Devoir surveillé : triangles, quadrilatères, angles du triangle et solides

1. a)$DEF$ est équilatéral (trois côtés égaux). Ses trois angles sont égaux et leur somme vaut 180° : chacun mesure $180÷3=60$, soit 60°. (1 pt : 0,5 nature + 0,5 angles) (1)
2. b)La somme des angles d'un triangle vaut 180°, et $SRT$ = 90°. Donc $RTS$ mesure $180-90-27=63$, soit 63°. (1 pt : 0,5 méthode + 0,5 résultat) (1)
3. c)$MPN$ mesure $180-45-45=90$, soit 90°. Le triangle a un angle droit en $P$ et deux angles égaux : il est rectangle et isocèle en $P$. (1 pt : 0,5 calcul + 0,5 nature complète) (1)
4. d)Dans un rectangle, les côtés opposés ont la même longueur. Si deux côtés consécutifs sont égaux, les quatre côtés sont égaux : c'est un rectangle qui a quatre côtés égaux, donc un carré. (1 pt : 0,5 carré + 0,5 justification) (1)

Méthode — pour un angle manquant, on part toujours de 180° et on retire les angles connus ; dans un triangle rectangle, l'angle droit compte pour 90° même s'il n'est pas écrit en degrés.

1. a)6 faces, 12 arêtes, 8 sommets ; toutes les faces sont des carrés de même taille. (1 pt : 0,5 les trois nombres + 0,5 carrés) (1)
2. b)5 faces (1 base carrée + 4 faces latérales), 8 arêtes (4 autour de la base + 4 qui montent au sommet), 5 sommets (4 de la base + le sommet principal) ; les faces latérales sont des triangles. (1 pt : 0,5 nombres + 0,5 triangles) (1)
3. c)5 faces (2 bases triangulaires + 3 faces latérales), 9 arêtes (3 par base + 3 latérales), 6 sommets (3 par base) ; les faces latérales sont des rectangles. (1 pt : 0,5 nombres + 0,5 rectangles) (1)
4. d)Le cylindre a 2 faces planes, deux disques de même rayon ; le cône a 1 seule face plane, un disque (et un sommet). Leur autre surface est courbe. (1 pt : 0,5 + 0,5) (1)

Astuce — pour compter les arêtes sans en oublier, compte celles d'une base, puis celles qui relient les bases (prisme) ou qui montent vers le sommet (pyramide).

1. a)$RST$ est rectangle et isocèle en $S$ (angle droit en $S$ et $SR=ST$). Figure à main levée : angle droit codé en $S$, et le même codage sur $[SR]$ et $[ST]$. (1 pt : 0,5 nature + 0,5 codage) (1)
2. b)On trace $[RS]$ de 4 cm ; avec l'équerre, on trace la perpendiculaire à $[RS]$ passant par $S$ ; sur cette droite, on place $T$ à 4 cm de $S$ (règle ou compas) ; on trace $[RT]$. (1 pt : 0,5 angle droit à l'équerre + 0,5 longueurs exactes) (1)
3. c)La somme des angles vaut 180° et $RST$ = 90°, donc $SRT+RTS$ = 90°. Le triangle est isocèle en $S$, donc ses angles à la base sont égaux : $SRT$ = $RTS$ = $90÷2$ = 45°. (1 pt : 0,5 somme + 0,5 angles égaux) (1)
4. d)On mesure $RT\approx 5,7$ cm. Périmètre : $4+4+5,7=13,7$ cm. (1 pt : 0,5 mesure à 1 mm près + 0,5 calcul) (1)

Erreur fréquente — croire qu'un triangle rectangle ne peut pas être isocèle : il l'est dès que les deux côtés de l'angle droit ont la même longueur, et ses deux angles aigus mesurent alors 45°.

