Arithmétique : multiples, diviseurs, nombres pairs et impairs

Notations ℕ et ℤ, multiples et diviseurs (a = kb), somme de multiples, nombres pairs et impairs, fraction irréductible, avec les deux démonstrations du programme.

À propos de cette page

Cinq problèmes corrigés : les départs simultanés de deux lignes de bus, le carrelage d’une salle sans découpe, les nombres parfaits en Python, la clé de contrôle d’un code-barres EAN-13 et les entiers qui sont différence de deux carrés.

5 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je traduis l’énoncé en multiples, diviseurs ou parité : « sans découpe » = diviseur, « en même temps » = multiple commun, « partager tout le stock en lots identiques » = diviseur commun.
Je nomme les nombres avec des lettres (une par nombre indépendant) et je précise s’ils sont entiers naturels ou relatifs.
Je calcule ou je décompose : division euclidienne, liste des diviseurs, décomposition en facteurs premiers.
Je démontre ce qui est demandé pour tout entier (mise en facteur, parité, contre-exemple) au lieu de me contenter d’exemples.
Je vérifie et je conclus dans le contexte : unité, heure, nombre de dalles ou de bouquets.

Problème 1 · Départs simultanés de deux lignes de bus★★★Facile

Au terminus, les bus de la ligne A partent toutes les

18

minutes et ceux de la ligne B toutes les

24

minutes. Les deux lignes ont un départ en même temps à 6 h 00, et les départs continuent au même rythme jusqu’à 21 h 00.

1. Lister les multiples de $18$ et ceux de $24$ jusqu’à $150$ . Le premier départ simultané après 6 h 00 a lieu à 7 h min.
Multiples de $18$ : $18$ , $36$ , $54$ , $72$ , $90$ , $108$ , $126$ , $144$ . Multiples de $24$ : $24$ , $48$ , $72$ , $96$ , $120$ , $144$ . Un départ simultané a lieu $t$ minutes après 6 h 00 lorsque $t$ est un multiple de $18$ et de $24$ ; le plus petit non nul est $72$ . Or $72$ min $=$ 1 h 12 min : le départ suivant a lieu à 7 h 12.
2. On a $18 = 2 \times 3^{2}$ et $24 = 2^{3} \times 3$ . Démontrer qu’un entier multiple de $18$ et de $24$ est un multiple de $2^{3} \times 3^{2}$ , et réciproquement. Contrôle : $2^{3} \times 3^{2} = 24 \times k$ avec $k =$
Rédaction attendue. Soit $N$ un entier naturel non nul, multiple de $18$ et de $24$ . Comme $24 = 2^{3} \times 3$ divise $N$ , la décomposition de $N$ contient au moins trois facteurs $2$ ; comme $18 = 2 \times 3^{2}$ divise $N$ , elle contient au moins deux facteurs $3$ . Par unicité de la décomposition, $N$ est un multiple de $2^{3} \times 3^{2} = 72$ (c’est aussi vrai pour $N = 0$ ; pour un entier négatif, on raisonne sur son opposé). Réciproquement, $72 = 18 \times 4 = 24 \times 3$ : tout multiple de $72$ est un multiple de $18$ et de $24$ .
3. Nombre de départs simultanés entre 6 h 00 et 21 h 00, bornes comprises :
De 6 h 00 à 21 h 00, il s’écoule $15$ h, soit $900$ min. Les départs simultanés ont lieu aux instants $t = 72 k$ avec $k$ entier et $0 ⩽ 72 k ⩽ 900$ . Or $72 \times 12 = 864 ⩽ 900 < 936 = 72 \times 13$ : $k$ va de $0$ à $12$ . Il y a $13$ départs simultanés, en comptant celui de 6 h 00.
4. Le dernier départ simultané de la journée a lieu à 20 h min.
Il a lieu à $t = 72 \times 12 = 864$ min après 6 h 00. $864 = 60 \times 14 + 24$ : $864$ min $=$ 14 h 24 min, d’où 6 h 00 $+$ 14 h 24 min $=$ 20 h 24.
5. Un usager affirme : « comme $18 \times 24 = 432$ , les deux bus repartent ensemble toutes les $432$ minutes ». Sur une durée de $432$ minutes qui commence par un départ simultané, combien y en a-t-il en réalité (celui du début compris, celui de la fin non compris) ?
$432$ est bien un multiple commun de $18$ et de $24$ , mais ce n’est pas le plus petit : $432 = 72 \times 6$ . Les départs simultanés ont lieu toutes les $72$ minutes : $t = 0$ , $72$ , $144$ , $216$ , $288$ , $360$ , soit $6$ départs avant $432$ . L’usager en oublie cinq sur six. Le produit de deux entiers est toujours un multiple commun, mais pas le plus petit quand ils ont des facteurs premiers communs (ici $2$ et $3$ ).

