Triangles : somme des angles et cercle circonscrit

Somme des angles d’un triangle (180°) et calcul d’un angle manquant ; angles des triangles rectangle, isocèle et équilatéral ; médiatrices d’un triangle, cercle circonscrit et position de son centre

À propos de cette page

Ce cours de mathématiques en sixième sur « Triangles : somme des angles et cercle circonscrit » suit le programme officiel de mathématiques de sixième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : connaître la somme des angles d’un triangle et l’utiliser pour calculer un angle ; utiliser les propriétés angulaires des triangles rectangle, isocèle et équilatéral ; savoir que les médiatrices d’un triangle sont concourantes ; connaître et construire le cercle circonscrit à un triangle. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et un devoir surveillé corrigé. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur.

Calculer un angle manquant ; le cercle circonscrit

On sait mesurer un angle au rapporteur. Ici, on apprend à calculer un angle d’un triangle sans le mesurer, puis à tracer le cercle qui passe par ses trois sommets.

1. La somme des angles d’un triangle

Découpe trois triangles identiques et accole-les comme sur la figure : au point B, un angle de chaque couleur se retrouve côte à côte, et les trois forment un angle plat. On le constate pour tous les triangles ; on admet ce résultat.

Ce qu’il faut savoir Dans un triangle, la somme des mesures des trois angles est égale à 180°.
Pour trouver un angle manquant : 180° − (somme des deux angles connus).
On nomme un angle par trois lettres, le sommet au milieu : l’angle de sommet A du triangle ABC se note

B A C

, l’angle de sommet B se note

A B C

et l’angle de sommet C se note

A C B

. Le sommet est toujours au milieu, même quand il n’y a pas d’ambiguïté.

Exemples

Dans le triangle ABC, $B A C$ = 72° et $A B C$ = 46°.

180 − 72 − 46 = 62, donc $A C B$ = 62°.

Vérification : 72 + 46 + 62 = 180 ✓

Un triangle peut-il avoir des angles de 95° et 88° ? 95 + 88 = 183 : c’est déjà plus que 180°. Ce triangle n’existe pas.

Raisonner par parts. Les angles d’un triangle mesurent 1 part, 2 parts et 3 parts. En tout : 1 + 2 + 3 = 6 parts, qui font 180°. Une part vaut 180 ÷ 6 = 30°. Les angles mesurent 30°, 60° et 90°. Vérification : 30 + 60 + 90 = 180 ✓

Rappel : deux angles côte à côte qui forment un angle plat sont supplémentaires : leur somme est 180°. Si X est sur la droite (BC), au-delà de B, et si $X B A$ = 140°, alors $A B C$ = 180 − 140 = 40°.

2. Les angles des triangles particuliers

Rappel du chapitre « Triangles : construire des triangles » : on y a vu les triangles rectangle, isocèle et équilatéral et leurs angles. On s’en sert ici pour calculer.

Ce qu’il faut savoir (rappel) Triangle rectangle : l’angle droit mesure 90°, donc les deux autres angles (aigus) font 90° à eux deux.
Triangle isocèle : les deux angles à la base ont la même mesure. La base est le côté opposé au sommet principal (le côté « différent »).
Triangle équilatéral : ses trois angles mesurent 60° (180 ÷ 3 = 60).
Et dans l’autre sens : un triangle qui a deux angles égaux est isocèle ; trois angles égaux, il est équilatéral ; un angle droit, il est rectangle.

Exemples

EFG est rectangle en E et $E F G$ = 34° : 90 − 34 = 56, donc $E G F$ = 56°.

STU est isocèle en S et $T S U$ = 40°. Or, si un triangle est isocèle, alors ses angles à la base sont égaux. Donc $S T U$ = $S U T$ . Ils font ensemble 180 − 40 = 140°, et 140 ÷ 2 = 70. Donc $S T U$ = $S U T$ = 70°.

Un triangle isocèle a des angles à la base de 52° : 180 − 2 × 52 = 76, son angle principal mesure 76°.

Deux angles d’un triangle mesurent 35° et 55° : le troisième mesure 180 − 35 − 55 = 90°. Le triangle est rectangle.