1. a)6 faces rectangulaires, opposées deux à deux : 2 faces de 4 cm sur 3 cm, 2 faces de 4 cm sur 2 cm, 2 faces de 3 cm sur 2 cm. (1 pt : 0,5 nombre + 0,5 dimensions) (1)
2. b)Un pavé a 12 arêtes, 4 de chaque longueur : 4 arêtes mesurent 4 cm. Longueur totale : $4\times 4+4\times 3+4\times 2=16+12+8=36$ cm. (1 pt : 0,5 + 0,5) (1)
3. c)La figure A est un patron : la bande de 4 carrés forme le tour du cube, et les carrés 5 et 6 en ferment le dessus et le dessous. La figure B n'en est pas un : en pliant, deux carrés viennent se superposer et une face reste ouverte (aucun carré ne peut fermer le cube). (1 pt : 0,5 bon choix + 0,5 justification) (1)
4. d)En repliant la bande, les carrés 1 et 3 se retrouvent face à face (un carré les sépare), donc la face 1 est opposée à la face 3. Les carrés 5 et 6 forment le dessus et le dessous : la face 5 est opposée à la face 6. (1 pt : 0,5 + 0,5) (1)

Piège — avoir 6 carrés ne suffit pas pour faire un patron de cube : il faut qu'en pliant, chaque carré prenne une place différente. Deux faces opposées ne sont jamais côte à côte sur le patron.

1. a)On trace $[KL]$ de 6 cm ; on trace un arc de centre $K$ et de rayon 7 cm, puis un arc de centre $L$ et de rayon 5 cm ; leur point d'intersection est $M$ ; on trace $[KM]$ et $[LM]$. (1 pt : 0,5 arcs avec les bons rayons + 0,5 tracé précis) (1)
2. b)Les trois médiatrices se coupent en un même point $O$ : elles sont concourantes. (1 pt : 0,5 tracés + 0,5 constat) (1)
3. c)Le cercle passe aussi par $L$ et par $M$ : $O$ est à égale distance des trois sommets. C'est le cercle circonscrit au triangle $KLM$. (1 pt : 0,5 points + 0,5 nom) (1)
4. d)La somme des angles vaut 180° : $KML$ mesure $180-44-78=58$, soit environ 58°. (1 pt : 0,5 méthode + 0,5 résultat) (1)

Astuce — deux médiatrices suffisent pour trouver le centre du cercle circonscrit ; la troisième sert de vérification, car elle doit passer par le même point.

1. a)C'est un prisme droit à base triangulaire : 5 faces (2 triangles + 3 rectangles), 9 arêtes (3 + 3 sur les bases, 3 dans la longueur), 6 sommets. (1 pt : 0,5 nom + 0,5 nombres) (1)
2. b)Le triangle a deux côtés de 1,5 m : il est isocèle, de sommet principal le haut de l'entrée et de base le côté au sol. Les deux pans de toit mesurent 1,5 m sur 2,5 m, le tapis de sol mesure 1,8 m sur 2,5 m. (1 pt : 0,5 isocèle + 0,5 dimensions) (1)
3. c)Le triangle est isocèle, donc ses deux angles à la base sont égaux. Leur somme vaut $180-74=106$ degrés, donc chacun mesure $106÷2=53$, soit 53°. (1 pt : 0,5 angles égaux + 0,5 calcul) (1)
4. d)Chaque triangle a un périmètre de $1,5+1,5+1,8=4,8$ m, soit $2\times 4,8=9,6$ m pour les deux. Il faut ajouter les 3 arêtes de 2,5 m : $3\times 2,5=7,5$ m. Total : $9,6+7,5=17,1$ m. (1 pt : 0,5 triangles + 0,5 total) (1)
5. e)Échelle : 1,5 m = 150 cm donne $150÷30=5$ cm, et 1,8 m = 180 cm donne 6 cm. On trace la base de 6 cm, puis deux arcs de rayon 5 cm centrés à ses extrémités ; leur intersection est le sommet. (1 pt : 0,5 longueurs à l'échelle + 0,5 construction) (1)

Méthode — un solide réel se décompose en faces : on identifie d'abord la forme des bases (ici des triangles isocèles), puis on compte et on mesure arête par arête.