Problème 2 · Carreler une salle sans découpe★★★Moyen

Une salle rectangulaire mesure

4, 20

m sur

3, 36

m. On veut la carreler avec des dalles carrées identiques, dont le côté

c

est un nombre entier de centimètres, posées bord à bord, sans joint et sans découpe. Un magasin propose ces formats :

Côté de la dalle	Prix d’une dalle
30 cm	2,40 €
28 cm	2,90 €
40 cm	5,60 €
42 cm	6,80 €

1. On travaille en centimètres. $336 = 2^{a} \times 3 \times 7$ avec $a =$
$3, 36$ m $= 336$ cm et $4, 20$ m $= 420$ cm. $336$ $= 2 \times 168$ $= 2^{2} \times 84$ $= 2^{3} \times 42$ $= 2^{4} \times 21$ , donc $336 = 2^{4} \times 3 \times 7$ . De même $420 = 2^{2} \times 105$ et $105 = 3 \times 5 \times 7$ , donc $420 = 2^{2} \times 3 \times 5 \times 7$ .
2. Des dalles de $16$ cm de côté ne conviennent pas : $420 \div 16 =$ n’est pas un entier.
$336 = 16 \times 21$ : la largeur se couvre exactement. Mais $420 = 16 \times 26 + 4$ , soit $\frac{420}{16} = 26, 25$ : il faudrait découper. La décomposition l’explique : $420$ ne contient que $2^{2}$ , pas $2^{4} = 16$ .
3. Des dalles de $6$ cm de côté, elles, conviennent. Nombre de dalles nécessaires :
$6 = 2 \times 3$ divise $336 = 6 \times 56$ et $420 = 6 \times 70$ : pas de découpe. Il faut $56$ dalles sur la largeur et $70$ sur la longueur, soit $56 \times 70 = 3 920$ dalles.
4. Démontrer que $c$ doit être un diviseur commun de $336$ et $420$ . Le plus grand côté possible est $c =$ cm
Rédaction attendue. Sans découpe, un nombre entier $p$ de dalles couvre la largeur : $336 = p \times c$ , et un nombre entier $q$ couvre la longueur : $420 = q \times c$ . Donc $c$ divise $336$ et $420$ . Un diviseur commun ne contient que des facteurs premiers communs aux deux décompositions, avec des exposants au plus égaux : $c$ divise $2^{2} \times 3 \times 7 = 84$ . Réciproquement, $84$ divise $336 = 84 \times 4$ et $420 = 84 \times 5$ . Le plus grand côté possible est $84$ cm ; les côtés possibles sont les diviseurs de $84$ : $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $6$ , $7$ , $12$ , $14$ , $21$ , $28$ , $42$ , $84$ .
5. Avec ces plus grandes dalles, nombre de dalles nécessaires :
Il faut $\frac{336}{84} = 4$ dalles sur la largeur et $\frac{420}{84} = 5$ sur la longueur, soit $4 \times 5 = 20$ dalles.
6. Parmi les formats du magasin, le moins cher pour carreler toute la salle revient à €
$30$ cm ne convient pas ( $\frac{336}{30} = 11, 2$ ), $40$ cm non plus ( $\frac{336}{40} = 8, 4$ ) : ce ne sont pas des diviseurs de $84$ . $28$ et $42$ conviennent.
• $28$ cm : $\frac{336}{28} = 12$ et $\frac{420}{28} = 15$ , soit $12 \times 15 = 180$ dalles, pour $180 \times 2, 90 = 522$ €.
• $42$ cm : $\frac{336}{42} = 8$ et $\frac{420}{42} = 10$ , soit $80$ dalles, pour $80 \times 6, 80 = 544$ €.
Le format $28$ cm est le moins cher, bien qu’il demande plus de dalles.
7. Le rapport $\frac{largeur}{longueur}$ de la salle, sous forme irréductible :
$\frac{336}{420}$ $= \frac{2^{4} \times 3 \times 7}{2^{2} \times 3 \times 5 \times 7}$ $= \frac{2^{2}}{5}$ $= \frac{4}{5}$ . Comme $4$ et $5$ n’ont aucun diviseur positif commun autre que $1$ , le rapport vaut $\frac{4}{5}$ : la largeur représente les quatre cinquièmes de la longueur.

