Arithmétique : multiples, diviseurs, nombres pairs et impairs

Q: Quelle est la différence entre un multiple et un diviseur ?

a est un multiple de b s’il existe un entier relatif k tel que a = kb ; si b n’est pas nul, b est alors un diviseur de a. Exemple : 91 = 7 × 13, donc 91 est un multiple de 7, et 7 est un diviseur de 91.

Q: Comment démontrer qu’une expression est un multiple de 7 ?

On développe, on met 7 en facteur pour écrire 7 × K, puis on justifie que K est un entier. C’est la démonstration du cours : si a = 7k et b = 7k′, alors a + b = 7(k + k′), et k + k′ est un entier.

Q: Comment démontrer que le carré d’un nombre impair est impair ?

On écrit n = 2k + 1 avec k entier. Alors n² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1, et 2k² + 2k est un entier : n² est impair. Par contraposée, si n² est pair, alors n est pair.

Q: Comment montrer qu’une expression est paire pour tout entier n ?

On cherche à l’écrire 2K avec K entier. Si ce n’est pas possible directement, on distingue deux cas : n = 2k (n pair) et n = 2k + 1 (n impair), et on conclut dans chacun.

Q: Comment rendre une fraction irréductible ?

On décompose le numérateur et le dénominateur en produits de facteurs premiers, on simplifie par tous les facteurs communs, puis on vérifie qu’il ne reste aucun diviseur commun autre que 1. Exemple : 540/756 = 5/7.

Notations ℕ et ℤ, multiples et diviseurs (a = kb), somme de multiples, nombres pairs et impairs, fraction irréductible, avec les deux démonstrations du programme.

À propos de cette page

Ce cours d’arithmétique de 2nde suit quatre parties : multiples et diviseurs dans ℤ (définition a = kb, reste, liste des diviseurs, plus grand multiple inférieur ou égal à un entier, fonctions Python), somme de multiples et critères de divisibilité, nombres pairs et impairs, fraction irréductible. Les deux démonstrations du programme sont rédigées : la somme de deux multiples de 7 et le carré d’un nombre impair.

Multiples et diviseurs dans ℤ

Ce qu’il faut savoir

Les ensembles ℕ et ℤ. $ℕ = {0; 1; 2; 3; \dots}$ est l’ensemble des entiers naturels ; $ℤ$ $= {\dots; - 2; - 1; 0; 1; 2; \dots}$ est l’ensemble des entiers relatifs. Tout entier naturel est un entier relatif : $ℕ \subset ℤ$ . On écrit $- 4 \in ℤ$ mais $- 4 \notin ℕ$ .

Multiple, diviseur. Soit $a$ et $b$ deux entiers relatifs. On dit que $a$ est un multiple de $b$ s’il existe un entier relatif $k$ tel que $a = k b$ . Lorsque $b \neq 0$ , on dit aussi que $b$ est un diviseur de $a$ , ou que $b$ divise $a$ .

Cas particuliers. $0 = 0 \times b$ : $0$ est un multiple de tout entier. $1$ et $- 1$ divisent tout entier. Si $d$ divise $a$ , alors $- d$ divise aussi $a$ : dans $ℤ$ , les diviseurs vont par deux, un positif et son opposé.

Tester. Pour $b \neq 0$ : $b$ divise $a$ si et seulement si le quotient $\frac{a}{b}$ est un entier, c’est-à-dire (pour $a$ et $b$ naturels) si le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ est nul. En Python, a % b donne ce reste.

Diviseurs positifs d’un entier $a ⩾ 1$ . Un entier $a \neq 0$ a un nombre fini de diviseurs ; $1$ et $a$ sont toujours des diviseurs de $a$ . Ils vont par paires : si $d$ divise $a$ , alors $\frac{a}{d}$ divise aussi $a$ . On teste $d = 1, 2, 3, \dots$ dans l’ordre et on s’arrête dès que $d \times d > a$ : toutes les paires sont alors trouvées.

Plus grand multiple de $a$ inférieur ou égal à $b$ ( $a$ et $b$ entiers naturels, $a ⩾ 1$ ). On écrit la division euclidienne $b = a q + r$ avec $0 ⩽ r < a$ : le nombre cherché est $a q$ .