1. a)Emma a tort : deux angles obtus mesurent chacun plus de 90°, donc ensemble plus de 180°, alors que la somme des trois angles d'un triangle vaut 180°. (1 pt : 0,5 + 0,5) (1)
2. b)Hugo a raison. Si 60° est l'angle au sommet principal, les deux autres mesurent $(180-60)÷2=60$ degrés. Si 60° est un angle à la base, l'autre angle à la base mesure aussi 60° et le troisième $180-60-60=60$ degrés. Dans les deux cas, les trois angles sont égaux : le triangle est équilatéral. (1 pt : 0,5 par cas) (1)
3. c)Léna a tort : il a 2 bases triangulaires et 3 faces latérales (une par côté du triangle), soit 5 faces. (1 pt : 0,5 + 0,5) (1)
4. d)Tom a raison : si la base a $n$ côtés, la pyramide a $n$ faces latérales plus la base, soit $n+1$ faces, et $n$ sommets sur la base plus le sommet principal, soit $n+1$ sommets. (1 pt : 0,5 + 0,5 ; un exemple seul vaut 0,5) (1)

Piège — pour un triangle isocèle, on ne sait pas toujours si l'angle donné est au sommet principal ou à la base : il faut alors étudier les deux cas.

1. a)$ABC$ est isocèle en $A$ : ses angles à la base sont égaux et valent ensemble $180-40=140$ degrés. Donc $ABC$ = $ACB$ = $140÷2$ = 70°. (1 pt : 0,5 + 0,5) (1)
2. b)$BDC$ est isocèle en $B$, donc ses angles à la base $BDC$ et $BCD$ sont égaux. Or $BCD$ est l'angle $ACB$ (car $D$ est sur $[AC]$), qui mesure 70°. Donc $BDC$ = 70° et $DBC$ = $180-70-70$ = 40°. (1 pt : 0,5 + 0,5) (1)
3. c)$[BD)$ est à l'intérieur de l'angle $ABC$, donc $ABD$ = $ABC-DBC$ = $70-40$ = 30°. (1 pt : 0,5 méthode + 0,5 résultat) (1)
4. d)Dans le triangle $ABD$ : $BAD$ = 40° et $ABD$ = 30°, donc $ADB$ = $180-40-30$ = 110°. Ses trois angles (40°, 30°, 110°) sont tous différents : aucun couple d'angles égaux, donc $ABD$ n'est pas isocèle. (1 pt : 0,5 calcul + 0,5 justification) (1)

Erreur fréquente — se tromper d'angles à la base : dans un triangle isocèle en $B$, les angles égaux sont ceux dont le sommet n'est PAS $B$, c'est-à-dire ceux situés aux extrémités du côté opposé à $B$.

1. a)$3+2+1+2+1+1=10$ cubes. (1 pt) (1)
2. b)3 colonnes. Dans chaque colonne, on voit la pile la plus haute des deux rangées : à gauche $max(3;2)$ = 3 carrés, au milieu 2 carrés, à droite 1 carré. La vue de face est un escalier 3, 2, 1. (1 pt : 0,5 par colonnes justes + 0,5 explication) (1)
3. c)2 colonnes, une par rangée. La rangée de devant a au plus 2 cubes, celle du fond au plus 3. En regardant depuis la droite, la rangée de devant est à gauche du dessin : colonne de 2 carrés à gauche, colonne de 3 carrés à droite. (1 pt : 0,5 hauteurs + 0,5 ordre) (1)
4. d)Le pavé compte $3\times 2\times 3=18$ cubes. Il faut en ajouter $18-10=8$. (1 pt : 0,5 + 0,5) (1)

Astuce — pour une vue, chaque colonne du dessin montre la pile la plus haute dans la direction du regard : les cubes cachés derrière ne changent rien au dessin.