Problème 3 · Diviseurs en Python et nombres parfaits★★★Moyen

On considère la fonction Python suivante.

def diviseurs(n):
    L = []
    for d in range(1, n + 1):
        if n % d == 0:
            L.append(d)
    return L

Un entier

n ⩾ 2

est dit parfait s’il est égal à la somme de ses diviseurs positifs autres que lui-même.

1. Le test n % d == 0 est vrai exactement lorsque $d$ divise $n$ . Nombre d’éléments de la liste renvoyée par diviseurs(28) :
La boucle parcourt $d = 1$ , $2$ , …, $n$ et garde chaque diviseur. $28 = 1 \times 28 = 2 \times 14 = 4 \times 7$ , et $3$ , $5$ , $6$ ne divisent pas $28$ : la fonction renvoie [1, 2, 4, 7, 14, 28], qui a $6$ éléments. Comme $1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28$ , le nombre $28$ est parfait.
2. $496 = 2^{4} \times 31$ . Nombre de diviseurs positifs de $496$ :
Les diviseurs positifs de $2^{4} \times 31$ sont les $2^{i}$ et les $2^{i} \times 31$ pour $i$ de $0$ à $4$ : $1$ , $2$ , $4$ , $8$ , $16$ , $31$ , $62$ , $124$ , $248$ , $496$ , soit $10$ diviseurs.
3. Somme de tous les diviseurs positifs de $496$ , lui compris :
$(1 + 2 + 4 + 8 + 16) + (31 + 62 + 124 + 248 + 496)$ $= 31 + 961$ $= 992$ . Les diviseurs autres que $496$ ont donc pour somme $992 - 496 = 496$ : $496$ est parfait.
4. On complète la fonction :
```
def est_parfait(n):
    s = sum(diviseurs(n))
    return s == ...... * n
```
Le nombre à écrire à la place des pointillés est
$n$ est parfait lorsque la somme de ses diviseurs autres que lui vaut $n$ , c’est-à-dire lorsque la somme de tous ses diviseurs (lui compris) vaut $n + n = 2 n$ . On écrit donc 2 * n.
5. Somme des diviseurs positifs de $18$ autres que lui-même :
Diviseurs positifs de $18$ : $1$ , $2$ , $3$ , $6$ , $9$ , $18$ . Sans $18$ : $1 + 2 + 3 + 6 + 9 = 21$ , différent de $18$ : $18$ n’est pas parfait.
6. Démontrer que, si $n$ est parfait, la somme de tous ses diviseurs positifs est un nombre pair. Contrôle : pour $n = 6$ , cette somme vaut
Rédaction attendue. Si $n$ est parfait, la somme de ses diviseurs autres que lui vaut $n$ ; en ajoutant $n$ lui-même, la somme de tous ses diviseurs vaut $n + n = 2 n$ , avec $n$ entier : c’est un nombre pair. Contrôle : $1 + 2 + 3 + 6 = 12 = 2 \times 6$ . Remarque : en testant tous les entiers jusqu’à $10 000$ , on ne trouve que $6$ , $28$ , $496$ et $8 128$ , tous pairs ; ces essais ne prouvent pas qu’il n’existe aucun parfait impair. Personne ne le sait aujourd’hui : c’est un problème ouvert.