Exemples

Avec une égalité. $91 = 7 \times 13$ : $91$ est un multiple de $7$ et de $13$ ; $7$ et $13$ sont des diviseurs de $91$ . De même $- 56 = 8 \times (- 7)$ avec $- 7 \in ℤ$ : $- 56$ est un multiple de $8$ .

Ne pas être un multiple. $6 \times 12 = 72$ et $6 \times 13 = 78$ : $75$ est strictement compris entre deux multiples consécutifs de $6$ , donc $6$ ne divise pas $75$ . Le reste de la division de $75$ par $6$ vaut $75 - 72 = 3$ , il n’est pas nul.

Lister les diviseurs positifs de $150$ . On s’arrête à $d = 12$ , car $13 \times 13 = 169 > 150$ . On trouve $150$ $= 1 \times 150$ $= 2 \times 75$ $= 3 \times 50$ $= 5 \times 30$ $= 6 \times 25$ $= 10 \times 15$ , et $4$ , $7$ , $8$ , $9$ , $11$ , $12$ ne divisent pas $150$ . Les diviseurs positifs de $150$ sont $1$ , $2$ , $3$ , $5$ , $6$ , $10$ , $15$ , $25$ , $30$ , $50$ , $75$ et $150$ .

Plus grand multiple de $17$ inférieur ou égal à $300$ . $300 = 17 \times 17 + 11$ avec $0 ⩽ 11 < 17$ : c’est $17 \times 17 = 289$ (le suivant, $289 + 17$ , dépasse $300$ ).

En Python. La première fonction teste si $a$ est un multiple de $b$ ; la seconde ajoute $a$ tant que l’on ne dépasse pas $b$ :

def est_multiple(a, b):
    return a % b == 0

def plus_grand_multiple(a, b):
    m = 0
    while m + a <= b:
        m = m + a
    return m

est_multiple(91, 7) renvoie True ; plus_grand_multiple(17, 300) renvoie $289$ .

Réflexe — Pour montrer que $a$ est un multiple de $b$ , j’écris l’égalité $a = b \times k$ et je précise que $k$ est un entier. Pour montrer que ce n’est pas le cas, je donne le reste (non nul) ou j’encadre $a$ entre deux multiples consécutifs de $b$ .

Attention — « $6$ divise $42$ » signifie $42 = 6 \times 7$ : c’est $42$ qui est un multiple de $6$ , et non l’inverse. Et un multiple peut être négatif ou nul, puisque $k$ est un entier relatif.

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Somme de multiples : démontrer qu’un nombre est un multiple

Ce qu’il faut savoir

Propriété (démonstration au programme). Soit $n$ un entier. Si $a$ et $b$ sont deux multiples de $n$ , alors $a + b$ est un multiple de $n$ . De même, $a - b$ et $k \times a$ (pour tout $k \in ℤ$ ) sont des multiples de $n$ .

Montrer qu’une expression est un multiple de $n$ . 1. Je nomme les entiers avec des lettres, une lettre par nombre indépendant. 2. Je développe et je réduis. 3. Je mets $n$ en facteur pour écrire $n \times K$ . 4. Je justifie que $K$ est un entier, puis je conclus.

Vrai pour tout entier ? Des exemples, même nombreux, ne démontrent pas une propriété valable pour tous les entiers. En revanche, un seul contre-exemple suffit pour prouver qu’elle est fausse.

Critères de divisibilité (rappel du collège). Un entier est divisible :

par…	si et seulement si…
$2$	son chiffre des unités est $0$ , $2$ , $4$ , $6$ ou $8$
$3$	la somme de ses chiffres est un multiple de $3$
$4$	le nombre formé par ses deux derniers chiffres est un multiple de $4$
$5$	son chiffre des unités est $0$ ou $5$
$9$	la somme de ses chiffres est un multiple de $9$
$10$	son chiffre des unités est $0$

Exemples

Démonstration (avec $n = 7$ , comme le demande le programme). Soit $a$ et $b$ deux multiples de $7$ . Par définition, il existe deux entiers relatifs $k$ et $k'$ tels que $a = 7 k$ et $b = 7 k'$ (deux lettres différentes : $a$ et $b$ n’ont aucune raison d’être égaux). Alors $a + b = 7 k + 7 k' = 7 (k + k')$ . Comme $k$ et $k'$ sont des entiers, $K = k + k'$ est un entier, et $a + b = 7 K$ . Donc $a + b$ est un multiple de $7$ . La rédaction est la même pour toute autre valeur de $n$ .