1. a)On trace $[AB]$ de 8 cm, puis à l'équerre la perpendiculaire à $[AB]$ en $B$, sur laquelle on place $C$ à 6 cm de $B$. On mesure $AC=10$ cm. (1 pt : 0,5 construction + 0,5 mesure) (1)
2. b)On construit deux médiatrices (par exemple de $[AB]$ et de $[BC]$) : elles se coupent en $O$, centre du cercle circonscrit ; le cercle de centre $O$ passant par $A$ passe par $B$ et $C$. On mesure un rayon de 5 cm, et $O$ est au milieu de $[AC]$ ($OA=OC=5$ cm). (1 pt : 0,5 construction + 0,5 rayon et position) (1)
3. c)Dans le triangle rectangle, $ABC$ = 90°, donc $BCA$ mesure environ $180-90-37=53$, soit 53°. (1 pt : 0,5 + 0,5) (1)

Méthode — le centre du cercle circonscrit est le point de concours des médiatrices : il est à la même distance des trois sommets, et cette distance est le rayon.

1. a)Deux cas. Si 50° est l'angle au sommet principal : les angles à la base mesurent $(180-50)÷2=65$ degrés, d'où 50°, 65°, 65°. Si 50° est un angle à la base : l'autre aussi, et le troisième mesure $180-100=80$ degrés, d'où 50°, 50°, 80°. (1 pt : 0,5 par cas) (1)
2. b)Deux cas. Si les deux côtés égaux mesurent 8 cm : le troisième mesure $20-16=4$ cm, d'où 8, 8, 4. Si 8 cm est la base : les deux côtés égaux font ensemble $20-8=12$ cm, soit 6 cm chacun, d'où 6, 6, 8. Les deux triangles se construisent au compas. (1 pt : 0,5 par cas) (1)
3. c)En comptant par parts : chaque angle égal vaut 1 part et le troisième 2 parts, soit 4 parts pour 180°. Une part vaut $180÷4=45$ degrés. Les angles mesurent 45°, 45° et 90° : le triangle est rectangle et isocèle. (1 pt : 0,5 calcul + 0,5 nature) (1)
4. d)Non : les deux angles à la base sont égaux, ils feraient $2\times 100=200$ degrés, plus que 180°. L'angle de 100° est donc forcément au sommet principal, et les angles à la base mesurent $(180-100)÷2=40$ degrés : 100°, 40°, 40°. (1 pt : 0,5 + 0,5) (1)

Piège — « un angle de 50° » ou « un côté de 8 cm » ne dit pas où il se trouve : une question de recherche oblige à envisager chaque position possible, puis à éliminer celles qui sont impossibles.

1. a)Nina a oublié les deux bases : le prisme a 5 faces, 2 triangles équilatéraux et 3 rectangles de 4 cm sur 7 cm. Pour les arêtes, elle n'a compté que celles des bases : il y a 3 arêtes par base et 3 arêtes latérales, soit 9 arêtes. (1 pt : 0,5 faces + 0,5 arêtes) (1)
2. b)Oui : chaque base triangulaire a 3 sommets, et tous les sommets du prisme sont sur les bases, d'où $3+3=6$ sommets. (1 pt : 0,5 + 0,5) (1)
3. c)Il y a 6 arêtes de 4 cm (les côtés des deux bases) et 3 arêtes de 7 cm : $6\times 4+3\times 7=24+21=45$ cm. Nina a compté une seule arête latérale. (1 pt : 0,5 décompte + 0,5 calcul) (1)
4. d)« Droit » concerne les faces latérales, qui sont des rectangles, et non les angles des bases. Une base est un triangle équilatéral : ses trois angles sont égaux et leur somme vaut 180°, donc chacun mesure $180÷3=60$ degrés. (1 pt : 0,5 erreur expliquée + 0,5 60°) (1)

Erreur fréquente — oublier les bases ou les arêtes latérales : dans un prisme dont la base a $n$ côtés, il y a $n+2$ faces, $3\times n$ arêtes et $2\times n$ sommets. Vérifie toujours sur un exemple connu (le cube).