Problème 4 · La clé de contrôle d’un code-barres★★★Difficile

Un code-barres EAN-13 est formé de

13

chiffres

a_{1} a_{2} \dots a_{13}

; le dernier,

a_{13}

, est la clé de contrôle. On calcule

S

= (a_{1} + a_{3} + a_{5} + a_{7} + a_{9} + a_{11})

+ 3 (a_{2} + a_{4} + a_{6} + a_{8} + a_{10} + a_{12})

+ a_{13}

. Le code est valide si et seulement si

S

est un multiple de

10

. À la caisse, un code non valide est refusé : l’erreur est alors détectée.

1. Pour le code 5412807369014, $S =$ (ce code n’est donc pas valide).
Rangs impairs de $1$ à $11$ : $5 + 1 + 8 + 7 + 6 + 0 = 27$ . Rangs pairs de $2$ à $12$ : $4 + 2 + 0 + 3 + 9 + 1 = 19$ , d’où $3 \times 19 = 57$ . Clé : $a_{13} = 4$ . Donc $S = 27 + 57 + 4 = 88$ , qui n’est pas un multiple de $10$ : le code n’est pas valide.
2. Les douze premiers chiffres d’un code sont 376024915832. Clé de contrôle : $a_{13} =$
Rangs impairs : $3 + 6 + 2 + 9 + 5 + 3 = 28$ ; rangs pairs : $7 + 0 + 4 + 1 + 8 + 2 = 22$ , d’où $3 \times 22 = 66$ . Donc $S = 28 + 66 + a_{13} = 94 + a_{13}$ . Comme $a_{13}$ est un chiffre, $S$ prend une des dix valeurs consécutives $94$ , $95$ , …, $103$ ; parmi dix entiers consécutifs, un seul est un multiple de $10$ : ici $100$ . Donc $a_{13} = 6$ , et cette clé est unique. Le code complet est 3760249158326.
3. Un employé tape un code valide en se trompant sur un seul chiffre de rang impair. Démontrer que l’erreur est détectée. On note $S'$ la nouvelle somme : $S' - S$ est un entier non nul compris entre $- 9$ et $9$ , et le seul multiple de $10$ compris entre $- 9$ et $9$ est
Rédaction attendue. Si le chiffre $a$ (de coefficient $1$ ) est remplacé par $a'$ , alors $S' = S + d$ avec $d = a' - a$ . Comme $a$ et $a'$ sont deux chiffres différents, $d$ est un entier non nul compris entre $- 9$ et $9$ . Supposons $S'$ multiple de $10$ : alors $d = S' - S$ , différence de deux multiples de $10$ , en serait un aussi (propriété du cours). Or le seul multiple de $10$ entre $- 9$ et $9$ est $0$ , et $d \neq 0$ : contradiction. $S'$ n’est pas un multiple de $10$ : l’erreur est détectée.
4. Si le chiffre erroné est de rang pair (avant $a_{13}$ ), on a $S' - S = c \times d$ , où $d$ est l’écart entre le bon chiffre et le chiffre tapé, avec $c =$
Ce chiffre a le coefficient $3$ : $S' = S + 3 d$ avec $d$ entier non nul entre $- 9$ et $9$ . Les valeurs possibles de $3 d$ sont $\pm 3$ , $\pm 6$ , $\pm 9$ , $\pm 12$ , $\pm 15$ , $\pm 18$ , $\pm 21$ , $\pm 24$ , $\pm 27$ : aucune n’est un multiple de $10$ . Comme à la question précédente, l’erreur est détectée.
5. Dans un code valide, on échange deux chiffres voisins distincts : $a$ (coefficient $1$ ) et $b$ (coefficient $3$ ). Démontrer que $S' - S = 2 (a - b)$ . L’erreur passe alors inaperçue exactement lorsque $a - b$ est un multiple de
Rédaction attendue. Avant l’échange, ces deux chiffres apportent $a + 3 b$ à $S$ ; après, ils apportent $b + 3 a$ . Donc $S' - S$ $= (b + 3 a) - (a + 3 b)$ $= 2 a - 2 b$ $= 2 (a - b)$ . L’erreur passe inaperçue si et seulement si $S'$ est un multiple de $10$ , c’est-à-dire si $2 (a - b) = 10 m$ avec $m$ entier, soit $a - b = 5 m$ : $a - b$ est un multiple de $5$ . Comme $a - b$ est non nul et compris entre $- 9$ et $9$ , cela arrive pour $a - b = 5$ ou $a - b = - 5$ .
6. Dans le code complet 3760249158326, on échange le 6e et le 7e chiffre. La nouvelle somme vaut $S' =$
Le 6e chiffre est $4$ et le 7e est $9$ : leur écart vaut $5$ , l’échange ne doit donc pas être détecté. Nouveau code : 3760294158326. Rangs impairs : $3 + 6 + 2 + 4 + 5 + 3 = 23$ ; rangs pairs : $7 + 0 + 9 + 1 + 8 + 2 = 27$ , d’où $3 \times 27 = 81$ ; clé $6$ . $S' = 23 + 81 + 6 = 110$ , multiple de $10$ : le code erroné est accepté. C’est une limite réelle de ce système de contrôle.

