Triangles : somme des angles et cercle circonscrit

Somme des angles d’un triangle (180°) et calcul d’un angle manquant ; angles des triangles rectangle, isocèle et équilatéral ; médiatrices d’un triangle, cercle circonscrit et position de son centre

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benprofparticulier.frMathématiques · 6ᵉ

Fiche méthode

(Mathématiques 6ᵉ · Espace et géométrie · Triangles)

La démarche pour calculer un angle d’un triangle

1. Je lis le codage. Angle droit ? Côtés égaux ? Je sais alors si le triangle est rectangle, isocèle ou équilatéral.

2. J’écris le calcul. La somme des angles est $180 °$ : j’enlève à $180$ les angles connus (ou je partage en deux pour un isocèle).

3. Je vérifie. Les trois angles doivent faire exactement $180 °$ .

Le réflexe — on ne mesure jamais un angle à calculer : on écrit « 180 − … » et on conclut par une phrase.

Cas 1 · Calculer un angle manquant

Réflexe — angle manquant $= 180 ° -$ (somme des deux autres) ; rectangle : les deux angles aigus font $90 °$ ; isocèle : angles à la base égaux ; cercle circonscrit : $O A = O B = O C$ .

Exemple 1. Dans le triangle $K L M$ , $L K M = 58 °$ et $K L M = 67 °$ . Calculer $K M L$ .

La somme des angles d’un triangle est $180 °$ : $180 - 58 - 67 = 55$ .

Donc $K M L = 55 °$ . Vérification : $58 + 67 + 55 = 180$ .

Exemple 2. Le triangle $R S T$ est isocèle en $R$ et $S R T = 44 °$ . Calculer $R S T$ .

Les angles à la base $R S T$ et $R T S$ sont égaux et font ensemble $180 - 44 = 136 °$ .

$136 \div 2 = 68$ , donc $R S T = R T S = 68 °$ .

Exemple 3. $O$ est le centre du cercle circonscrit au triangle $U V W$ et $O V = 4, 2$ cm. Trouver $O U$ , $O W$ et le diamètre.

$O$ est sur les médiatrices des côtés : il est à la même distance des trois sommets, $O U = O V = O W = 4, 2$ cm.

Diamètre : $2 \times 4, 2 = 8, 4$ cm.

Attention — dans un triangle isocèle, un angle de plus de $90 °$ est forcément l’angle principal : deux angles obtus dépasseraient $180 °$ .

Les pièges

Additionner les longueurs des côtés au lieu des angles : c’est la somme des angles qui vaut $180 °$ .
$A B C$ isocèle en $A$ : les angles égaux sont $A B C$ et $A C B$ , pas $B A C$ .
Pour le cercle circonscrit, on trace des médiatrices (perpendiculaires au milieu des côtés), pas des droites qui passent par les sommets.
Le centre du cercle circonscrit n’est pas forcément dans le triangle : on le place en traçant les médiatrices, jamais « au jugé ».

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