Ensembles de nombres et intervalles

Les cinq ensembles de nombres.

• $\mathbb{N}$ : les entiers naturels $0$ ; $1$ ; $2$ ; $3$ ; …
• $\mathbb{Z}$ : les entiers relatifs … ; $-2$ ; $-1$ ; $0$ ; $1$ ; $2$ ; …
• $𝔻$ : les nombres décimaux, ceux qui s’écrivent ${\displaystyle \frac{a}{{10}^n}}$ avec $a\in \mathbb{Z}$ et $n\in \mathbb{N}$ (leur écriture décimale s’arrête).
• $\mathbb{Q}$ : les nombres rationnels, ceux qui s’écrivent ${\displaystyle \frac{a}{b}}$ avec $a$ et $b$ entiers relatifs, $b\ne 0$.
• $ℝ$ : les nombres réels, abscisses de tous les points d’une droite graduée, appelée droite numérique ; ce sont aussi les nombres qui mesurent les grandeurs. Un réel qui n’est pas rationnel est dit irrationnel.

Appartenance. $x\in E$ se lit « $x$ appartient à $E$ » (ou « $x$ est un élément de $E$ ») ; $x\notin E$ : « $x$ n’appartient pas à $E$ ».

Inclusion. $E\subset F$ se lit « $E$ est inclus dans $F$ » : tout élément de $E$ est un élément de $F$ ; on dit que $E$ est un sous-ensemble de $F$. On a $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset 𝔻\subset \mathbb{Q}\subset ℝ$, et chaque inclusion est stricte : le grand ensemble contient toujours au moins un nombre que le petit ne contient pas.

Autres notations. $\{\dots \}$ : ensemble donné par la liste de ses éléments ; $\varnothing$ : l’ensemble vide, qui n’a aucun élément ; $\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(E)$ : le cardinal d’un ensemble fini $E$, c’est-à-dire son nombre d’éléments ; ${ℝ}^{*}$ : les réels non nuls, ${ℝ}^{*}=]-\infty ;0[\cup ]0;+\infty [$.

Reconnaître un décimal (propriété admise). Une fraction irréductible ${\displaystyle \frac{a}{b}}$ est un nombre décimal si et seulement si son dénominateur $b$ ne se décompose qu’avec les facteurs premiers $2$ et $5$.

Démonstration (au programme) : ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ n’est pas décimal. Raisonnons par l’absurde et supposons que ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ soit décimal : il existe un entier $a$ et un entier naturel $n$ tels que ${\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{a}{{10}^n}}$. En multipliant les deux membres par $3\times {10}^n$, on obtient ${10}^n=3a$ : le nombre ${10}^n$ serait un multiple de $3$. Or ${10}^n$ s’écrit avec un $1$ suivi de $n$ zéros : la somme de ses chiffres vaut $1$, qui n’est pas un multiple de $3$, donc ${10}^n$ n’est pas divisible par $3$. C’est une contradiction : ${\displaystyle \frac{1}{3}}\notin 𝔻$.

Démonstration (au programme) : $\sqrt{2}$ est irrationnel. Raisonnons par l’absurde et supposons $\sqrt{2}={\displaystyle \frac{a}{b}}$, avec $a$ et $b$ entiers naturels, $b\ne 0$, la fraction étant irréductible. En élevant au carré : $2={\displaystyle \frac{a^2}{b^2}}$, donc $a^2=2b^2$. Ainsi $a^2$ est pair, donc $a$ est pair, car le carré d’un nombre impair est impair (démontré dans le chapitre Arithmétique). Écrivons $a=2k$ : l’égalité devient $4k^2=2b^2$, soit $b^2=2k^2$, donc $b$ est pair à son tour. Les entiers $a$ et $b$ sont alors tous les deux pairs, ce qui contredit l’irréductibilité de la fraction. Donc $\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$.

Irrationnels fournis par la géométrie. La diagonale d’un carré de côté $1$ mesure $\sqrt{2}$ (théorème de Pythagore) ; le quotient du périmètre d’un cercle par son diamètre est $\pi$, irrationnel (admis). Plus généralement, si l’entier naturel $n$ n’est pas un carré parfait, $\sqrt{n}$ est irrationnel (admis).

Rationnel et irrationnel. Si $r$ est rationnel et $s$ irrationnel, alors $r+s$ est irrationnel, et $r\times s$ aussi lorsque $r\ne 0$. On le démontre par l’absurde, comme dans les exemples.

Encadrement. Encadrer un réel $x$, c’est trouver deux nombres $a$ et $b$ tels que $a⩽x⩽b$ (ou avec $<$). L’amplitude de l’encadrement est $b-a$.