Sur des nombres. $57 = 19 \times 3$ et $76 = 19 \times 4$ sont des multiples de $19$ , donc $57 + 76 = 133 = 19 \times 7$ et $76 - 57 = 19 = 19 \times 1$ en sont aussi.

Une expression. Montrons que la somme de trois entiers consécutifs est un multiple de $3$ . Soit $n \in ℤ$ : trois entiers consécutifs s’écrivent $n$ , $n + 1$ et $n + 2$ . Leur somme vaut $n + (n + 1) + (n + 2) = 3 n + 3 = 3 (n + 1)$ . Comme $n + 1$ est un entier, cette somme est un multiple de $3$ .

Un contre-exemple. « La somme de deux multiples de $3$ est un multiple de $6$ » est fausse : $3$ et $6$ sont des multiples de $3$ , mais $3 + 6 = 9$ n’est pas un multiple de $6$ .

Les critères. $9 846$ : son chiffre des unités est $6$ , donc il est divisible par $2$ ; $9 + 8 + 4 + 6 = 27$ , donc il est divisible par $3$ et par $9$ ; $46$ n’est pas un multiple de $4$ , donc $9 846$ n’est pas divisible par $4$ ; il ne se termine ni par $0$ ni par $5$ : il n’est pas divisible par $5$ .

Réflexe — Une lettre par nombre indépendant ; je développe, je mets $n$ en facteur, j’écris « $K$ est un entier », puis je conclus. Si je soupçonne que l’affirmation est fausse, je cherche un contre-exemple.

Attention — Écrire $a = 7 k$ et $b = 7 k$ revient à supposer $a = b$ : la preuve ne vaudrait que pour deux nombres égaux. Et un multiple de $10$ et de $4$ n’est pas forcément un multiple de $40$ : $20$ est un multiple de $10$ et de $4$ , mais pas de $40$ .

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Nombres pairs et nombres impairs

Ce qu’il faut savoir

Définitions. Un entier $n$ est pair s’il est un multiple de $2$ : il existe $k \in ℤ$ tel que $n = 2 k$ . Il est impair s’il existe $k \in ℤ$ tel que $n = 2 k + 1$ . Tout entier est soit pair, soit impair, jamais les deux.

Parité d’une somme, d’un produit.

	pair et pair	pair et impair	impair et impair
Somme	paire	impaire	paire
Produit	pair	pair	impair

Deux entiers consécutifs $n$ et $n + 1$ n’ont jamais la même parité : l’un des deux est pair.

Propriété (démonstration au programme). Le carré d’un nombre impair est impair.

Conséquence (contraposée). Si $n^{2}$ est pair, alors $n$ est pair.

Disjonction des cas. Pour démontrer une propriété « pour tout entier $n$ », on peut traiter séparément le cas $n = 2 k$ ( $n$ pair) et le cas $n = 2 k + 1$ ( $n$ impair).

Exemples

Reconnaître. $- 26 = 2 \times (- 13)$ est pair ; $- 7 = 2 \times (- 4) + 1$ est impair ; $0 = 2 \times 0$ est pair. Pour tout $n \in ℤ$ , $2 n + 6 = 2 (n + 3)$ est pair et $2 n + 5 = 2 (n + 2) + 1$ est impair.

Démonstration : le carré d’un impair est impair. Soit $n$ un entier impair : il existe $k \in ℤ$ tel que $n = 2 k + 1$ . Alors $n^{2}$ $= (2 k + 1)^{2}$ $= 4 k^{2} + 4 k + 1$ $= 2 (2 k^{2} + 2 k) + 1$ . Le nombre $m = 2 k^{2} + 2 k$ est un entier, car les sommes et les produits d’entiers sont des entiers. Ainsi $n^{2} = 2 m + 1$ : $n^{2}$ est impair.

