Lycée · 2ⁿᵈᵉ · Mathématiques
Ensembles de nombres et intervalles
Naturels, entiers, rationnels, irrationnels, réels et intervalles : les fondations du calcul en seconde générale
À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en seconde sur « Ensembles de nombres et intervalles » suit le programme officiel de mathématiques de seconde. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Les ensembles de nombres : ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, Les nombres irrationnels, Inclusions et appartenance : symboles ∈ et ⊂, La droite numérique et représentation des réels. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de seconde à réussir en mathématiques.
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Les ensembles de nombres : ℕ, ℤ, ℚ, ℝ
En mathématiques, les nombres sont regroupés en ensembles emboîtés. Chaque ensemble contient le précédent.
| Ensemble | Symbole | Description | Exemples |
|---|---|---|---|
| Entiers naturels | ℕ | Nombres entiers positifs (et zéro) | 0, 1, 2, 3, 100… |
| Entiers relatifs | ℤ | Entiers positifs, nuls et négatifs | …, −3, −2, −1, 0, 1, 2… |
| Rationnels | ℚ | Nombres écrits sous forme de fraction p/q, q ≠ 0, p ∈ ℤ, q ∈ ℕ* | 1/2, −3/4, 0,333…, 7 |
| Réels | ℝ | Tous les nombres représentables sur la droite numérique | √2, π, −5, 0,1 |
Inclusion. On a la chaîne d'inclusions : ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ.
Exemple. 5 est à la fois dans ℕ, ℤ, ℚ et ℝ. En revanche, −3 n'est pas dans ℕ mais est dans ℤ, ℚ et ℝ.
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Les nombres irrationnels
Un nombre irrationnel est un nombre réel qui ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fraction d'entiers p/q.
Définition. L'ensemble des irrationnels est ℝ ∖ ℚ (les réels qui ne sont pas rationnels). Il n'existe pas de symbole standard unique pour cet ensemble au lycée.
Exemples de nombres irrationnels :
- √2 : sa développée décimale ne se répète jamais (1,41421356…)
- π ≈ 3,14159265… (le nombre pi)
- √3, √5 (racines carrées de non-carrés parfaits)
Attention ! √4 = 2 est rationnel (même entier naturel !). Seules les racines carrées de nombres qui ne sont pas des carrés parfaits sont irrationnelles.
Astuce. Pour vérifier si un nombre est rationnel, essayez de l'écrire comme une fraction. Si sa décimale est finie ou périodique, il est rationnel. Si elle est infinie et non périodique, il est irrationnel.
Exemple. 0,333… = 1/3 ∈ ℚ. En revanche, 1,41421356… (= √2) ∉ ℚ.
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Inclusions et appartenance : symboles ∈ et ⊂
Deux symboles fondamentaux permettent de préciser la relation entre un élément et un ensemble, ou entre deux ensembles.
| Symbole | Se lit | Usage | Exemple |
|---|---|---|---|
| ∈ | « appartient à » | Relie un élément à un ensemble | 2 ∈ ℕ ; π ∈ ℝ |
| ∉ | « n'appartient pas à » | Négation de ∈ | −1 ∉ ℕ ; √2 ∉ ℚ |
| ⊂ | « est inclus dans » | Relie un ensemble à un autre | ℕ ⊂ ℤ ; ℤ ⊂ ℚ |
| ⊄ | « n'est pas inclus dans » | Négation de ⊂ | ℝ ⊄ ℚ |
Attention ! On n'écrit pas « 2 ⊂ ℕ » (2 est un élément, pas un ensemble) ; on écrit « 2 ∈ ℕ ». De même, on n'écrit pas « ℕ ∈ ℤ » ; on écrit « ℕ ⊂ ℤ ».
Exemple. Soit x = −7/3.
• x ∈ ℚ (c'est une fraction d'entiers)
• x ∈ ℝ (tout rationnel est réel)
• x ∉ ℤ (−7/3 n'est pas un entier)
• x ∉ ℕ
• x ∈ ℚ (c'est une fraction d'entiers)
• x ∈ ℝ (tout rationnel est réel)
• x ∉ ℤ (−7/3 n'est pas un entier)
• x ∉ ℕ
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La droite numérique et représentation des réels
On représente les réels sur une droite numérique (axe gradué orienté) : chaque point de la droite correspond à exactement un réel, et réciproquement.
Propriété. L'ensemble ℝ correspond à tous les points de la droite numérique. Les rationnels sont « denses » sur cette droite (entre deux rationnels il y en a toujours un autre), mais les irrationnels « remplissent les trous ».
