = 10$ ).

« Pour tout » (quantification universelle). « Pour tout réel $x$ , … » (ou « quel que soit $x$ ») : la propriété doit être vraie pour chaque valeur. Elle est souvent cachée : « le carré d’un réel est positif » veut dire « pour tout réel $x$ , $x^{2} ⩾ 0$ ».

« Il existe » (quantification existentielle). « Il existe un entier $n$ tel que … » : la propriété est vraie pour au moins une valeur (une ou plusieurs).

Proposition	Pour prouver qu’elle est vraie	Pour prouver qu’elle est fausse
« Pour tout … »	une démonstration valable pour toutes les valeurs	un contre-exemple suffit
« Il existe … »	un exemple suffit	montrer que la propriété échoue pour toutes les valeurs

Un contre-exemple est une valeur, prise dans l’ensemble indiqué, pour laquelle la propriété annoncée « pour tout » est fausse. Les symboles $\forall$ et $\exists$ ne sont pas au programme de 2nde : on écrit les mots.

Exemples

Un « il existe » vrai. « Il existe un entier $n$ tel que $5 n + 2 = 62$ » est vraie : pour $n = 12$ , $5 \times 12 + 2 = 60 + 2 = 62$ . Un exemple suffit.

Un « pour tout » vrai. « Pour tout entier $n$ , $4 n + 6$ est pair. » On écrit $4 n + 6 = 2 (2 n + 3)$ , où $2 n + 3$ est un entier : $4 n + 6$ est le double d’un entier, donc il est pair. Le calcul vaut pour tous les entiers $n$ .

Un « pour tout » faux. « Pour tout réel $x$ , $2 x > x$ » est fausse. Contre-exemple : $x = - 4$ , car $2 x = - 8$ et $- 8 < - 4$ .

Des exemples ne prouvent rien. « Pour tout entier $n ⩾ 1$ , $n^{2} - n + 11$ est un nombre premier. » Pour $n = 1, 2, \dots, 10$ , on obtient $11$ , $13$ , $17$ , $23$ , $31$ , $41$ , $53$ , $67$ , $83$ , $101$ : tous premiers. Pourtant, pour $n = 11$ : $11^{2} - 11 + 11 = 121 = 11 \times 11$ , qui n’est pas premier. La proposition est fausse et $n = 11$ est un contre-exemple.

Réflexe — Je repère d’abord le quantificateur, même caché. « Pour tout » : vraie, je la démontre par un calcul général ; fausse, je donne un contre-exemple et je vérifie le calcul. « Il existe » : un exemple qui convient suffit.

Attention — Dix exemples qui marchent ne démontrent pas un « pour tout ». Et un contre-exemple doit appartenir à l’ensemble indiqué : pour « pour tout entier naturel $n$ », la valeur $n = - 1$ ou $n = 0, 5$ ne compte pas.

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Et, ou, négation

Ce qu’il faut savoir

« Et ». « $P$ et $Q$ » est vraie seulement quand $P$ et $Q$ sont toutes les deux vraies.

« Ou ». « $P$ ou $Q$ » est vraie dès qu’au moins une des deux est vraie. Le « ou » des mathématiques est inclusif : il n’exclut pas que les deux soient vraies (contrairement au « fromage ou dessert » d’un menu).

Négation. La négation de $P$ , notée « non $P$ », est vraie exactement quand $P$ est fausse.

$P$	$Q$	$P$ et $Q$	$P$ ou $Q$	non $P$
V	V	V	V	F
V	F	F	V	F
F	V	F	V	V
F	F	F	F	V

Négations à connaître ( $x$ et $a$ réels, $n$ entier) :

la négation de $x < a$ est $x ⩾ a$ ; celle de $x ⩽ a$ est $x > a$ ; celle de $x = a$ est $x \neq a$ ;
la négation de « $n$ est pair » est « $n$ est impair » ;
non ( $P$ et $Q$ ) est « (non $P$ ) ou (non $Q$ ) » ; non ( $P$ ou $Q$ ) est « (non $P$ ) et (non $Q$ ) ».

