Arithmétique : multiples, diviseurs, nombres pairs et impairs

Notations ℕ et ℤ, multiples et diviseurs, nombres pairs et impairs, fraction irréductible, démonstrations au programme (somme de multiples, carré d'un impair) — thème Nombres et calculs

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Ces problèmes corrigés sur « Arithmétique : multiples, diviseurs, nombres pairs et impairs » en seconde permettent d'appliquer le cours à des situations concrètes en . Ils suivent le programme officiel de seconde et se résolvent étape par étape. Au programme : L'essentiel : ℕ, ℤ, multiples et diviseurs, Propriétés des multiples et critères de divisibilité, Nombres pairs et nombres impairs, Démonstrations au programme. Cherche au brouillon, rédige, puis compare avec la correction détaillée de chaque problème. Idéal pour développer le raisonnement, la rigueur et la confiance avant une évaluation. Problèmes gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour progresser en en seconde.

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Problème 1 — Carreler une salle sans découpe

Moyen

Une salle rectangulaire mesure 4,20 m sur 3,36 m. On veut la carreler avec des dalles carrées identiques, dont le côté $c$ est un nombre entier de centimètres, posées bord à bord, sans joint et sans découpe. Un magasin propose les formats suivants.

Côté de la dalle	30 cm	28 cm	40 cm	42 cm
Prix d'une dalle	2,40 €	2,90 €	5,60 €	6,80 €

1. Décomposer 336 et 420 en produits de facteurs premiers.
2. Peut-on utiliser des dalles de 16 cm de côté ? de 6 cm de côté ? Justifier.
3. Montrer que $c$ doit être un diviseur commun de 336 et 420, puis donner toutes les valeurs possibles de $c$ .
4. On veut les plus grandes dalles possibles. Donner leur côté et le nombre de dalles nécessaires.
5. Parmi les formats du magasin, lesquels conviennent ? Lequel revient le moins cher pour carreler toute la salle ?
6. Écrire le rapport $\frac{largeur}{longueur}$ de la salle sous forme de fraction irréductible.

1. On travaille en centimètres : 3,36 m = 336 cm et 4,20 m = 420 cm. $336 = 2 \times 168 = 2^{2} \times 84 = 2^{3} \times 42 = 2^{4} \times 21$ , donc $336 = 2^{4} \times 3 \times 7$ . $420 = 2 \times 210 = 2^{2} \times 105$ et $105 = 3 \times 5 \times 7$ , donc $420 = 2^{2} \times 3 \times 5 \times 7$ .

2. Dalles de 16 cm : $336 = 16 \times 21$ , mais $\frac{420}{16} = 26, 25$ n'est pas entier ( $420$ ne contient que $2^{2}$ , pas $2^{4}$ ). Il faudrait découper : 16 cm ne convient pas. Dalles de 6 cm : $6 = 2 \times 3$ divise 336 ( $336 = 6 \times 56$ ) et 420 ( $420 = 6 \times 70$ ) : 6 cm convient, avec $56 \times 70 = 3 920$ dalles.

3. Sans découpe, un nombre entier $p$ de dalles couvre la largeur : $336 = p \times c$ ; et un nombre entier $q$ couvre la longueur : $420 = q \times c$ . Donc $c$ divise 336 et 420 : $c$ est un diviseur commun de 336 et 420. Un tel diviseur ne contient que des facteurs premiers communs aux deux décompositions, avec des exposants au plus égaux à ceux-ci : $c$ divise $2^{2} \times 3 \times 7 = 84$ . Réciproquement, tout diviseur de 84 divise 336 ( $= 84 \times 4$ ) et 420 ( $= 84 \times 5$ ). Les valeurs possibles sont les diviseurs de 84 : 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42 et 84 cm.

4. La plus grande valeur est $c = 84$ cm. Il faut $\frac{336}{84} = 4$ dalles sur la largeur et $\frac{420}{84} = 5$ sur la longueur, soit $4 \times 5 = 20$ dalles.

