Logique : propositions, implication et raisonnements

1. a)On nie chaque comparaison et « ou » devient « et » : la négation est « $x>-1$ et $x⩽6$ », c’est-à-dire $x\in ]-1;6]$. (1)
2. b)Elle est fausse. Pour $n=0$ et $n=1$, on obtient $2$ et $3$, qui sont premiers ; mais pour $n=2$, $n^2+2=6=2\times 3$, qui n’est pas premier. $n=2$ est un contre-exemple. (1)
3. c)Réciproque : « si un entier est multiple de $3$, alors il est multiple de $9$ ». Elle est fausse : $6=3\times 2$ est multiple de $3$, mais $6$ n’est pas multiple de $9$. (1)
4. d)Elle est vraie : $7x+3=3x-5\iff 4x=-8\iff x=-2$. Vérification : $7\times (-2)+3=-11$ et $3\times (-2)-5=-11$. Un exemple suffit pour un « il existe ». (1)

Repère — Un « pour tout » se réfute par un contre-exemple ; un « il existe » se prouve par un exemple.

1. a)Les multiples de $7$ de $E$ sont $7$, $14$, $21$ et $28$ ; les impairs parmi eux sont $7$ et $21$. « $P$ et $Q$ » est vraie pour $7$ et $21$. (1)
2. b)$E$ contient $15$ entiers impairs. On ajoute les multiples de $7$ qui ne sont pas déjà comptés, c’est-à-dire les pairs : $14$ et $28$. « $P$ ou $Q$ » est vraie pour $15+2=17$ entiers (le « ou » est inclusif : $7$ et $21$ ne sont comptés qu’une fois). (1)
3. c)non ($P$ et $Q$) = (non $P$) ou (non $Q$) : « $n$ est pair ou $n$ n’est pas un multiple de $7$ ». Elle est vraie pour tous les entiers de $E$ sauf $7$ et $21$ : $30-2=28$ entiers. (1)

Repère — La négation de « $P$ et $Q$ » est « non $P$ ou non $Q$ » : elle est vraie pour tous les éléments qui ne vérifient pas « $P$ et $Q$ ».

1. a)Soit $x$ un réel tel que $x>4$. On a $x^2-3x=x(x-3)$. Comme $x>4$, on a $x>0$ et $x-3>1>0$ : le produit de deux nombres strictement positifs est strictement positif, donc $x^2-3x>0$, soit $x^2>3x$. L’implication $I$ est vraie. (1)
2. b)Réciproque : « si $x^2>3x$, alors $x>4$ ». Elle est fausse : pour $x=-1$, $x^2=1$ et $3x=-3$, donc $x^2>3x$ ; pourtant $-1⩽4$. C’est un contre-exemple. (1)
3. c)Contraposée : « si $x^2⩽3x$, alors $x⩽4$ » (la négation de $x^2>3x$ est $x^2⩽3x$, celle de $x>4$ est $x⩽4$). Une implication et sa contraposée ont toujours la même valeur de vérité : comme $I$ est vraie, la contraposée est vraie. (1)
4. d)Le plus grand côté est $[BC]$ : $B{C}^2=256$ et $A{B}^2+A{C}^2=81+144=225$. Comme $256\ne 225$, d’après la contraposée du théorème de Pythagore, $ABC$ n’est pas rectangle en $A$. Un angle droit ne pourrait être qu’en $A$, opposé au plus grand côté : $ABC$ n’est pas rectangle. (1)
5. e)Le plus grand côté est $[UW]$ : $U{W}^2=1369$ et $U{V}^2+V{W}^2=144+1225=1369$. L’égalité est vraie : d’après la réciproque du théorème de Pythagore, $UVW$ est rectangle en $V$. (1)

Repère — Réciproque de Pythagore pour prouver qu’un triangle est rectangle, contraposée pour prouver qu’il ne l’est pas.

1. a)Distinguons deux cas, qui couvrent tous les entiers. Si $n$ est pair, $n=2k$ : $5n^2+3n=20k^2+6k=2(10k^2+3k)$, qui est pair. Si $n$ est impair, $n=2k+1$ : $5n^2+3n=5(4k^2+4k+1)+6k+3=20k^2+26k+8=2(10k^2+13k+4)$, qui est pair. Dans les deux cas, $5n^2+3n$ est pair. (2)
2. b)Raisonnons par l’absurde : supposons qu’il existe un réel $x$ tel que $(x+2{)}^2=4x$. En développant, $x^2+4x+4=4x$, donc $x^2=-4$. Or un carré est toujours positif ou nul : $x^2⩾0>-4$. C’est une contradiction : aucun réel ne vérifie $(x+2{)}^2=4x$. (2)
3. c)Raisonnons par contraposée : montrons que si $n$ est pair, alors $3n+2$ est pair. Soit $n$ pair, $n=2k$ : $3n+2=6k+2=2(3k+1)$, où $3k+1$ est un entier. Donc $3n+2$ est pair. La contraposée est vraie, donc l’implication « si $3n+2$ est impair, alors $n$ est impair » est vraie. (2)
4. d)C’est un « pour tout » : un contre-exemple suffit. Pour $x=0$, $|0-1|=1$ alors que $0-1=-1$ : l’affirmation est fausse. Par définition de la valeur absolue, $|x-1|=x-1$ lorsque $x-1⩾0$, et $|x-1|=-(x-1)$ lorsque $x-1<0$ ; dans ce second cas, $-(x-1)>0>x-1$, donc l’égalité est fausse. L’égalité est vraie si et seulement si $x⩾1$, soit $x\in [1;+\infty [$. (2)

Repère — J’annonce toujours mon raisonnement : « distinguons deux cas », « raisonnons par l’absurde », « raisonnons par contraposée ».