Je réserve ici
Mathématiques 2ⁿᵈᵉ

Ressources · 2ⁿᵈᵉ · Mathématiques

Logique : propositions, implication et raisonnements

Propositions, « pour tout » et « il existe », contre-exemple, « et », « ou » et négation, implication, réciproque, contraposée, équivalence, disjonction des cas et raisonnement par l’absurde.

À propos de cette page
Un QCM de logique pour la 2nde en trois niveaux de douze questions : propositions, négations de « et » et « ou », réciproque et contraposée, équivalences dans une résolution, contre-exemples, choix entre disjonction des cas et raisonnement par l’absurde, contraposée de Pythagore. Chaque réponse est expliquée.

Les 36 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile ★ — 12 questions

  1. Laquelle de ces phrases est une proposition mathématique ?

    • A. Calcule 7 × 8.
    • B. Le nombre 51 est premier.
    • C. x + 4
    • D. Est-ce que 9 est pair ?
    Réponse

    B. Le nombre 51 est premier. — Une proposition est vraie ou fausse : « 51 est premier » est fausse (51 = 3 × 17), mais c'est bien une proposition. Les autres sont une consigne, une expression et une question.

  2. La négation de « x > 8 » est :

    • A. x < 8
    • B. x ≥ 8
    • C. x > −8
    • D. x ≤ 8
    Réponse

    D. x ≤ 8 — Le contraire de « strictement supérieur à 8 » est « inférieur ou égal à 8 » : le cas x = 8 fait partie de la négation.

  3. « P ou Q » est vraie lorsque :

    • A. P et Q sont toutes les deux fausses
    • B. une seule des deux est vraie, jamais les deux
    • C. au moins une des deux est vraie
    • D. P est fausse
    Réponse

    C. au moins une des deux est vraie — Le « ou » des mathématiques est inclusif : il suffit qu'une des deux soit vraie, et les deux peuvent l'être.

  4. La réciproque de « si A, alors B » est :

    • A. si B, alors A
    • B. si non A, alors non B
    • C. si non B, alors non A
    • D. A et B
    Réponse

    A. si B, alors A — La réciproque échange l'hypothèse et la conclusion, sans les nier.

  5. La contraposée de « s'il neige, alors il fait froid » est :

    • A. s'il fait froid, alors il neige
    • B. s'il ne fait pas froid, alors il ne neige pas
    • C. s'il ne neige pas, alors il ne fait pas froid
    • D. il neige et il fait froid
    Réponse

    B. s'il ne fait pas froid, alors il ne neige pas — On nie les deux propositions et on les échange : « non (il fait froid) » entraîne « non (il neige) ».

  6. Pour prouver que « il existe un entier n tel que n + 9 = 2n » est vraie, il suffit de :

    • A. donner n = 9, qui convient
    • B. tester n = 1, puis n = 2 et n = 3
    • C. démontrer l'égalité pour tout entier n
    • D. trouver un contre-exemple
    Réponse

    A. donner n = 9, qui convient — Pour un « il existe », un seul exemple suffit : 9 + 9 = 18 = 2 × 9.

  7. Un contre-exemple à « tout nombre premier est impair » est :

    • A. 9
    • B. 1
    • C. 2
    • D. 3
    Réponse

    C. 2 — 2 est premier (ses seuls diviseurs sont 1 et 2) et il est pair. 9 et 1 ne sont pas premiers ; 3 est premier et impair.

  8. L'implication « si A, alors B » est fausse lorsque :

    • A. A est fausse et B est vraie
    • B. A et B sont fausses
    • C. A et B sont vraies
    • D. A est vraie et B est fausse
    Réponse

    D. A est vraie et B est fausse — C'est le seul cas où l'implication est fausse : l'hypothèse est vraie et la conclusion fausse.

  9. « A ⇔ B » signifie :

    • A. A ⇒ B seulement
    • B. A ⇒ B et B ⇒ A
    • C. A et B sont vraies
    • D. B ⇒ A seulement
    Réponse

    B. A ⇒ B et B ⇒ A — L'équivalence, c'est l'implication et sa réciproque toutes les deux vraies ; elle ne dit pas que A et B sont vraies.

  10. Un raisonnement par l'absurde aboutit à :

    • A. un exemple
    • B. une réciproque
    • C. une contradiction
    • D. un tableau de valeurs
    Réponse

    C. une contradiction — On suppose le contraire de ce qu'on veut prouver et on arrive à une impossibilité : c'est la contradiction qui conclut.