Encadrement décimal à ${10}^{-n}$ près. Deux décimaux qui ont $n$ chiffres après la virgule et qui se suivent, d’amplitude ${10}^{-n}$ : on garde les $n$ premières décimales d’un réel positif $x$ (c’est la troncature, ou valeur approchée par défaut), puis on ajoute ${10}^{-n}$ (valeur approchée par excès).

Arrondi à ${10}^{-n}$. La plus proche de ces deux valeurs : on regarde la décimale suivante ; de $0$ à $4$ on garde, de $5$ à $9$ on augmente d’une unité la dernière décimale gardée.

Transformer un encadrement. On peut ajouter un même nombre aux trois membres. Multiplier les trois membres par un nombre strictement positif conserve le sens des inégalités ; par un nombre négatif, le sens s’inverse.

Calculatrice et ordinateur. Ils calculent avec un nombre limité de chiffres : leurs résultats sont des valeurs approchées. On écrit $\approx$, jamais $=$.

Algorithme de balayage (au programme). Pour encadrer $\sqrt{2}$, on part de $1$ et on avance d’un pas tant que $x^2<2$ :

def balayage(pas):
    x = 1
    while x**2 < 2:
        x = x + pas
    return x - pas, x

La boucle s’arrête au premier $x$ tel que $x^2⩾2$ : on obtient un encadrement de $\sqrt{2}$ dont l’amplitude est le pas.

Intervalles. Un intervalle est l’ensemble des réels qui vérifient une ou deux inégalités. Pour deux réels $a<b$ :

Un crochet tourné vers le nombre l’inclut ; tourné vers l’extérieur, il l’exclut. Les symboles $-\infty$ et $+\infty$ ne sont pas des nombres : leur crochet est toujours ouvert. La droite numérique tout entière est $ℝ=]-\infty ;+\infty [$.

Représentation. Sur la droite graduée, on surligne la partie qui correspond à l’intervalle et on dessine les crochets aux bornes.

Appartenance. $x$ appartient à un intervalle exactement quand il vérifie l’inégalité correspondante.

Intersection. $A\cap B$ (« $A$ inter $B$ ») est l’ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à $A$ et à $B$ : c’est le « et ».

Réunion. $A\cup B$ (« $A$ union $B$ ») est l’ensemble des éléments qui appartiennent à $A$ ou à $B$, éventuellement aux deux : c’est le « ou ».

Complémentaire. Le complémentaire de $A$ dans $ℝ$, noté $\bar{A}$ ou $ℝ⧵A$, est l’ensemble des réels qui n’appartiennent pas à $A$. Pour un intervalle, on inverse les inégalités et le sens des crochets.

Ensembles disjoints. Si $A$ et $B$ n’ont aucun élément commun, $A\cap B=\varnothing$.

Réunion d’intervalles. Elle n’est un intervalle que si les deux morceaux se chevauchent ou se touchent.

Couple et produit cartésien. Un couple $(a;b)$ est une liste de deux éléments dans un ordre donné : $(2;5)\ne (5;2)$. Le produit cartésien $A\times B$ (« $A$ croix $B$ ») est l’ensemble des couples $(a;b)$ avec $a\in A$ et $b\in B$. Si $A$ et $B$ sont finis, $\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A\times B)=\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A)\times \mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(B)$. Exemple connu : les coordonnées $(x;y)$ d’un point du plan forment un couple de $ℝ\times ℝ$.

Valeur absolue. La valeur absolue $|a|$ d’un réel $a$ est la distance entre le point d’abscisse $a$ et l’origine de la droite graduée : $|a|=a$ si $a⩾0$, et $|a|=-a$ si $a<0$. Elle est toujours positive ou nulle.

Distance entre deux réels. La distance entre les points d’abscisses $a$ et $b$ est $|a-b|$, et $|a-b|=|b-a|$.

Équation $|x-a|=r$ (avec $r>0$) : les réels à la distance $r$ de $a$ sont $a-r$ et $a+r$.

Inéquation $|x-a|⩽r$ (avec $r>0$) : elle équivaut à $a-r⩽x⩽a+r$, c’est-à-dire $x\in [a-r;a+r]$. C’est l’intervalle de centre $a$ et de rayon $r$. Avec $<$, les bornes sont exclues : $]a-r;a+r[$.

Inversement, l’intervalle $[m;M]$ a pour centre ${\displaystyle \frac{m+M}{2}}$ et pour rayon ${\displaystyle \frac{M-m}{2}}$.

Les réels plus loin que $r$. Les réels dont la distance à $a$ est strictement supérieure à $r$, c’est-à-dire $|x-a|>r$, forment le complémentaire de $[a-r;a+r]$ : $]-\infty ;a-r[\cup ]a+r;+\infty [$.