Qu'apprend-on en arithmétique en seconde ?

En seconde, l'arithmétique porte sur les entiers : les ensembles ℕ et ℤ, les notions de multiple et de diviseur, les nombres pairs et impairs, les nombres premiers et la mise d'une fraction sous forme irréductible. Deux démonstrations sont au programme : la somme de deux multiples d'un entier est un multiple de cet entier, et le carré d'un nombre impair est impair.

Comment montrer qu'un nombre est un multiple d'un autre ?

On montre que a est un multiple de b en écrivant a = b × k avec k entier relatif. Avec une expression littérale, on développe puis on factorise par b : par exemple 21n + 35 = 7(3n + 5), et 3n + 5 est un entier, donc 21n + 35 est un multiple de 7.

Comment démontrer que le carré d'un nombre impair est impair ?

On écrit le nombre impair sous la forme n = 2k + 1 avec k entier. Alors n² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1, et 2k² + 2k est un entier : n² est donc de la forme 2m + 1, il est impair. C'est une démonstration exigible en seconde.

Comment rendre une fraction irréductible ?

On décompose le numérateur et le dénominateur en produits de facteurs premiers, puis on simplifie par tous les facteurs communs. La fraction est irréductible quand le numérateur et le dénominateur n'ont plus aucun diviseur commun autre que 1.

Le nombre 1 est-il un nombre premier ?

Non. Un nombre premier est un entier naturel qui possède exactement deux diviseurs positifs distincts, 1 et lui-même. Le nombre 1 n'a qu'un seul diviseur positif, donc il n'est pas premier ; le plus petit nombre premier est 2, qui est aussi le seul nombre premier pair.

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Arithmétique : multiples, diviseurs, nombres pairs et impairs

Notations ℕ et ℤ, multiples et diviseurs, nombres pairs et impairs, fraction irréductible, démonstrations au programme (somme de multiples, carré d'un impair) — thème Nombres et calculs

À propos de cette page

Ce cours d' en seconde sur « Arithmétique : multiples, diviseurs, nombres pairs et impairs » suit le programme officiel d' de seconde. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : L'essentiel : ℕ, ℤ, multiples et diviseurs, Propriétés des multiples et critères de divisibilité, Nombres pairs et nombres impairs, Démonstrations au programme. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de seconde à réussir en .

L'essentiel : ℕ, ℤ, multiples et diviseurs

Ensembles ℕ et ℤ.

ℕ = {0; 1; 2; 3; \dots}

est l'ensemble des entiers naturels.

ℤ = {\dots; - 2; - 1; 0; 1; 2; \dots}

est l'ensemble des entiers relatifs. Tout entier naturel est un entier relatif :

ℕ \subset ℤ

. On écrit

- 4 \in ℤ

mais

- 4 \notin ℕ

Multiple, diviseur. Soit

a

b

deux entiers relatifs. On dit que

a

est un multiple de

b

s'il existe un entier relatif

k

tel que

a = k \times b

. Lorsque

b \neq 0

, on dit aussi que

b

est un diviseur de

a

, ou que

b

divise

a

Exemples.

91 = 7 \times 13

: 91 est un multiple de 7 et de 13 ; 7 et 13 sont des diviseurs de 91.

- 56 = 8 \times (- 7)

- 56

est un multiple de 8.

0 = 0 \times b

: 0 est un multiple de tout entier. Enfin 1 et

- 1

divisent tout entier.

Test pratique. Pour

b \neq 0

b

divise

a

si et seulement si le quotient

\frac{a}{b}

est un entier, c'est-à-dire si le reste de la division euclidienne de

a

par

b

est nul. En Python :

a

Propriétés des multiples et critères de divisibilité

Propriété (stabilité). Soit

n

un entier. Si

a

b

sont deux multiples de

n

, alors

a + b

a - b

k \times a

(pour tout

k \in ℤ

) sont encore des multiples de

n

Exemple. 57 et 76 sont des multiples de 19 (

57 = 19 \times 3

76 = 19 \times 4

), donc

57 + 76 = 133 = 19 \times 7

76 - 57 = 19 = 19 \times 1

en sont aussi.

Diviseurs d'un entier. Un entier

a \neq 0

a un nombre fini de diviseurs. Ses diviseurs positifs vont par paires : si

d

divise

a

, alors

\frac{a}{d}

divise aussi

a

. 1 et

a

sont toujours des diviseurs de

a

. Dans

ℤ

, si

d

divise

a

, alors

- d

aussi.