  11. Pour un entier n, la négation de « n est pair » est :

    • A. n est impair
    • B. n est nul
    • C. n est multiple de 3
    • D. n est négatif
    Réponse

    A. n est impair — Un entier est soit pair, soit impair : « n est impair » est vraie exactement quand « n est pair » est fausse.

  12. Traiter séparément « n pair » et « n impair » pour démontrer une propriété, c'est faire :

    • A. un contre-exemple
    • B. une réciproque
    • C. une contraposée
    • D. une disjonction des cas
    Réponse

    D. une disjonction des cas — Les deux cas couvrent tous les entiers : c'est un raisonnement par disjonction des cas.

Niveau moyen ★★ — 12 questions

  1. La négation de « x < −2 ou x ≥ 4 » est :

    • A. x > −2 et x ≤ 4
    • B. x ≥ −2 ou x < 4
    • C. x ≥ −2 et x < 4
    • D. x > −2 ou x < 4
    Réponse

    C. x ≥ −2 et x < 4 — On nie chaque comparaison ( < devient ≥, ≥ devient < ) et « ou » devient « et » : x ≥ −2 et x < 4.

  2. La négation de « Lucas a pris du pain ou des œufs » est :

    • A. Lucas n'a pris ni pain ni œufs
    • B. Lucas n'a pas pris de pain ou pas d'œufs
    • C. Lucas a pris du pain et des œufs
    • D. Lucas a pris seulement des œufs
    Réponse

    A. Lucas n'a pris ni pain ni œufs — non (P ou Q) = (non P) et (non Q) : il n'a pris ni l'un ni l'autre.

  3. On sait que « si A, alors B » est vraie. Laquelle est forcément vraie ?

    • A. si B, alors A
    • B. si non A, alors non B
    • C. A est vraie
    • D. si non B, alors non A
    Réponse

    D. si non B, alors non A — « Si non B, alors non A » est la contraposée : elle a toujours la même vérité que l'implication. La réciproque (si B, alors A) peut être fausse, tout comme « si non A, alors non B ».

  4. Pour un réel x, la réciproque de « si x = 3, alors 2x + 1 = 7 » est :

    • A. « si 2x + 1 = 7, alors x = 3 », fausse
    • B. « si 2x + 1 = 7, alors x = 3 », vraie
    • C. « si x ≠ 3, alors 2x + 1 ≠ 7 », vraie
    • D. « si 2x + 1 ≠ 7, alors x ≠ 3 », vraie
    Réponse

    B. « si 2x + 1 = 7, alors x = 3 », vraie — La réciproque échange les deux propositions. Elle est vraie : 2x + 1 = 7 donne 2x = 6, donc x = 3. Les deux autres phrases ne sont pas des réciproques.

  5. Pour réfuter « pour tout réel x, (x + 1)² > x² », on peut prendre :

    • A. x = −2
    • B. x = 0
    • C. x = 3
    • D. x = 0,5
    Réponse

    A. x = −2 — Pour x = −2 : (−2 + 1)² = 1 et (−2)² = 4, or 1 < 4. Pour 0, 3 et 0,5, l'inégalité est vraie (1 > 0, 16 > 9, 2,25 > 0,25).

  6. Pour un entier n, « n est multiple de 2 et de 5 » équivaut à :

    • A. n est multiple de 7
    • B. n est multiple de 2 ou de 5
    • C. n est multiple de 10
    • D. n se termine par 5
    Réponse

    C. n est multiple de 10 — Être multiple de 2 et de 5 revient à se terminer par 0, donc à être multiple de 10 ; et un multiple de 10 est multiple de 2 et de 5.

  7. Laquelle de ces propositions est vraie ?

    • A. pour tout réel x, x ÷ 2 < x
    • B. il existe un réel x tel que |x| = −2
    • C. il existe un entier n tel que 2n = 9
    • D. pour tout réel x, x − 1 < x
    Réponse

    D. pour tout réel x, x − 1 < x — x − 1 < x revient à −1 < 0, vrai pour tout x. Pour x = −4, x ÷ 2 = −2 > −4 ; une valeur absolue n'est jamais négative ; 2n = 9 donne n = 4,5, non entier.