Problème 5 · Écrire un entier comme différence de deux carrés★★★Difficile

Dans tout le problème,

x

y

désignent des entiers naturels. On utilise l’identité remarquable vue au collège :

x^{2} - y^{2} = (x - y) (x + y)

1. Démontrer que $x + y$ et $x - y$ ont la même parité. Contrôle : leur somme s’écrit $c \times x$ avec $c =$
Rédaction attendue. $(x + y) + (x - y) = 2 x$ est un nombre pair. Si l’un des deux nombres était pair et l’autre impair, leur somme serait impaire (tableau des parités) : c’est impossible. Donc $x + y$ et $x - y$ sont tous les deux pairs, ou tous les deux impairs.
2. Nombre de couples $(x; y)$ tels que $x^{2} - y^{2} = 33$ :
$(x - y) (x + y) = 33 > 0$ et $x + y ⩾ 0$ , donc $x + y > 0$ et $x - y > 0$ , avec $x - y ⩽ x + y$ . Les écritures de $33$ comme produit de deux entiers positifs, le plus petit en premier, sont $1 \times 33$ et $3 \times 11$ .
• $x - y = 1$ et $x + y = 33$ : en additionnant, $2 x = 34$ , d’où $x = 17$ et $y = 16$ .
• $x - y = 3$ et $x + y = 11$ : $2 x = 14$ , d’où $x = 7$ et $y = 4$ .
Vérification : $289 - 256 = 33$ et $49 - 16 = 33$ . Il y a deux couples.
3. Nombre de couples $(x; y)$ tels que $x^{2} - y^{2} = 105$ :
$105 = 1 \times 105 = 3 \times 35 = 5 \times 21 = 7 \times 15$ (facteurs impairs, de même parité). On obtient $(53; 52)$ , $(19; 16)$ , $(13; 8)$ et $(11; 4)$ . Vérification : $2809 - 2704 = 361 - 256 = 169 - 64 = 121 - 16 = 105$ . Il y a $4$ couples.
4. Démontrer qu’aucun couple ne vérifie $x^{2} - y^{2} = 30$ . Reste de la division euclidienne de $30$ par $4$ :
Rédaction attendue. Supposons $(x - y) (x + y) = 30$ . D’après la première question, deux cas seulement :
• les deux facteurs sont impairs : leur produit est impair, or $30$ est pair, c’est impossible ;
• les deux facteurs sont pairs : $x - y = 2 a$ et $x + y = 2 b$ avec $a$ , $b$ entiers, donc le produit vaut $4 a b$ , un multiple de $4$ ; or $30 = 4 \times 7 + 2$ n’est pas un multiple de $4$ (reste $2$ ), c’est impossible.
Donc aucun couple d’entiers naturels ne vérifie $x^{2} - y^{2} = 30$ .
5. Pour tout entier naturel $m$ , $(m + 1)^{2} - m^{2} = 2 m + 1$ : tout entier naturel impair est une différence de deux carrés. Pour écrire $85$ ainsi, on prend $m + 1 =$
$(m + 1)^{2} - m^{2}$ $= m^{2} + 2 m + 1 - m^{2}$ $= 2 m + 1$ . Pour $2 m + 1 = 85$ : $m = 42$ et $m + 1 = 43$ . Vérification : $43^{2} - 42^{2} = 1849 - 1764 = 85$ .

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