Triangles : somme des angles et cercle circonscrit

Somme des angles d’un triangle (180°) et calcul d’un angle manquant ; angles des triangles rectangle, isocèle et équilatéral ; médiatrices d’un triangle, cercle circonscrit et position de son centre

À propos de cette page

Ces exercices corrigés sur « Triangles : somme des angles et cercle circonscrit » en sixième permettent de s'entraîner et de vérifier ses acquis en mathématiques. Ils suivent le programme officiel de sixième et sont classés par méthode, comme les 5 cas du cours, et par difficulté (★, ★★, ★★★). Au programme : connaître la somme des angles d’un triangle et l’utiliser pour calculer un angle ; utiliser les propriétés angulaires des triangles rectangle, isocèle et équilatéral ; savoir que les médiatrices d’un triangle sont concourantes ; connaître et construire le cercle circonscrit à un triangle. Écris ta réponse puis clique sur « Vérifier » : la correction est immédiate et tolère majuscules, espaces et ponctuation. Cet entraînement aide à mémoriser les méthodes, repérer ses erreurs et gagner en confiance avant un contrôle.

4 exercices, classés par cas comme le cours. Écris ta réponse, puis « Vérifier ».

Cas 1Calculer un angle manquant

Réflexe — angle manquant = 180° − (somme des deux autres) ; je repère d’abord si le triangle est rectangle, isocèle ou équilatéral. Revoir la méthode →

Exercice 1★★★Facile

Calcule l’angle marqué « ? » dans chaque triangle (les figures ne sont pas à mesurer).

Triangle 1 : $A C B =$ °
La somme des angles est $180 °$ : $180 - 65 - 47 = 68$ .
$A C B = 68 °$ .
Triangle 2 : $D F E =$ °
$180 - 112 - 31 = 37$ .
$D F E = 37 °$ . Vérification : $112 + 31 + 37 = 180$ .
Triangle 3 : $G I H =$ °
Le triangle est rectangle en $H$ : $H G I$ et $G I H$ font $90 °$ ensemble.
$90 - 27 = 63$ , donc $G I H = 63 °$ .

Exercice 2★★★Moyen

Triangles particuliers : calcule l’angle demandé.

a) $A B C$ est isocèle en $A$ et $B A C = 50 °$ . $A B C =$ °
Les angles à la base $A B C$ et $A C B$ sont égaux et font $180 - 50 = 130 °$ ensemble.
$(180 - 50) \div 2 = 65$ , donc $A B C = 65 °$ .
b) $D E F$ est isocèle en $D$ et $D E F = 41 °$ . $E D F =$ °
$D F E = D E F = 41 °$ (angles à la base).
$180 - 2 \times 41 = 98$ , donc $E D F = 98 °$ .
c) $G H I$ est rectangle en $H$ et $H G I = 58 °$ . $G I H =$ °
Les deux angles aigus font $90 °$ ensemble : $90 - 58 = 32$ .
$G I H = 32 °$ .
d) $J K L$ est équilatéral. $J K L =$ °
Les trois angles sont égaux : $180 \div 3 = 60$ .
$J K L = 60 °$ .
e) $P Q R$ est isocèle en $P$ et $P Q R = 73 °$ . $Q P R =$ °
$P R Q = P Q R = 73 °$ (angles à la base).
$180 - 2 \times 73 = 34$ , donc $Q P R = 34 °$ .

Exercice 3★★★Moyen

$O$ est le centre du cercle circonscrit au triangle $R S T$ , et $O R = 2, 8$ cm.

$O T =$ cm
$O$ est sur les médiatrices des côtés, donc à la même distance des trois sommets : $O R = O S = O T$ .
$O T = 2, 8$ cm.
Diamètre du cercle : cm
Le rayon est $O R = 2, 8$ cm.
Diamètre : $2 \times 2, 8 = 5, 6$ cm.
Un autre triangle a un cercle circonscrit de diamètre $7, 4$ cm. Distance du centre à chacun des sommets : cm
Le centre est à la même distance des trois sommets : cette distance est le rayon.
Rayon : $7, 4 \div 2 = 3, 7$ cm.
$O$ est le centre du cercle circonscrit au triangle $U V W$ et $O U = 4, 5$ cm. $O V + O W =$ cm
Or $O$ est sur les médiatrices de $[U V]$ et de $[U W]$ ; si un point est sur la médiatrice d’un segment, alors il est à égale distance de ses extrémités. Donc $O V = O W = O U = 4, 5$ cm.
$4, 5 + 4, 5 = 9$ cm.

Exercice 4★★★Difficile

Calcule sans mesurer.

a) Dans le triangle $A B C$ , $B A C = 48 °$ et $A B C$ est le double de $B A C$ . $A C B =$ °
$A B C = 2 \times 48 = 96 °$ .
$180 - 48 - 96 = 36$ , donc $A C B = 36 °$ .
b) Un triangle isocèle a un angle de $100 °$ . Chacun des deux autres angles mesure °
$100 °$ ne peut pas être un angle à la base : il y en aurait deux, soit $200 °$ . C’est l’angle principal.
$(180 - 100) \div 2 = 40$ : les deux autres mesurent $40 °$ .
c) $O$ est le centre du cercle circonscrit à un triangle $A B C$ et $A O B = 130 °$ . $O A B =$ °
$O A = O B$ (rayons) : le triangle $O A B$ est isocèle en $O$ .
$(180 - 130) \div 2 = 25$ , donc $O A B = 25 °$ .
d) Sur la figure, $D$ est sur la droite $(B C)$ , $A B D = 125 °$ et $B A C = 58 °$ . $A C B =$ °
$A B D$ et $A B C$ forment un angle plat : $A B C = 180 - 125 = 55 °$ .
$180 - 58 - 55 = 67$ , donc $A C B = 67 °$ .

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