  8. Dans E = {1 ; 2 ; … ; 10}, combien d'entiers vérifient « n est pair ou n > 7 » ?

    • A. 7
    • B. 6
    • C. 2
    • D. 5
    Réponse

    B. 6 — Les pairs : 2, 4, 6, 8, 10 ; on ajoute 9 (impair mais supérieur à 7). Total : 6 (8 et 10 ne sont comptés qu'une fois).

  9. Pour un réel x, « 5x − 2 = 13 ⇔ x = 3 » est :

    • A. vraie : chaque étape se lit dans les deux sens
    • B. fausse : seule l'implication ⇒ est vraie
    • C. fausse : seule l'implication ⇐ est vraie
    • D. fausse : x = −3 est solution aussi
    Réponse

    A. vraie : chaque étape se lit dans les deux sens — 5x − 2 = 13 ⇔ 5x = 15 ⇔ x = 3 : on ajoute 2 puis on divise par 5, des étapes réversibles. Et x = −3 donne −17.

  10. Pour démontrer « si un quadrilatère n’a pas quatre angles droits, alors ce n’est pas un carré », le plus simple est de démontrer :

    • A. si un quadrilatère a quatre angles droits, alors c’est un carré
    • B. si ce n’est pas un carré, alors il n’a pas quatre angles droits
    • C. tout quadrilatère a quatre angles droits
    • D. si c’est un carré, alors il a quatre angles droits
    Réponse

    D. si c’est un carré, alors il a quatre angles droits — C’est la contraposée « si c’est un carré, alors il a quatre angles droits » : on nie les deux propositions et on les échange. Un carré a quatre angles droits : la contraposée est vraie, donc l’implication aussi. (Un rectangle non carré a quatre angles droits sans être un carré : on ne remplace pas une implication par une autre phrase « retournée ».)

  11. Pour étudier la parité d'une expression en n (n entier) par disjonction des cas, quels cas suffisent ?

    • A. n positif, puis n pair
    • B. n = 0, puis n = 1
    • C. n pair, puis n impair
    • D. n premier, puis n impair
    Réponse

    C. n pair, puis n impair — Un entier est pair ou impair : ces deux cas couvrent tout. Les autres découpages oublient des entiers (par exemple −3, ou 9).

  12. L'affirmation « il existe un entier n tel que 4n = 10 » est fausse car :

    • A. 4n et 10 sont pairs tous les deux
    • B. n = 2,5 n'est pas un entier
    • C. aucun nombre ne vérifie 4n = 10
    • D. un contre-exemple suffit : n = 1
    Réponse

    B. n = 2,5 n'est pas un entier — 4n = 10 donne n = 2,5 : le seul nombre qui convient n'est pas entier. Un « il existe » ne se réfute pas par un contre-exemple.

Niveau difficile ★★★ — 12 questions

  1. On sait que « si A, alors B » est vraie et que B est fausse. Alors :

    • A. A est vraie
    • B. on ne peut rien dire de A
    • C. A et B sont équivalentes
    • D. A est fausse
    Réponse

    D. A est fausse — Par contraposée, « non B » entraîne « non A » : comme B est fausse, A est fausse.

  2. Pour un réel x, laquelle de ces implications a une réciproque fausse ?

    • A. si x = 2, alors 3x = 6
    • B. si x > 3, alors x ≠ 0
    • C. si x > 1, alors x + 4 > 5
    • D. si x < 0, alors −x > 0
    Réponse

    B. si x > 3, alors x ≠ 0 — La réciproque « si x ≠ 0, alors x > 3 » est fausse : x = 1 est non nul mais 1 ≤ 3. Les trois autres réciproques sont vraies.

  3. Un élève écrit : « x² = 7x ⇔ x = 7 ». Son erreur :

    • A. il oublie la solution x = 0
    • B. aucune, c’est une vraie équivalence
    • C. il oublie la solution x = −7
    • D. il fallait écrire x = 49
    Réponse

    A. il oublie la solution x = 0 — Il a divisé par x, qui peut être nul : x² = 7x ⇔ x(x − 7) = 0 ⇔ x = 0 ou x = 7. Et −7 ne convient pas : (−7)² = 49 alors que 7 × (−7) = −49.