Avec les ensembles. « $x \in A$ et $x \in B$ » signifie $x \in A \cap B$ ; « $x \in A$ ou $x \in B$ » signifie $x \in A \cup B$ ; « non ( $x \in A$ ) » signifie que $x$ est dans le complémentaire de $A$ . Ainsi $x \in [3; 8 [$ s’écrit « $x ⩾ 3$ et $x < 8$ ».

Exemples

Compter avec « et », « ou ». On choisit un entier $n$ de $E = {1; 2; \dots; 20}$ . $P$ : « $n$ est un multiple de $4$ », $Q$ : « $n > 13$ ».

« $P$ et $Q$ » est vraie pour $16$ et $20$ seulement.
« $P$ ou $Q$ » est vraie pour $4$ , $8$ , $12$ et pour $14$ , $15$ , …, $20$ : $10$ entiers. Avec les ensembles $A = {4; 8; 12; 16; 20}$ et $B = {14; \dots; 20}$ , on retrouve $C a r d (A \cup B) = 5 + 7 - 2 = 10$ : les deux nombres de $A \cap B$ sont comptés deux fois dans $5 + 7$ .
« non $P$ » est vraie pour les $15$ entiers de $E$ qui ne sont pas multiples de $4$ .

Nier un encadrement. La négation de « $x ⩾ 3$ et $x < 8$ » est « $x < 3$ ou $x ⩾ 8$ » : $x$ est dans $] - \infty; 3 [\cup [8; + \infty [$ , le complémentaire de $[3; 8 [$ dans $ℝ$ .

Nier une phrase. La négation de « le triangle est rectangle ou isocèle » est « le triangle n’est ni rectangle ni isocèle », c’est-à-dire « il n’est pas rectangle et il n’est pas isocèle ».

Réflexe — Pour nier, je retourne chaque comparaison ( $<$ devient $⩾$ , $=$ devient $\neq$ ) et j’échange « et » avec « ou ». Pour savoir si « $P$ ou $Q$ » est vraie, une seule des deux me suffit.

Attention — La négation de $x > 5$ est $x ⩽ 5$ , pas $x < 5$ : le cas $x = 5$ appartient à la négation. Et la négation de « $P$ et $Q$ » n’est pas « non $P$ et non $Q$ ».

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Implication, réciproque, équivalence

Ce qu’il faut savoir

Implication. « Si $P$ , alors $Q$ » se note $P \Rightarrow Q$ (« $P$ implique $Q$ ») : chaque fois que $P$ est vraie, $Q$ est vraie. Elle est fausse dans un seul cas : $P$ vraie et $Q$ fausse. Quand elle contient une variable, un « pour tout » est sous-entendu.

Pour la démontrer : on suppose $P$ vraie et on en déduit $Q$ par des étapes justifiées.
Pour montrer qu’elle est fausse : un contre-exemple, c’est-à-dire un cas où $P$ est vraie et $Q$ fausse.

Réciproque. La réciproque de $P \Rightarrow Q$ est $Q \Rightarrow P$ (on échange les deux propositions). Une implication vraie peut avoir une réciproque fausse.

Équivalence. Quand $P \Rightarrow Q$ et $Q \Rightarrow P$ sont vraies toutes les deux, on écrit $P \Leftrightarrow Q$ : « $P$ si et seulement si $Q$ », « $P$ équivaut à $Q$ ». Dans la résolution d’une équation, on écrit $\Leftrightarrow$ seulement si chaque étape se lit dans les deux sens.

Un exemple du collège. Le théorème de Pythagore et sa réciproque forment une équivalence : le triangle $A B C$ est rectangle en $A$ si et seulement si $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ .

Exemples

Une équivalence. Pour un réel $x$ : $2 x + 1 > 7 \Leftrightarrow 2 x > 6 \Leftrightarrow x > 3$ (on ajoute $- 1$ , puis on divise par $2 > 0$ : chaque étape se lit dans les deux sens). Donc « si $x > 3$ , alors $2 x + 1 > 7$ » est vraie, et sa réciproque aussi.

Une réciproque fausse (nombres). Pour des réels $a$ et $b$ : « si $a = b$ , alors $a^{2} = b^{2}$ » est vraie. Sa réciproque « si $a^{2} = b^{2}$ , alors $a = b$ » est fausse : pour $a = 7$ et $b = - 7$ , $a^{2} = 49 = b^{2}$ , mais $7 \neq - 7$ .

Une réciproque fausse (géométrie). « Si un quadrilatère est un carré, alors ses diagonales ont la même longueur » est vraie. Sa réciproque est fausse : un rectangle de $6$ cm sur $4$ cm a deux diagonales de même longueur, mais ce n’est pas un carré.

Utiliser la réciproque de Pythagore. Le triangle $D E F$ vérifie $D E = 8$ , $E F = 15$ , $D F = 17$ . Le plus grand côté est $[D F]$ : $D F^{2} = 289$ et $D E^{2} + E F^{2} = 64 + 225 = 289$ . L’égalité est vraie, donc, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, $D E F$ est rectangle en $E$ .

Réflexe — Pour juger une implication, je pars de l’hypothèse et je cherche à arriver à la conclusion ; si je n’y arrive pas, je cherche un cas où l’hypothèse est vraie et la conclusion fausse. Pour une équivalence, je vérifie les deux sens.

Attention — Démontrer la réciproque ne démontre pas l’implication. Et « $x^{2} = 49 \Leftrightarrow x = 7$ » est faux : élever au carré ne se lit pas dans les deux sens, la solution $- 7$ serait perdue.

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Contraposée

Ce qu’il faut savoir

Contraposée. La contraposée de « si $P$ , alors $Q$ » est « si non $Q$ , alors non $P$ » : on nie les deux propositions et on les échange.

Propriété. Une implication et sa contraposée sont toujours vraies en même temps ou fausses en même temps. Ce n’est pas le cas de la réciproque.

À partir de « si $P$ , alors $Q$ »	Forme	Même vérité que l’implication ?
Réciproque	si $Q$ , alors $P$	pas forcément
Contraposée	si non $Q$ , alors non $P$	toujours

Raisonner par contraposée. Pour démontrer « si $P$ , alors $Q$ », on peut démontrer sa contraposée « si non $Q$ , alors non $P$ ». C’est utile quand « non $Q$ » donne une information plus facile à exploiter que $P$ .

Un exemple du collège. La contraposée du théorème de Pythagore : si $B C^{2} \neq A B^{2} + A C^{2}$ , alors le triangle $A B C$ n’est pas rectangle en $A$ .

Exemples

Dans la vie courante. « S’il pleut, alors le sol est mouillé » a pour contraposée « si le sol n’est pas mouillé, alors il ne pleut pas » (vraie elle aussi). Sa réciproque « si le sol est mouillé, alors il pleut » est fausse : on a pu arroser.

Démontrer par contraposée. Pour tous réels $a$ et $b$ : « si $a + b > 10$ , alors $a > 5$ ou $b > 5$ ».

Contraposée : « si $a ⩽ 5$ et $b ⩽ 5$ , alors $a + b ⩽ 10$ » (la négation de « $a > 5$ ou $b > 5$ » est « $a ⩽ 5$ et $b ⩽ 5$ »). Supposons $a ⩽ 5$ et $b ⩽ 5$ . En ajoutant ces deux inégalités de même sens, $a + b ⩽ 10$ . La contraposée est vraie, donc l’implication de départ est vraie.