5. 30 cm ne convient pas ( $\frac{336}{30} = 11, 2$ ) ; 40 cm non plus ( $\frac{336}{40} = 8, 4$ ). 28 cm et 42 cm conviennent : ce sont des diviseurs de 84.
• 28 cm : $\frac{336}{28} = 12$ et $\frac{420}{28} = 15$ , soit $12 \times 15 = 180$ dalles, coût $180 \times 2, 90 = 522$ €.
• 42 cm : $\frac{336}{42} = 8$ et $\frac{420}{42} = 10$ , soit $80$ dalles, coût $80 \times 6, 80 = 544$ €.
Le format 28 cm est le moins cher : 522 €, bien qu'il demande plus de dalles.

6. $\frac{336}{420} = \frac{2^{4} \times 3 \times 7}{2^{2} \times 3 \times 5 \times 7} = \frac{2^{2}}{5} = \frac{4}{5}$ . Comme 4 et 5 n'ont aucun diviseur commun autre que 1, le rapport vaut $\frac{4}{5}$ : la largeur représente les quatre cinquièmes de la longueur.

Problème 2 — Départs simultanés de deux lignes de bus

Moyen

Au terminus, les bus de la ligne A partent toutes les 18 minutes et ceux de la ligne B toutes les 24 minutes. Le premier départ des deux lignes a lieu en même temps, à 6 h 00. Les départs se poursuivent au même rythme jusqu'à 21 h 00.

1. Donner la liste des multiples de 18 compris entre 1 et 150, puis celle des multiples de 24 compris entre 1 et 150.
2. À quelle heure les deux lignes ont-elles à nouveau un départ simultané pour la première fois après 6 h 00 ?
3. a) Décomposer 18 et 24 en produits de facteurs premiers.
3. b) Montrer qu'un entier multiple à la fois de 18 et de 24 est un multiple de 72, et réciproquement.
4. Combien y a-t-il de départs simultanés entre 6 h 00 et 21 h 00 (bornes comprises) ? À quelle heure a lieu le dernier ?
5. Un usager affirme : « comme $18 \times 24 = 432$ , les deux bus repartent ensemble toutes les 432 minutes. » Expliquer son erreur.

1. Multiples de 18 : 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144 ( $18 \times 9 = 162 > 150$ ). Multiples de 24 : 24, 48, 72, 96, 120, 144 ( $24 \times 7 = 168 > 150$ ).

2. Un départ simultané a lieu $t$ minutes après 6 h 00 lorsque $t$ est à la fois un multiple de 18 et de 24. Le plus petit multiple commun non nul figurant dans les deux listes est 72. Or 72 min = 1 h 12 min : le premier départ simultané suivant a lieu à 7 h 12.

3. a) $18 = 2 \times 3^{2}$ et $24 = 2^{3} \times 3$ .

3. b) Soit $N$ un entier non nul multiple de 24 et de 18. Comme $24 = 2^{3} \times 3$ divise $N$ , la décomposition de $N$ contient au moins trois facteurs 2. Comme $18 = 2 \times 3^{2}$ divise $N$ , elle contient au moins deux facteurs 3. Par unicité de la décomposition, $N$ contient le produit $2^{3} \times 3^{2} = 72$ : $N$ est un multiple de 72 (c'est aussi vrai pour $N = 0$ ). Réciproquement, $72 = 18 \times 4 = 24 \times 3$ , donc tout multiple de 72 est un multiple de 18 et de 24.

4. De 6 h 00 à 21 h 00, il s'écoule 15 h = 900 min. Les départs simultanés ont lieu aux instants $t = 72 k$ avec $k$ entier et $0 ⩽ 72 k ⩽ 900$ , soit $0 ⩽ k ⩽ 12, 5$ ; donc $k \in {0; 1; \dots; 12}$ . Il y a 13 départs simultanés, en comptant celui de 6 h 00. Le dernier a lieu à $t = 72 \times 12 = 864$ min = 14 h 24 min après 6 h 00, soit à 20 h 24.

5. 432 est bien un multiple commun de 18 et de 24, mais ce n'est pas le plus petit : $432 = 72 \times 6$ . D'après 3. b), les départs simultanés ont lieu toutes les 72 minutes. En raisonnant avec 432 minutes, l'usager oublie cinq départs simultanés sur six. Le produit de deux nombres est toujours un multiple commun, mais pas le plus petit lorsque ces nombres ont des facteurs premiers communs (ici 2 et 3).