1. a)$DCE$ est isocèle en $E$ : $EDC$ = $ECD$ et leur somme vaut $180-100=80$ degrés. Chacun mesure 40°. (1 pt : 0,5 + 0,5) (1)
2. b)$ABCD$ est un carré, donc $ADC$ = 90°. Comme $E$ est au-dessus de $(DC)$, $[DC)$ est entre $[DA)$ et $[DE)$ : $ADE$ = $90+40$ = 130°. (1 pt : 0,5 angle droit du carré + 0,5 somme justifiée) (1)
3. c)Un triangle équilatéral a trois angles de 60° : $DEC$ = 60° et $EDC$ = 60°, donc $ADE$ = $90+60$ = 150°. (1 pt : 0,5 + 0,5) (1)
4. d)$ED=EC$, donc $E$ est à égale distance de $D$ et de $C$ : il est sur la médiatrice de $[DC]$. Le milieu $M$ est aussi sur cette médiatrice : c'est donc la droite $(EM)$. Le centre du cercle circonscrit est sur les trois médiatrices du triangle, en particulier sur celle de $[DC]$ : il est sur $(EM)$. (1 pt : 0,5 $(EM)$ médiatrice + 0,5 conclusion) (1)

Méthode — pour un angle formé par deux figures accolées, on additionne les angles côte à côte : l'angle droit du carré, puis l'angle à la base du triangle.

1. a)P est un patron, R n'en est pas un. Dans R, la bande de 4 carrés forme le tour du cube ; les deux carrés placés sous les colonnes 1 et 2 se replient tous les deux du même côté : ils se superposent pour former le dessous, et le dessus reste ouvert. (1 pt : 0,5 bon choix + 0,5 justification) (1)
2. b)Les carrés (2, 1) et (2, 3) se relèvent à gauche et à droite ; (1, 1) se replie sur (2, 1) pour former le fond, (3, 3) se replie sur (2, 3) pour former l'avant, et (3, 4), accroché au bord de (3, 3), vient fermer le dessus. La face du haut est le carré « rangée 3, colonne 4 ». (1 pt : 0,5 réponse + 0,5 explication) (1)
3. c)Par exemple, on déplace le carré « rangée 2, colonne 2 » au-dessus de la bande (rangée 0, colonne 2). La bande de 4 forme le tour du cube, un carré ferme le dessous et l'autre le dessus : c'est un patron (en forme de croix). Tout déplacement qui met un carré au-dessus de la bande et laisse l'autre en dessous convient. (1 pt : 0,5 déplacement + 0,5 justification) (1)
4. d)Un pavé a 4 arêtes de chaque dimension, donc $4\times (4+5+c)=60$, c'est-à-dire $4+5+c=60÷4=15$. La troisième dimension vaut $c=15-9=6$ cm. Vérification : $4\times 4+4\times 5+4\times 6=16+20+24=60$. (1 pt : 0,5 raisonnement + 0,5 résultat) (1)

Astuce — pour tester un patron, choisis une face pour le sol et replie les autres une à une dans ta tête : dès que deux carrés tombent au même endroit, ce n'est pas un patron.

1. a)Vrai : la somme des trois angles vaut 180° et l'angle droit mesure 90°, donc les deux autres font ensemble $180-90=90$ degrés. (1 pt : 0,5 + 0,5) (1)
2. b)Faux : le triangle $RST$ rectangle en $S$ avec $SR=ST=3$ cm a un angle droit et il est isocèle (angles 90°, 45°, 45°). (1 pt : 0,5 + 0,5 contre-exemple) (1)
3. c)Faux : on construit le triangle $ABC$ avec $AB=8$ cm, $AC=4$ cm et $BC=5$ cm ; ses médiatrices se coupent en un point situé en dehors du triangle, de l'autre côté de $[AB]$ par rapport à $C$. Le centre n'est donc pas toujours à l'intérieur. (1 pt : 0,5 faux + 0,5 contre-exemple construit) (1)
4. d)Vrai : le prisme droit à base triangulaire a 5 faces (2 triangles et 3 rectangles) et 6 sommets (3 par base). (1 pt : 0,5 + 0,5) (1)

Erreur fréquente — généraliser à partir d'une seule figure : sur un triangle « ordinaire », le centre du cercle circonscrit est souvent à l'intérieur, mais il suffit d'un triangle très aplati pour qu'il sorte.