Montrer qu’un triangle n’est pas rectangle. Le triangle $G H K$ vérifie $G H = 6$ , $H K = 7$ , $G K = 9$ . S’il était rectangle, l’hypoténuse serait le plus grand côté $[G K]$ et l’angle droit serait en $H$ . Or $G K^{2} = 81$ et $G H^{2} + H K^{2} = 36 + 49 = 85$ : $81 \neq 85$ . D’après la contraposée du théorème de Pythagore, $G H K$ n’est pas rectangle en $H$ , donc il n’est pas rectangle.

Réflexe — Pour écrire la contraposée, je nie l’hypothèse et la conclusion (en échangeant « et » et « ou ») puis je les mets dans l’ordre inverse. Quand la conclusion à démontrer est difficile à atteindre directement, j’essaie la contraposée et je l’annonce : « Raisonnons par contraposée ».

Attention — Ne confonds pas : la réciproque échange sans nier, la contraposée échange et nie. Démontrer « si $Q$ , alors $P$ » ne prouve rien sur « si $P$ , alors $Q$ ».

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Disjonction des cas et raisonnement par l’absurde

Ce qu’il faut savoir

Disjonction des cas. On découpe la situation en cas qui couvrent toutes les possibilités ( $n$ pair ou $n$ impair ; $x ⩾ 0$ ou $x < 0$ ; reste $0$ , $1$ ou $2$ dans la division par $3$ …), on démontre le résultat dans chaque cas, puis on conclut.

Raisonnement par l’absurde. Pour démontrer une proposition, on suppose qu’elle est fausse et on en déduit une contradiction (un résultat impossible, ou contraire à une hypothèse ou à une propriété connue). L’hypothèse « la proposition est fausse » est donc intenable : la proposition est vraie.

Quel raisonnement choisir ?

Situation	Raisonnement
Une affirmation « pour tout » semble fausse	un contre-exemple
« Si …, alors … » avec une hypothèse peu maniable	par contraposée
Plusieurs situations qui se traitent différemment	par disjonction des cas
Conclusion négative : « il n’existe pas », « ne peut pas »	par l’absurde

Exemples

Par disjonction des cas : pour tout entier $n$ , $n^{2} + 5 n$ est pair.

Si $n$ est pair, $n = 2 k$ avec $k$ entier : $n^{2} + 5 n = 4 k^{2} + 10 k = 2 (2 k^{2} + 5 k)$ , qui est pair.
Si $n$ est impair, $n = 2 k + 1$ : $n^{2} + 5 n = (4 k^{2} + 4 k + 1) + (10 k + 5)$ $= 4 k^{2} + 14 k + 6$ $= 2 (2 k^{2} + 7 k + 3)$ , qui est pair.

Un entier est pair ou impair : les deux cas couvrent tout. Donc, pour tout entier $n$ , $n^{2} + 5 n$ est pair.

Par l’absurde : il n’existe pas de plus grand entier pair. Supposons qu’il existe un plus grand entier pair $N$ . Alors $N + 2$ est pair aussi, et $N + 2 > N$ : c’est une contradiction avec le fait que $N$ est le plus grand. Il n’existe donc pas de plus grand entier pair.

Par l’absurde : un triangle ne peut pas avoir deux angles obtus. Supposons qu’un triangle ait deux angles obtus, chacun strictement supérieur à $90 °$ . Leur somme dépasse alors $180 °$ , alors que la somme des trois angles d’un triangle vaut $180 °$ : contradiction. Un triangle a donc au plus un angle obtus.

Réflexe — J’annonce la méthode dès la première ligne : « Distinguons deux cas » ou « Raisonnons par l’absurde : supposons que… ». Pour l’absurde, je pars de la négation exacte de ce que je veux prouver ; pour la disjonction, je vérifie que mes cas n’oublient aucune valeur.

Attention — Une disjonction qui oublie un cas ne prouve rien (par exemple $x > 0$ et $x < 0$ oublient $x = 0$ ). Et dans un raisonnement par l’absurde, la contradiction doit porter sur un fait certain, pas sur une simple impression.