Problème 3 — Diviseurs en Python et nombres parfaits

Difficile

On considère la fonction Python suivante.

def diviseurs(n):
    L = []
    for d in range(1, n + 1):
        if n % d == 0:
            L.append(d)
    return L

Un entier

n ⩾ 2

est dit parfait s'il est égal à la somme de ses diviseurs positifs autres que lui-même.

1. Expliquer le rôle du test $n$ . Que renvoie $d i v i s e u r s (28)$ ?
2. Écrire une fonction $e s t_{p} r e m i e r (n)$ , utilisant $d i v i s e u r s$ , qui renvoie True si l'entier naturel $n$ est premier et False sinon. Que renvoie $e s t_{p} r e m i e r (1)$ ? Est-ce conforme au cours ?
3. Montrer que 28 et 496 sont des nombres parfaits.
4. Écrire une fonction $e s t_{p} a r f a i t (n)$ qui renvoie True si $n$ est parfait et False sinon.
5. Démontrer qu'aucun nombre premier n'est parfait.
6. Lina a testé $e s t_{p} a r f a i t$ pour tous les entiers de 2 à 10 000 et n'a obtenu que 6, 28, 496 et 8 128, tous pairs. Peut-elle en conclure qu'il n'existe aucun nombre parfait impair ?

1. $n$ est le reste de la division euclidienne de $n$ par $d$ ; le test $n$ est vrai exactement lorsque $d$ divise $n$ . La boucle parcourt $d = 1, 2, \dots, n$ et ajoute à la liste chaque diviseur trouvé. $28 = 1 \times 28 = 2 \times 14 = 4 \times 7$ , et 3, 5, 6 ne divisent pas 28 : $d i v i s e u r s (28)$ renvoie $[1, 2, 4, 7, 14, 28]$ .

2. Un entier est premier s'il a exactement deux diviseurs positifs :

def est_premier(n):
    return len(diviseurs(n)) == 2

Pour

n = 1

d i v i s e u r s (1)

vaut

[1]

, de longueur 1 :

e s t_{p} r e m i e r (1)

renvoie False, ce qui est conforme au cours (1 n'est pas premier). Pour

n = 0

, la boucle est vide et la fonction renvoie aussi False.

3. Diviseurs de 28 autres que 28 : $1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28$ : 28 est parfait. Pour 496 : $496 = 2^{4} \times 31$ , ses diviseurs positifs sont 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248 et 496. Somme des diviseurs autres que 496 : $(1 + 2 + 4 + 8 + 16) + (31 + 62 + 124 + 248) = 31 + 465 = 496$ . Donc 496 est parfait.

4. La somme de tous les diviseurs de $n$ (lui compris) doit valoir $2 n$ :

def est_parfait(n):
    return sum(diviseurs(n)) == 2 * n

Pour

n = 1

, la somme vaut

1 \neq 2

: la fonction renvoie False, ce qui est cohérent avec la définition (

n ⩾ 2

5. Soit $p$ un nombre premier. Ses seuls diviseurs positifs sont 1 et $p$ ; la somme de ses diviseurs positifs autres que lui-même vaut donc 1. Or $p ⩾ 2$ , donc $1 \neq p$ . Aucun nombre premier n'est parfait.

6. Non. Des tests, même nombreux, ne portent que sur un nombre fini d'entiers : ils ne démontrent pas une propriété valable pour tous les entiers. Seul un contre-exemple aurait permis de conclure (dans l'autre sens). En fait, personne ne sait aujourd'hui s'il existe un nombre parfait impair : c'est un problème ouvert des mathématiques.

Problème 4 — La clé de contrôle d'un code-barres

Difficile

Un code-barres de type EAN-13 est formé de 13 chiffres $a_{1} a_{2} \dots a_{13}$ . Le dernier, $a_{13}$ , est la clé de contrôle. On calcule $S = (a_{1} + a_{3} + a_{5} + a_{7} + a_{9} + a_{11}) + 3 (a_{2} + a_{4} + a_{6} + a_{8} + a_{10} + a_{12}) + a_{13}$ . Le code est valide si et seulement si $S$ est un multiple de 10. À la caisse, un code non valide est refusé : l'erreur est alors détectée.