Sur la droite numérique :
- Les entiers sont aux graduations entières (…, −2, −1, 0, 1, 2, …)
- Les rationnels sont aux points fractionnaires (1/2, 3/4, …)
- Les irrationnels comme √2 ≈ 1,414 se placent « entre » les rationnels
Astuce. Pour placer √2 sur la droite : construire un carré de côté 1, sa diagonale vaut √2. On peut reporter cette longueur à la règle et au compas depuis l'origine.
Exemple. √5 ≈ 2,236 se place entre 2 et 3 sur la droite numérique, plus précisément entre 2,2 et 2,3.
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Les intervalles : définitions et notations
Un intervalle est une partie de ℝ constituée de tous les réels compris entre deux bornes.
| Notation | Définition | Bornage |
|---|---|---|
| [a ; b] | Ensemble des x tels que a ≤ x ≤ b | Fermé : a et b inclus |
| ]a ; b[ | Ensemble des x tels que a < x < b | Ouvert : a et b exclus |
| [a ; b[ | Ensemble des x tels que a ≤ x < b | Semi-ouvert à droite |
| ]a ; b] | Ensemble des x tels que a < x ≤ b | Semi-ouvert à gauche |
| [a ; +∞[ | Ensemble des x tels que x ≥ a | Non borné à droite |
| ]−∞ ; b] | Ensemble des x tels que x ≤ b | Non borné à gauche |
| ]−∞ ; +∞[ | Ensemble de tous les réels ℝ | Non borné |
Attention ! +∞ et −∞ ne sont pas des nombres réels. On écrit toujours ]…; +∞[ ou ]−∞ ; …[ (crochets ouverts du côté de l'infini).
Exemple. [−2 ; 5[ désigne l'ensemble des réels x vérifiant −2 ≤ x < 5. Sur la droite numérique, on représente cela avec un point plein en −2 (inclus) et un point vide (ou rond ouvert) en 5 (exclu).
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Opérations sur les intervalles : intersection et réunion
On peut combiner des intervalles avec deux opérations fondamentales.
Intersection. A ∩ B est l'ensemble des éléments appartenant à la fois à A et à B.
Réunion. A ∪ B est l'ensemble des éléments appartenant à A ou à B (ou aux deux).
Réunion. A ∪ B est l'ensemble des éléments appartenant à A ou à B (ou aux deux).
Exemple 1 — Intersection.
A = [−3 ; 4] et B = [1 ; 7].
A ∩ B = [1 ; 4] (les réels qui sont dans les deux intervalles).
A = [−3 ; 4] et B = [1 ; 7].
A ∩ B = [1 ; 4] (les réels qui sont dans les deux intervalles).
Exemple 2 — Réunion.
C = ]−∞ ; 2] et D = [5 ; +∞[.
C ∪ D = ]−∞ ; 2] ∪ [5 ; +∞[ (les deux intervalles disjoints ensemble).
C = ]−∞ ; 2] et D = [5 ; +∞[.
C ∪ D = ]−∞ ; 2] ∪ [5 ; +∞[ (les deux intervalles disjoints ensemble).
Méthode. Pour trouver A ∩ B :
1. Représentez les deux intervalles sur une droite numérique.
2. Repérez la partie commune (où ils se chevauchent).
3. La borne gauche de l'intersection est le max des bornes gauches ; la borne droite est le min des bornes droites.
4. Un crochet est ouvert dès que l'une des deux bornes correspondantes est ouverte.
1. Représentez les deux intervalles sur une droite numérique.
2. Repérez la partie commune (où ils se chevauchent).
3. La borne gauche de l'intersection est le max des bornes gauches ; la borne droite est le min des bornes droites.
4. Un crochet est ouvert dès que l'une des deux bornes correspondantes est ouverte.
Attention ! Si les deux intervalles ne se chevauchent pas (ex. [1 ; 2] et [5 ; 7]), leur intersection est vide : on note ∅.
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Valeur absolue et distance sur ℝ
La valeur absolue d'un réel x, notée |x|, représente sa distance à 0 sur la droite numérique.
Définition.
|x| = x si x ≥ 0
|x| = −x si x < 0
|x| = x si x ≥ 0
|x| = −x si x < 0
La valeur absolue est toujours positive ou nulle.
Distance. La distance entre deux réels a et b est |b − a| = |a − b|.
| Inégalité | Signification | Intervalle |
|---|---|---|
| |x| ≤ r (r > 0) | x est à distance ≤ r de 0 | [−r ; r] |
| |x − a| ≤ r | x est à distance ≤ r de a | [a − r ; a + r] |
| |x| > r | x est à distance > r de 0 | ]−∞ ; −r[ ∪ ]r ; +∞[ |
Exemple. Résoudre |x − 3| ≤ 2.