  4. La négation de « 3 < x ≤ 10 » est :

    • A. x < 3 ou x ≥ 10
    • B. x ≤ 3 et x > 10
    • C. x ≤ 3 ou x > 10
    • D. x > 3 et x ≤ 10
    Réponse

    C. x ≤ 3 ou x > 10 — « 3 < x ≤ 10 » signifie « x > 3 et x ≤ 10 » ; on nie chaque comparaison et « et » devient « ou » : x ≤ 3 ou x > 10.

  5. Pour prouver par l'absurde « il n'existe aucun entier n tel que 2n + 1 = 40 », on suppose :

    • A. que pour tout entier n, 2n + 1 ≠ 40
    • B. qu'il existe un entier n tel que 2n + 1 = 40
    • C. que 2n + 1 est pair pour tout entier n
    • D. que n est un entier impair
    Réponse

    B. qu'il existe un entier n tel que 2n + 1 = 40 — On suppose la négation de ce qu'on veut prouver : un tel entier existe. Alors 2n = 39 et n = 19,5 : contradiction.

  6. La contraposée de « si n est multiple de 6, alors n est pair » est :

    • A. si n est pair, alors n est multiple de 6
    • B. si n n'est pas multiple de 6, alors n est impair
    • C. n est multiple de 6 et n est impair
    • D. si n est impair, alors n n'est pas multiple de 6
    Réponse

    D. si n est impair, alors n n'est pas multiple de 6 — La négation de « n est pair » est « n est impair », celle de « n est multiple de 6 » est « n n'est pas multiple de 6 » ; on les échange.

  7. Pour démontrer « pour tout entier n, n² − n est pair », un élève vérifie n = 1, 2, 3, 4 et 5. Il a :

    • A. seulement testé des cas, sans preuve
    • B. démontré la propriété
    • C. trouvé un contre-exemple
    • D. fait une disjonction des cas complète
    Réponse

    A. seulement testé des cas, sans preuve — Cinq exemples ne prouvent pas un « pour tout ». Une disjonction complète traiterait « n pair » et « n impair » en général.

  8. « Pour tout réel x, si x > 5, alors x² > 25 » est vraie. Que dire de « pour tout réel x, si x² ≤ 25, alors x ≤ 5 » ?

    • A. fausse : c'est la réciproque
    • B. fausse : x = −6 la contredit
    • C. vraie : c'est la contraposée
    • D. vraie : c'est la réciproque
    Réponse

    C. vraie : c'est la contraposée — On a nié et échangé les deux propositions : c'est la contraposée, vraie comme l'implication. x = −6 donne x² = 36, qui ne vérifie pas x² ≤ 25.

  9. Dans E = {1 ; 2 ; … ; 12}, combien d'entiers vérifient « non (n pair et n > 5) » ?

    • A. 4
    • B. 6
    • C. 2
    • D. 8
    Réponse

    D. 8 — « n pair et n > 5 » est vraie pour 6, 8, 10, 12 : 4 entiers. Sa négation est vraie pour les 12 − 4 = 8 autres.

  10. « P et Q » est fausse. On peut affirmer :

    • A. au moins une des deux est fausse
    • B. P et Q sont fausses toutes les deux
    • C. P est fausse
    • D. « P ou Q » est fausse
    Réponse

    A. au moins une des deux est fausse — non (P et Q) = (non P) ou (non Q) : l'une au moins est fausse, peut-être une seule.

  11. Pour montrer qu'un triangle de côtés 5, 6 et 8 n'est pas rectangle, on utilise :

    • A. la réciproque de Pythagore
    • B. un contre-exemple
    • C. la contraposée de Pythagore
    • D. une disjonction des cas
    Réponse

    C. la contraposée de Pythagore — 8² = 64 et 5² + 6² = 61 : l'égalité est fausse, donc, par la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle n'est pas rectangle.

  12. L'affirmation « pour tout entier n ≥ 1, n² + 1 est premier » est :

    • A. vraie : 2, 5 et 17 sont premiers
    • B. fausse : n = 3 donne 10
    • C. fausse : n = 1 donne 2, qui est pair
    • D. vraie, car n² + 1 est impair
    Réponse

    B. fausse : n = 3 donne 10 — 10 = 2 × 5 n'est pas premier : n = 3 est un contre-exemple. 2 est premier, et n² + 1 n'est pas toujours impair.

Bloqué sur ce chapitre ?

Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.

Réserver un 1er cours → Voir les tarifs

Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au collège · Aide aux devoirs