1. Le code 5412807369014 est-il valide ?
2. Les douze premiers chiffres d'un code sont 376024915832. Déterminer la clé de contrôle et justifier qu'elle est unique.
3. Un employé tape un code valide en se trompant sur un seul chiffre situé en position impaire ( $a_{1}, a_{3}, \dots, a_{13}$ ). Montrer que l'erreur est détectée.
4. Même question lorsque le chiffre erroné est en position paire.
5. Dans un code valide, on échange deux chiffres voisins $a$ et $b$ distincts (l'un de coefficient 1, l'autre de coefficient 3). Montrer que l'erreur n'est pas détectée si et seulement si $a - b = 5$ ou $a - b = - 5$ .
6. Dans le code complet obtenu à la question 2, on échange le 6e et le 7e chiffre. Vérifier par le calcul que le nouveau code est accepté.

1. Chiffres de rang impair (1 à 11) : $5 + 1 + 8 + 7 + 6 + 0 = 27$ . Chiffres de rang pair (2 à 12) : $4 + 2 + 0 + 3 + 9 + 1 = 19$ , d'où $3 \times 19 = 57$ . Clé : $a_{13} = 4$ . Donc $S = 27 + 57 + 4 = 88$ , qui n'est pas un multiple de 10 : le code n'est pas valide.

2. Rangs impairs : $3 + 6 + 2 + 9 + 5 + 3 = 28$ ; rangs pairs : $7 + 0 + 4 + 1 + 8 + 2 = 22$ , d'où $3 \times 22 = 66$ . Donc $S = 28 + 66 + a_{13} = 94 + a_{13}$ . Comme $a_{13}$ est un chiffre, $S$ prend une des dix valeurs consécutives 94, 95, …, 103. Parmi dix entiers consécutifs, un seul est un multiple de 10 : ici 100. Donc $a_{13} = 6$ , et cette clé est unique. Le code complet est 3760249158326.

3. Soit $S$ la somme du code valide et $S^{'}$ celle du code tapé. Si le chiffre $a$ (de coefficient 1) est remplacé par $a^{'}$ , on a $S^{'} = S + d$ avec $d = a^{'} - a$ . Comme $a$ et $a^{'}$ sont deux chiffres différents, $d \in {- 9; \dots; 9}$ et $d \neq 0$ . Si $S^{'}$ était un multiple de 10, alors $d = S^{'} - S$ , différence de deux multiples de 10, en serait un aussi ; or le seul multiple de 10 entre $- 9$ et 9 est 0. Contradiction : $S^{'}$ n'est pas un multiple de 10, l'erreur est détectée.

4. Cette fois, $S^{'} = S + 3 d$ avec $d \in {- 9; \dots; 9}$ , $d \neq 0$ . Les valeurs possibles de $3 d$ sont $\pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 12, \pm 15, \pm 18, \pm 21, \pm 24, \pm 27$ : aucune n'est un multiple de 10. Comme au 3, l'erreur est détectée.

5. Supposons que $a$ ait le coefficient 1 et $b$ le coefficient 3. Ces deux chiffres apportent $a + 3 b$ à $S$ ; après échange, ils apportent $b + 3 a$ . Donc $S^{'} - S = (b + 3 a) - (a + 3 b) = 2 (a - b)$ (le calcul est le même, au signe près, si c'est $a$ qui a le coefficient 3). L'erreur passe inaperçue si et seulement si $S^{'}$ est un multiple de 10, c'est-à-dire si et seulement si $2 (a - b)$ est un multiple de 10, soit $a - b$ multiple de 5. Or $a - b \in {- 9; \dots; 9}$ et $a - b \neq 0$ : l'erreur n'est pas détectée si et seulement si $a - b = 5$ ou $a - b = - 5$ .

6. Dans 3760249158326, le 6e chiffre est 4 et le 7e est 9 : $9 - 4 = 5$ , donc d'après 5. l'échange ne doit pas être détecté. Nouveau code : 3760294158326. Rangs impairs : $3 + 6 + 2 + 4 + 5 + 3 = 23$ ; rangs pairs : $7 + 0 + 9 + 1 + 8 + 2 = 27$ , d'où $3 \times 27 = 81$ ; clé 6. $S = 23 + 81 + 6 = 110$ , multiple de 10 : le code erroné est accepté, comme prévu. C'est une limite réelle de ce système de contrôle.

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