Fiche de révision : logique et raisonnements

Propositions, « pour tout » et « il existe », contre-exemple, « et », « ou » et négation, implication, réciproque, contraposée, équivalence, disjonction des cas et raisonnement par l’absurde.

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benprofparticulier.frMathématiques · Seconde

Logique et raisonnements

Fiche méthode

(Maths 2nde · Vocabulaire ensembliste et logique)

La démarche face à une affirmation

1. Je repère la forme de l’affirmation : « pour tout » (même caché), « il existe », « et », « ou », « si…, alors… », « si et seulement si ».

2. Je décide si elle me semble vraie ou fausse, en testant quelques valeurs (dont $0$ , des négatifs, des décimaux).

3. Fausse : je donne un contre-exemple et je montre le calcul. Vraie : je choisis le raisonnement (direct, contraposée, disjonction des cas, absurde) et je l’annonce.

4. Je conclus par une phrase : « l’affirmation est vraie » ou « l’affirmation est fausse ».

Le réflexe — un contre-exemple suffit pour dire « faux », mais des exemples ne suffisent jamais pour dire « vrai » à un « pour tout ».

Cas 1 · « Pour tout », « il existe », contre-exemple

Réflexe — « pour tout » faux : un contre-exemple vérifié ; « il existe » vrai : un exemple ; « pour tout » vrai : un calcul valable pour toutes les valeurs.

Exemple. Questions types : « Vrai ou faux ? Justifier. » Exemple : « pour tout entier $n ⩾ 1$ , $2 n + 1$ est un nombre premier ».

Je teste : $n = 1$ donne $3$ , $n = 2$ donne $5$ , $n = 3$ donne $7$ , $n = 4$ donne $9 = 3 \times 3$ .

$9$ n’est pas premier : $n = 4$ est un contre-exemple.

L’affirmation est fausse.

Attention — trois exemples qui marchent ne prouvent pas un « pour tout ».

Cas 2 · Et, ou, négation

Réflexe — je retourne chaque comparaison et j’échange « et » avec « ou ».

Exemple. Questions types : « Écrire la négation de… ». Exemple : « $x \in] - 1; 8]$ ».

$x \in] - 1; 8]$ signifie « $x > - 1$ et $x ⩽ 8$ ».

Négation : « $x ⩽ - 1$ ou $x > 8$ ».

Autrement dit, $x \in] - \infty; - 1] \cup] 8; + \infty [$ .

Attention — la négation de $x > a$ est $x ⩽ a$ (le cas d’égalité change de camp).

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Cas 3 · Implication, réciproque, équivalence

Réflexe — j’écris l’implication puis sa réciproque ; je démontre ou je réfute chacune ; les deux vraies : équivalence.

Exemple. Questions types : « Énoncer la réciproque. Est-elle vraie ? » Exemple : « si $x = 2$ , alors $x^{2} + x = 6$ ».

Implication vraie : $2^{2} + 2 = 6$ .

Réciproque : « si $x^{2} + x = 6$ , alors $x = 2$ ».

Pour $x = - 3$ : $(- 3)^{2} + (- 3) = 9 - 3 = 6$ , mais $x \neq 2$ . La réciproque est fausse : ce n’est pas une équivalence.

Attention — une réciproque vraie ne se suppose jamais : elle se démontre.

Cas 4 · Contraposée

Réflexe — contraposée = nier les deux propositions et les échanger ; elle a toujours la même vérité que l’implication.

Exemple. Questions types : « Énoncer la contraposée », « Démontrer par contraposée ». Exemple : « si un entier est multiple de $15$ , alors il est multiple de $5$ ».

Contraposée : « si un entier n’est pas multiple de $5$ , alors il n’est pas multiple de $15$ ».

L’implication est vraie ( $15 k = 5 \times 3 k$ ), donc la contraposée est vraie aussi.

Attention — « si non $P$ , alors non $Q$ » n’est pas la contraposée (c’est la contraposée de la réciproque).

Cas 5 · Disjonction des cas, absurde

Réflexe — plusieurs situations : je sépare les cas qui couvrent tout ; « il n’existe pas » : je suppose le contraire et je cherche une contradiction.

Exemple. Questions types : « Démontrer que pour tout entier $n$ … ». Exemple : $n^{2} - 3 n + 1$ est impair pour tout entier $n$ .

$n^{2} - 3 n + 1 = n (n - 3) + 1$ .

Si $n$ est pair, le facteur $n$ est pair, donc $n (n - 3)$ est pair. Si $n$ est impair, $n - 3$ est pair, donc $n (n - 3)$ est pair.

Dans les deux cas, $n (n - 3)$ est pair et $n^{2} - 3 n + 1$ est impair.

Attention — chaque cas se conclut, et l’ensemble des cas doit couvrir toutes les valeurs.

Les pièges

La négation de « $x > 5$ » est « $x ⩽ 5$ », pas « $x < 5$ » : le cas d’égalité change de camp.
Le « ou » des maths est inclusif : « $P$ ou $Q$ » reste vraie si $P$ et $Q$ sont vraies.
Une implication vraie peut avoir une réciproque fausse : on ne « retourne » pas un théorème sans le démontrer.
Contraposée et réciproque ne se confondent pas : seule la contraposée garde la vérité.
Un contre-exemple doit vérifier l’hypothèse et appartenir à l’ensemble annoncé.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche face à une affirmation à juger (vraie ou fausse), puis un exemple rédigé pour chacun des cinq cas : trouver un contre-exemple, nier un encadrement, tester une réciproque, écrire une contraposée, raisonner par disjonction des cas. Elle se termine par les pièges classiques de la logique et se télécharge en PDF.

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