Un entier est divisible par…	si et seulement si…
2	son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8
3	la somme de ses chiffres est un multiple de 3
4	le nombre formé par ses deux derniers chiffres est un multiple de 4
5	son chiffre des unités est 0 ou 5
9	la somme de ses chiffres est un multiple de 9
10	son chiffre des unités est 0

Exemple. 9 846 : chiffre des unités 6, donc divisible par 2 ;

9 + 8 + 4 + 6 = 27

, donc divisible par 3 et par 9 ; 46 n'est pas un multiple de 4, donc 9 846 n'est pas divisible par 4 ; ni par 5.

Nombres pairs et nombres impairs

Définitions. Un entier

n

est pair s'il est multiple de 2 : il existe

k \in ℤ

tel que

n = 2 k

. Il est impair s'il existe

k \in ℤ

tel que

n = 2 k + 1

. Tout entier est soit pair, soit impair, jamais les deux.

Exemples.

- 26 = 2 \times (- 13)

est pair ;

- 7 = 2 \times (- 4) + 1

est impair ;

0 = 2 \times 0

est pair. Pour tout

n \in ℤ

2 n + 6 = 2 (n + 3)

est pair et

2 n + 5 = 2 (n + 2) + 1

est impair.

	pair et pair	pair et impair	impair et impair
Somme	paire	impaire	paire
Produit	pair	pair	impair

Deux entiers consécutifs

n

n + 1

sont toujours de parités différentes : l'un des deux est pair. Pour étudier la parité d'une expression valable « pour tout entier

n

», on distingue souvent deux cas :

n = 2 k

n = 2 k + 1

Démonstrations au programme

Propriété 1 (démonstration exigible). La somme de deux multiples d'un entier

n

est un multiple de

n

Démonstration. Soit

a

b

deux multiples de

n

. Par définition, il existe deux entiers relatifs

k

k^{'}

tels que

a = k n

b = k^{'} n

(deux lettres différentes :

a

b

n'ont aucune raison d'être égaux). Alors

a + b = k n + k^{'} n = (k + k^{'}) n

. Comme

k

k^{'}

sont des entiers,

K = k + k^{'}

est un entier et

a + b = K n

. Donc $a + b$ est un multiple de $n$ . Le programme la demande pour une valeur numérique de

n

(par exemple

n = 7

) : la rédaction est identique en remplaçant

n

par cette valeur.

Propriété 2 (démonstration exigible). Le carré d'un nombre impair est impair.

Démonstration. Soit

n

un entier impair : il existe

k \in ℤ

tel que

n = 2 k + 1

. Alors

n^{2} = (2 k + 1)^{2} = 4 k^{2} + 4 k + 1 = 2 (2 k^{2} + 2 k) + 1

. Le nombre

m = 2 k^{2} + 2 k

est un entier, car sommes et produits d'entiers sont des entiers. Ainsi

n^{2} = 2 m + 1

: $n^{2}$ est impair.

Conséquence (contraposée). Si

n^{2}

est pair, alors

n

est pair : en effet, si

n

était impair,

n^{2}

serait impair d'après la propriété 2, ce qui est contraire à l'hypothèse. Ce résultat sert notamment à démontrer que

\sqrt{2}

est irrationnel.

Nombres premiers et fraction irréductible

Nombre premier. Un entier naturel est premier s'il possède exactement deux diviseurs positifs distincts : 1 et lui-même. Nombres premiers inférieurs à 50 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47. Ni 0 ni 1 ne sont premiers.

Test de primalité. Pour savoir si un entier

n ⩾ 2

est premier, il suffit de tester sa divisibilité par les nombres premiers

p

tels que

p^{2} ⩽ n

(c'est-à-dire

p ⩽ \sqrt{n}

). Si aucun ne divise

n

, alors

n

est premier.

Exemples.

\sqrt{197} \approx 14, 04

: 197 n'est divisible ni par 2, 3, 5, 7, 11, ni par 13, donc 197 est premier. En revanche

221 = 13 \times 17

n'est pas premier.

Décomposition en facteurs premiers. Tout entier

n ⩾ 2

s'écrit comme un produit de nombres premiers, et cette écriture est unique à l'ordre près des facteurs. Exemple :

540 = 2^{2} \times 3^{3} \times 5

Fraction irréductible. Une fraction

\frac{a}{b}

(

a

b

entiers,

b \neq 0

) est irréductible lorsque

a

b

n'ont aucun diviseur positif commun autre que 1. Exemple :

\frac{22}{55}

n'est pas irréductible (11 divise 22 et 55) ;

\frac{22}{55} = \frac{2}{5}

, qui l'est. On présente toujours un résultat fractionnaire sous forme irréductible.

Méthodes

Méthode 1 — Montrer qu'une expression est un multiple de $n$

Nommer les entiers en jeu avec des lettres (une lettre par nombre indépendant).
Développer et réduire l'expression.
Mettre $n$ en facteur : écrire l'expression sous la forme $n \times K$ .
Justifier que $K$ est un entier, puis conclure.

