Triangles : somme des angles et cercle circonscrit

1. a)$180-43-88=49$, donc $KML={49}^{\circ }$ (1)
2. b)Angles aigus : $90-19=71$, donc $NPE={71}^{\circ }$ (1)
3. c)Angles à la base égaux : $(180-26)÷2=77$, donc $QRS={77}^{\circ }$ (1)
4. d)$TVU=TUV={67}^{\circ }$ ; $180-2\times 67=46$, donc $UTV={46}^{\circ }$ (1)

Repère — Dans un triangle isocèle, on repère le sommet principal : les deux angles égaux sont les deux autres.

1. a)$47+61+82=190$ : ce n’est pas $180$, ce triangle n’existe pas (1)
2. b)$180-39-51=90$ : il a un angle droit, il est rectangle (1)
3. c)$180-64-52=64$ : deux angles de ${64}^{\circ }$, il est isocèle ; son sommet principal est celui de l’angle de ${52}^{\circ }$ (1)
4. d)$180÷3=60$ : trois angles de ${60}^{\circ }$, le triangle est équilatéral (1)

Erreur fréquente — Ne pas conclure sur deux angles seulement : on calcule toujours le troisième avant de donner la nature.

1. a)$180-50-70=60$, donc $ACB={60}^{\circ }$ (1)
2. b)Je trace $[AB]$ de $6$ cm ; en $A$, au rapporteur, une demi-droite qui fait ${50}^{\circ }$ avec $[AB)$ ; en $B$, une demi-droite qui fait ${70}^{\circ }$ avec $[BA)$, du même côté ; $C$ est leur point d’intersection (contrôle : $ACB$ mesure environ ${60}^{\circ }$) (1)
3. c)Pour chaque côté : je place son milieu, puis je trace la perpendiculaire en ce milieu (équerre), ou deux arcs de même rayon centrés aux extrémités ; $O$ est le point commun (1)
4. d)Pointe du compas en $O$, écartement $OA$ : le cercle passe par $A$, $B$ et $C$ ; rayon environ $3,5$ cm (1)

Contrôle — Les trois angles sont aigus : le centre $O$ doit être à l’intérieur du triangle, et le cercle doit passer exactement par $C$.

1. a)$O$ est sur la médiatrice de $[AB]$, donc à égale distance de $A$ et $B$ : $OA=OB$ ; de même, sur la médiatrice de $[BC]$ : $OB=OC$ (1)
2. b)$OA=OB$ et $OB=OC$, donc $OA=OC$ : $O$ est à égale distance de $A$ et $C$, il est sur la médiatrice de $[AC]$ (1)
3. c)Or $O$ est sur la médiatrice de $[EF]$ ; si un point est sur la médiatrice d’un segment, alors il est à égale distance de ses extrémités ; donc $OF=OE=4,6$ cm. De même avec $[EG]$ : $OG=4,6$ cm (1)
4. d)$OA=OC$ (rayons) : $OAC$ est isocèle en $O$ ; $(180-96)÷2=42$, donc $OAC={42}^{\circ }$ (1)

Le point clé — La médiatrice d’un segment, c’est exactement l’ensemble des points à égale distance de ses deux extrémités : c’est elle qui fait tout le raisonnement.

1. a)$ABC=ACB=2\times 30={60}^{\circ }$ ; $30+60+60=150$ : ce n’est pas $180$, ces mesures ne conviennent pas (1)
2. b)$ABC=ACB={80}^{\circ }$ ; $40+80+80=200$ : trop grand, elles ne conviennent pas non plus (1)
3. c)$BAC+ABC+ACB$ = une fois $BAC$ + deux fois $BAC$ + deux fois $BAC$ = $5$ fois $BAC$ ; donc $BAC=180÷5={36}^{\circ }$ (1)
4. d)$ABC=ACB=2\times 36={72}^{\circ }$ ; $36+72+72=180$ ✓ (1)

Méthode — Tester des valeurs montre dans quel sens corriger ($150$ trop petit, $200$ trop grand) ; la somme $180°$ permet ensuite de trouver la valeur exacte.