Cela signifie que x est à distance au plus 2 de 3 : 3 − 2 ≤ x ≤ 3 + 2, donc x ∈ [1 ; 5].
Cela signifie que x est à distance au plus 2 de 3 : 3 − 2 ≤ x ≤ 3 + 2, donc x ∈ [1 ; 5].
Propriétés utiles.
• |a × b| = |a| × |b|
• |a + b| ≤ |a| + |b| (inégalité triangulaire)
• |a|² = a²
• |a × b| = |a| × |b|
• |a + b| ≤ |a| + |b| (inégalité triangulaire)
• |a|² = a²
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Méthode : résoudre un problème d'appartenance et d'intervalle
Voici la démarche pour résoudre un problème typique de ce chapitre.
Méthode générale.
Étape 1 : Identifier l'ensemble de nombres auquel appartient chaque nombre donné (ℕ, ℤ, ℚ ou ℝ).
Étape 2 : Écrire les inégalités définissant l'intervalle.
Étape 3 : Représenter l'intervalle sur la droite numérique.
Étape 4 : Pour une intersection ou réunion, combiner les représentations.
Étape 1 : Identifier l'ensemble de nombres auquel appartient chaque nombre donné (ℕ, ℤ, ℚ ou ℝ).
Étape 2 : Écrire les inégalités définissant l'intervalle.
Étape 3 : Représenter l'intervalle sur la droite numérique.
Étape 4 : Pour une intersection ou réunion, combiner les représentations.
Exemple résolu 1.
Soit A = ]−1 ; 3] et B = [0 ; 5[.
• Trouver A ∩ B.
Les x dans A vérifient −1 < x ≤ 3.
Les x dans B vérifient 0 ≤ x < 5.
Pour être dans les deux : on prend le max des bornes gauches (max(−1, 0) = 0, côté ouvert de 0 si au moins l'un est ouvert → ici B donne ≥ 0, donc crochet fermé) et le min des bornes droites (min(3, 5) = 3, crochet fermé de A).
Donc A ∩ B = [0 ; 3].
Soit A = ]−1 ; 3] et B = [0 ; 5[.
• Trouver A ∩ B.
Les x dans A vérifient −1 < x ≤ 3.
Les x dans B vérifient 0 ≤ x < 5.
Pour être dans les deux : on prend le max des bornes gauches (max(−1, 0) = 0, côté ouvert de 0 si au moins l'un est ouvert → ici B donne ≥ 0, donc crochet fermé) et le min des bornes droites (min(3, 5) = 3, crochet fermé de A).
Donc A ∩ B = [0 ; 3].
Exemple résolu 2.
Déterminer si √3 est rationnel ou irrationnel, et dans quel(s) ensemble(s) il appartient.
√3 ≈ 1,7320508… : décimale infinie non périodique → irrationnel.
√3 ∈ ℝ, mais √3 ∉ ℚ, √3 ∉ ℤ, √3 ∉ ℕ.
Déterminer si √3 est rationnel ou irrationnel, et dans quel(s) ensemble(s) il appartient.
√3 ≈ 1,7320508… : décimale infinie non périodique → irrationnel.
√3 ∈ ℝ, mais √3 ∉ ℚ, √3 ∉ ℤ, √3 ∉ ℕ.
Exemple résolu 3.
Résoudre l'inéquation −2 < 3x − 1 ≤ 5 et donner l'ensemble solution sous forme d'intervalle.
On ajoute 1 : −1 < 3x ≤ 6.
On divise par 3 : −1/3 < x ≤ 2.
Ensemble solution : ]−1/3 ; 2].
Résoudre l'inéquation −2 < 3x − 1 ≤ 5 et donner l'ensemble solution sous forme d'intervalle.
On ajoute 1 : −1 < 3x ≤ 6.
On divise par 3 : −1/3 < x ≤ 2.
Ensemble solution : ]−1/3 ; 2].
À retenir
- Chaîne d'inclusions : ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
- Les irrationnels (√2, π…) sont dans ℝ mais pas dans ℚ
- ∈ = appartenance (élément ↔ ensemble) ; ⊂ = inclusion (ensemble ↔ ensemble)
- Crochet fermé [ ou ] : borne incluse ; crochet ouvert ] ou [ : borne exclue
- +∞ et −∞ ne sont jamais inclus (crochet ouvert obligatoire)
- A ∩ B : partie commune ; A ∪ B : l'un ou l'autre
- |x − a| ≤ r ⟺ x ∈ [a − r ; a + r]
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