3. Médiatrices et cercle circonscrit

Rappel : la médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment qui passe par son milieu. Propriété : un point est sur la médiatrice de [AB] si et seulement s’il est à la même distance de A et de B (si M est sur la médiatrice, MA = MB ; et si MA = MB, M est sur la médiatrice).

Ce qu’il faut savoir Les trois médiatrices des côtés d’un triangle se coupent en un même point O (elles sont concourantes).
Ce point O est à la même distance des trois sommets : OA = OB = OC. Le cercle de centre O et de rayon OA passe par A, B et C : c’est le cercle circonscrit au triangle.

Pourquoi ? Appelons O le point où se coupent les médiatrices de [AB] et de [BC]. O est sur la médiatrice de [AB], donc OA = OB. O est sur la médiatrice de [BC], donc OB = OC. Alors OA = OC : O est aussi sur la médiatrice de [AC]. Les trois médiatrices passent bien par O.

Exemples

Construire le cercle circonscrit à ABC : 1. je trace la médiatrice de [AB] (règle et compas, ou règle et équerre à partir du milieu) ; 2. je trace la médiatrice de [BC] ; 3. leur point d’intersection est O ; 4. pointe du compas en O, écartement OA, je trace le cercle : il passe par A, B et C. Deux médiatrices suffisent.

O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC et OA = 3,5 cm. Or O est sur la médiatrice de [AB]. Si un point est sur la médiatrice d’un segment, alors il est à la même distance des deux extrémités. Donc OB = OA = 3,5 cm. De même avec la médiatrice de [AC] : OC = 3,5 cm. Le rayon est 3,5 cm et le diamètre mesure 2 × 3,5 = 7 cm.

On constate sur les figures que le centre O n’est pas toujours dans le triangle : il est à l’intérieur quand les trois angles sont aigus, sur le plus grand côté (en son milieu) pour un triangle rectangle, à l’extérieur quand un angle est obtus. On le constate seulement ; ce sera justifié plus tard.

Réflexe — je regarde d’abord le codage (angle droit, côtés égaux) pour savoir si le triangle est particulier, puis j’écris le calcul « 180 − … » et je vérifie que les trois angles font bien 180°.

Attention — une figure à main levée n’est pas exacte : on calcule, on ne mesure pas. Dans un triangle isocèle, les angles égaux sont ceux de la base, de part et d’autre du côté différent : un angle obtus ne peut être que l’angle principal.

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À retenir

Dans un triangle, la somme des trois angles est 180° : angle manquant = 180° − (somme des deux autres).
Triangle rectangle : les deux angles aigus font 90° à eux deux.
Triangle isocèle : les deux angles à la base sont égaux ; triangle équilatéral : trois angles de 60°.
Les trois médiatrices d’un triangle se coupent en un point O, à égale distance des trois sommets.
Le cercle de centre O et de rayon OA est le cercle circonscrit : il passe par les trois sommets (deux médiatrices suffisent pour trouver O).

Questions fréquentes

Combien vaut la somme des angles d’un triangle ?

Toujours 180°, quel que soit le triangle. En accolant trois triangles identiques, on voit que leurs trois angles forment un angle plat ; on admet ensuite ce résultat.

Comment calculer le troisième angle d’un triangle ?

On enlève à 180° les deux angles connus. Par exemple, avec des angles de 49° et 73° : 180 − 49 − 73 = 58, le troisième angle mesure 58°.

Quels sont les angles d’un triangle isocèle, équilatéral ou rectangle ?

Isocèle : les deux angles à la base sont égaux. Équilatéral : trois angles de 60°. Rectangle : un angle de 90°, et les deux autres font 90° à eux deux.

Qu’est-ce que le cercle circonscrit à un triangle ?

C’est le cercle qui passe par les trois sommets du triangle. Son centre est le point où se coupent les trois médiatrices des côtés : il est à la même distance des trois sommets.

Comment construire le cercle circonscrit à un triangle ?

On trace les médiatrices de deux côtés (la troisième passe par le même point). Leur point d’intersection O est le centre ; on trace le cercle de centre O qui passe par un sommet : il passe par les deux autres.

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