Démonstration de la conséquence. Soit $n$ un entier tel que $n^{2}$ est pair. Si $n$ était impair, $n^{2}$ serait impair d’après la propriété précédente, ce qui contredit l’hypothèse. Donc $n$ est pair.

Produit de deux impairs. Soit $a = 2 k + 1$ et $b = 2 p + 1$ avec $k$ , $p$ entiers (deux lettres). Alors $a b$ $= 4 k p + 2 k + 2 p + 1$ $= 2 (2 k p + k + p) + 1$ , et $2 k p + k + p$ est un entier : $a b$ est impair.

Disjonction des cas : $n^{2} + 7 n$ est pair pour tout entier $n$ . On écrit $n^{2} + 7 n = n (n + 7)$ .
• Si $n$ est pair, $n = 2 k$ et $n (n + 7) = 2 \times k (2 k + 7)$ : c’est un nombre pair.
• Si $n$ est impair, $n = 2 k + 1$ , donc $n + 7 = 2 k + 8 = 2 (k + 4)$ et $n (n + 7) = 2 \times (2 k + 1) (k + 4)$ : c’est un nombre pair.
Dans les deux cas, $n^{2} + 7 n$ est pair.

Réflexe — Je traduis l’hypothèse : $n = 2 k$ ou $n = 2 k + 1$ avec $k \in ℤ$ . Je calcule, puis j’écris le résultat sous la forme $2 K$ (pair) ou $2 K + 1$ (impair) en justifiant que $K$ est un entier. Si l’énoncé dit « pour tout entier $n$ » sans rien d’autre, je traite les deux cas.

Attention — Deux nombres impairs différents s’écrivent avec deux lettres : $a = 2 k + 1$ et $b = 2 p + 1$ . Et $0$ est pair.

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Fraction irréductible

Ce qu’il faut savoir

Définition. Une fraction $\frac{a}{b}$ ( $a$ et $b$ entiers, $b \neq 0$ ) est irréductible lorsque $a$ et $b$ n’ont aucun diviseur positif commun autre que $1$ .

Simplifier. On divise le numérateur et le dénominateur par un même diviseur commun : la fraction garde la même valeur. On recommence jusqu’à ce qu’il ne reste aucun diviseur commun autre que $1$ . On va plus vite en divisant d’un coup par le plus grand diviseur commun.

L’outil du collège : la décomposition en facteurs premiers. Un nombre premier est un entier naturel qui a exactement deux diviseurs positifs, $1$ et lui-même : $2$ , $3$ , $5$ , $7$ , $11$ , $13$ , $17$ , $19$ … Tout entier $n ⩾ 2$ s’écrit comme un produit de nombres premiers, de façon unique à l’ordre près des facteurs. On décompose le numérateur et le dénominateur, puis on simplifie par tous les facteurs premiers communs.

Un résultat fractionnaire se présente toujours sous forme irréductible.

Exemples

Avec un diviseur commun visible. $\frac{22}{55}$ n’est pas irréductible : $11$ divise $22$ et $55$ . $\frac{22}{55} = \frac{11 \times 2}{11 \times 5} = \frac{2}{5}$ , et $2$ et $5$ n’ont pas d’autre diviseur positif commun que $1$ .

Avec les décompositions. $540 = 2^{2} \times 3^{3} \times 5$ et $756 = 2^{2} \times 3^{3} \times 7$ . Donc $\frac{540}{756}$ $= \frac{2^{2} \times 3^{3} \times 5}{2^{2} \times 3^{3} \times 7}$ $= \frac{5}{7}$ . Comme $5$ et $7$ sont deux nombres premiers différents, $\frac{5}{7}$ est irréductible.

Avec un signe. $\frac{- 45}{60}$ : $45 = 3^{2} \times 5$ et $60 = 2^{2} \times 3 \times 5$ ont pour facteurs communs $3 \times 5 = 15$ . Donc $\frac{- 45}{60} = - \frac{3}{4}$ .