Exemple rédigé. Montrons que la somme de trois entiers consécutifs est un multiple de 3. Soit

n \in ℤ

; trois entiers consécutifs s'écrivent

n

n + 1

n + 2

. Leur somme vaut

n + (n + 1) + (n + 2) = 3 n + 3 = 3 (n + 1)

. Comme

n + 1

est un entier, cette somme est un multiple de 3.

Méthode 2 — Lister les diviseurs positifs d'un entier $a$

Tester les entiers $d = 1, 2, 3, \dots$ dans l'ordre.
Chaque fois que $d$ divise $a$ , noter la paire $(d; \frac{a}{d})$ .
S'arrêter dès que $d$ dépasse $\sqrt{a}$ : toutes les paires sont trouvées.

Exemple rédigé. Diviseurs positifs de 150 :

\sqrt{150} \approx 12, 2

. On trouve

150 = 1 \times 150 = 2 \times 75 = 3 \times 50 = 5 \times 30 = 6 \times 25 = 10 \times 15

, et 4, 7, 8, 9, 11, 12 ne divisent pas 150. Les diviseurs positifs de 150 sont 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75 et 150.

Méthode 3 — Rendre une fraction irréductible

Décomposer le numérateur et le dénominateur en produits de facteurs premiers.
Simplifier par tous les facteurs premiers communs.
Vérifier qu'il ne reste aucun facteur premier commun.

Exemple rédigé.

540 = 2^{2} \times 3^{3} \times 5

756 = 2^{2} \times 3^{3} \times 7

. Donc

\frac{540}{756} = \frac{2^{2} \times 3^{3} \times 5}{2^{2} \times 3^{3} \times 7} = \frac{5}{7}

. Comme 5 et 7 sont deux nombres premiers distincts, $\frac{5}{7}$ est irréductible.

Méthode 4 — Démontrer une propriété de parité

Traduire l'hypothèse : $n = 2 k$ (pair) ou $n = 2 k + 1$ (impair), avec $k \in ℤ$ ; deux nombres différents demandent deux lettres différentes.
Calculer l'expression et la réduire.
L'écrire sous la forme $2 K$ (pair) ou $2 K + 1$ (impair), avec $K$ entier.
Si l'énoncé porte sur « tout entier $n$ », traiter séparément les cas $n$ pair et $n$ impair.

Exemple rédigé. Le produit de deux impairs est impair. Soit

a = 2 k + 1

b = 2 p + 1

avec

k, p \in ℤ

. Alors

a b = 4 k p + 2 k + 2 p + 1 = 2 (2 k p + k + p) + 1

. Comme

K = 2 k p + k + p

est un entier,

a b = 2 K + 1

: $a b$ est impair.

Pièges et erreurs classiques

« Divise » n'est pas « est divisé par ». « 6 divise 42 » signifie

42 = 6 \times 7

: c'est 42 qui est un multiple de 6, et non l'inverse.

Même lettre pour deux nombres. Écrire

a = 2 k + 1

b = 2 k + 1

revient à supposer

a = b

: la preuve ne vaut alors que pour deux impairs égaux.

Des exemples ne prouvent rien. Vérifier une propriété pour

n = 1

, 2 et 3 ne la démontre pas. En revanche, un seul contre-exemple suffit à prouver qu'une affirmation générale est fausse.

1 n'est pas premier, et 2 est le seul nombre premier pair. 0 est pair, et c'est un multiple de tout entier.

Multiple de 10 et de 4 ne veut pas dire multiple de 40. 20 est un multiple de 10 et de 4, mais pas de 40.

Simplification incomplète.

\frac{48}{80} = \frac{24}{40}

est juste, mais

\frac{24}{40}

n'est pas irréductible : 24 et 40 sont encore divisibles par 8, d'où

\frac{48}{80} = \frac{3}{5}

En bref

$a$ est un multiple de $b$ (et $b$ divise $a$ ) s'il existe $k \in ℤ$ tel que $a = k b$ .
Pair : $n = 2 k$ ; impair : $n = 2 k + 1$ , avec $k \in ℤ$ .
La somme de deux multiples de $n$ est un multiple de $n$ ; le carré d'un impair est impair (démonstrations exigibles).
Si $n^{2}$ est pair, alors $n$ est pair.
Premier = exactement deux diviseurs positifs ; on teste les premiers $p ⩽ \sqrt{n}$ .
Fraction irréductible : décomposer en facteurs premiers et simplifier par tous les facteurs communs.
Un contre-exemple réfute ; des exemples ne démontrent pas.

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