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Pour aller plus loin

Ensembles de nombres et intervalles. Les notations $\in$ , $\subset$ , $\cap$ , $\cup$ , $\emptyset$ , le complémentaire, les ensembles $ℕ$ , $ℤ$ , $𝔻$ , $ℚ$ , $ℝ$ et les intervalles sont traités dans le chapitre Ensembles de nombres, intervalles et valeur absolue, avec deux démonstrations par l’absurde du programme : $\frac{1}{3}$ n’est pas décimal et $\sqrt{2}$ est irrationnel.

Pairs, impairs, multiples. Écrire un entier pair $2 k$ , un impair $2 k + 1$ , et démontrer que le carré d’un nombre impair est impair : chapitre Arithmétique.

Compter les éléments. La notation $C a r d (A)$ (nombre d’éléments d’un ensemble fini) sert surtout en probabilités : chapitre Probabilités.

En 1re spécialité. Conditions nécessaires et suffisantes, négation d’une proposition avec « pour tout » ou « il existe » : chapitre Logique, raisonnement et listes Python.

À retenir

Une proposition est vraie ou fausse. Un « pour tout » se démontre par un raisonnement général et se réfute par un contre-exemple ; un « il existe » se prouve par un exemple.
« $P$ et $Q$ » : les deux vraies ; « $P$ ou $Q$ » : au moins une vraie (« ou » inclusif). Négations : $<$ devient $⩾$ , $=$ devient $\neq$ , « et » devient « ou » et inversement.
$P \Rightarrow Q$ est fausse seulement si $P$ est vraie et $Q$ fausse. Réciproque : $Q \Rightarrow P$ , pas forcément vraie. $P \Leftrightarrow Q$ : les deux sens sont vrais.
Contraposée de « si $P$ , alors $Q$ » : « si non $Q$ , alors non $P$ », toujours de même vérité que l’implication.
Disjonction des cas : des cas qui couvrent tout. Absurde : supposer le contraire et aboutir à une contradiction.

Questions fréquentes

Comment prouver qu’une affirmation « pour tout » est fausse ?

Il suffit d’un contre-exemple : une seule valeur, prise dans l’ensemble indiqué, pour laquelle l’affirmation est fausse, avec le calcul qui le montre. À l’inverse, des exemples qui marchent ne suffisent jamais à démontrer un « pour tout » : il faut un raisonnement valable pour toutes les valeurs.

Quelle est la négation de « et » et de « ou » ?

La négation de « P et Q » est « non P ou non Q », et celle de « P ou Q » est « non P et non Q ». Pour une comparaison, on retourne le symbole : la négation de x < 5 est x ≥ 5, celle de x = 5 est x ≠ 5. En maths, le « ou » est inclusif : les deux peuvent être vraies.

Quelle est la différence entre une implication et sa réciproque ?

L’implication « si P, alors Q » dit que P entraîne Q. Sa réciproque « si Q, alors P » échange les deux propositions et peut être fausse alors que l’implication est vraie : « si x = 10, alors x² = 100 » est vraie, mais x² = 100 n’entraîne pas x = 10 (x = −10 convient aussi). Quand les deux sont vraies, c’est une équivalence, notée P ⇔ Q.

Qu’est-ce que la contraposée d’une implication ?

La contraposée de « si P, alors Q » est « si non Q, alors non P » : on nie les deux propositions et on les échange. Elle est toujours vraie en même temps que l’implication, ce qui permet de démontrer l’une à la place de l’autre. La contraposée du théorème de Pythagore sert à montrer qu’un triangle n’est pas rectangle.

Quand utiliser une disjonction des cas ou un raisonnement par l’absurde ?

On fait une disjonction des cas quand la situation se découpe en cas qui se traitent différemment et qui couvrent tout (n pair ou impair, x positif ou négatif). On raisonne par l’absurde quand la conclusion est négative (« il n’existe pas », « ne peut pas ») : on suppose le contraire et on aboutit à une contradiction.

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