Réflexe — Je décompose le numérateur et le dénominateur en produits de facteurs premiers, je simplifie par tous les facteurs communs, puis je vérifie qu’il n’en reste aucun avant d’écrire « irréductible ».

Attention — Une simplification incomplète n’est pas une forme irréductible : $\frac{48}{80} = \frac{24}{40}$ est juste, mais $24$ et $40$ sont encore divisibles par $8$ , d’où $\frac{48}{80} = \frac{3}{5}$ . Et on ne simplifie jamais un terme d’une somme : dans $\frac{2 + 3}{2 + 5}$ , on ne « barre » pas les $2$ .

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Pour aller plus loin

Nombres premiers (approfondissement). Depuis la rentrée 2026, « nombre premier » ne fait plus partie des capacités attendues en 2nde : c’est un outil du collège. Pour savoir si un entier $n ⩾ 2$ est premier, il suffit de tester sa divisibilité par les nombres premiers $p$ tels que $p \times p ⩽ n$ . Exemple : $14 \times 14 = 196$ et $15 \times 15 = 225$ ; $197$ n’est divisible ni par $2$ , $3$ , $5$ , $7$ , $11$ ni par $13$ , donc $197$ est premier. En revanche $221 = 13 \times 17$ ne l’est pas.

Les raisonnements utilisés ici (contre-exemple, contraposée, disjonction des cas, raisonnement par l’absurde) sont étudiés pour eux-mêmes dans le chapitre Logique : propositions, implication et raisonnements.

$\sqrt{2}$ est irrationnel. La démonstration utilise la conséquence de la partie 3 (si $n^{2}$ est pair, alors $n$ est pair) : voir le chapitre Ensembles de nombres, intervalles et valeur absolue.

Boucles et fonctions Python : le chapitre Algorithmique et programmation : variables, boucles et fonctions.

À retenir

$a$ est un multiple de $b$ s’il existe $k \in ℤ$ tel que $a = k b$ ; si $b \neq 0$ , $b$ est un diviseur de $a$ ( $b$ divise $a$ ).
$b$ divise $a$ si et seulement si le reste de la division de $a$ par $b$ est nul (Python : a % b == 0) ; le plus grand multiple de $a$ inférieur ou égal à $b$ est $a q$ , avec $b = a q + r$ et $0 ⩽ r < a$ .
La somme (et la différence) de deux multiples de $n$ est un multiple de $n$ : $7 k + 7 k' = 7 (k + k')$ .
Pair : $n = 2 k$ ; impair : $n = 2 k + 1$ ( $k \in ℤ$ ). Le carré d’un impair est impair ; si $n^{2}$ est pair, $n$ est pair.
Une fraction est irréductible quand numérateur et dénominateur n’ont aucun diviseur positif commun autre que $1$ : on décompose et on simplifie par tous les facteurs communs.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre un multiple et un diviseur ?

a est un multiple de b s’il existe un entier relatif k tel que a = kb ; si b n’est pas nul, b est alors un diviseur de a. Exemple : 91 = 7 × 13, donc 91 est un multiple de 7, et 7 est un diviseur de 91.

Comment démontrer qu’une expression est un multiple de 7 ?

On développe, on met 7 en facteur pour écrire 7 × K, puis on justifie que K est un entier. C’est la démonstration du cours : si a = 7k et b = 7k′, alors a + b = 7(k + k′), et k + k′ est un entier.

Comment démontrer que le carré d’un nombre impair est impair ?

On écrit n = 2k + 1 avec k entier. Alors n² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1, et 2k² + 2k est un entier : n² est impair. Par contraposée, si n² est pair, alors n est pair.

Comment montrer qu’une expression est paire pour tout entier n ?

On cherche à l’écrire 2K avec K entier. Si ce n’est pas possible directement, on distingue deux cas : n = 2k (n pair) et n = 2k + 1 (n impair), et on conclut dans chacun.

Comment rendre une fraction irréductible ?

On décompose le numérateur et le dénominateur en produits de facteurs premiers, on simplifie par tous les facteurs communs, puis on vérifie qu’il ne reste aucun diviseur commun autre que 1. Exemple : 540/756 = 5/7.

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