Triangles : somme des angles et cercle circonscrit

Somme des angles d’un triangle (180°) et calcul d’un angle manquant ; angles des triangles rectangle, isocèle et équilatéral ; médiatrices d’un triangle, cercle circonscrit et position de son centre

À propos de cette page

Ces problèmes corrigés sur « Triangles : somme des angles et cercle circonscrit » en sixième permettent d'appliquer le cours à des situations concrètes en mathématiques. Ils suivent le programme officiel de sixième et se résolvent étape par étape. Au programme : connaître la somme des angles d’un triangle et l’utiliser pour calculer un angle ; utiliser les propriétés angulaires des triangles rectangle, isocèle et équilatéral ; savoir que les médiatrices d’un triangle sont concourantes ; connaître et construire le cercle circonscrit à un triangle. Cherche au brouillon, saisis ta réponse puis clique sur « Vérifier » pour te corriger. Idéal pour développer le raisonnement, la rigueur et la confiance avant une évaluation.

6 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je lis tout l’énoncé et je repère les données utiles (et leurs unités).
Je choisis la méthode du cours qui convient (le « cas » indiqué sous le problème peut m’aider).
Je fais les calculs ou la figure, étape par étape.
Je vérifie que le résultat est vraisemblable (ordre de grandeur, figure, unité).
Je réponds par une phrase, avec l’unité.

Problème 1 · Les équerres de Lina★★★Facile

Lina a deux équerres. La première est un triangle rectangle dont un angle aigu mesure

30 °

. La seconde est un triangle rectangle et isocèle.

1. Combien mesure l’autre angle aigu de la première équerre, en degrés ?
Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus font $90 °$ ensemble : $90 - 30 = 60 °$ .
2. Combien mesure chaque angle aigu de la seconde équerre, en degrés ?
Les deux angles aigus sont égaux (angles à la base) et font $90 °$ ensemble : $90 \div 2 = 45 °$ .
3. Lina pose côte à côte, le long de sa règle, l’angle de $60 °$ et un angle de $45 °$ . Combien mesure l’angle qui manque pour former un angle plat, en degrés ?
Un angle plat mesure $180 °$ : $180 - 60 - 45 = 75 °$ .

Problème 2 · Le toit de la cabane★★★Facile

Vu de face, le toit d’une cabane est un triangle isocèle ; son angle principal est en haut. Pour la cabane de Tom, cet angle mesure

124 °

1. Combien mesure chaque angle à la base du toit, en degrés ?
Les deux angles à la base sont égaux : $(180 - 124) \div 2 = 28 °$ .
2. Tom construit une deuxième cabane dont les angles à la base mesurent $35 °$ . Combien mesure l’angle principal, en degrés ?
$180 - 2 \times 35 = 110 °$ .
3. Pour que la pluie s’écoule bien, chaque angle à la base doit mesurer au moins $30 °$ . Quel est le plus grand angle principal possible, en degrés ?
Avec deux angles à la base de $30 °$ : $180 - 2 \times 30 = 120 °$ . Si les angles à la base sont plus grands, l’angle principal est plus petit.

Problème 3 · Les voiles du bateau★★★Moyen

Un voilier a deux voiles triangulaires. La grand-voile

A B C

est rectangle en

B

B A C = 64 °

. Le foc

D E F

a deux angles égaux,

E D F

D E F

, et

D F E = 38 °

1. Combien mesure l’angle $A C B$ de la grand-voile, en degrés ?
$A B C$ est rectangle en $B$ : $90 - 64 = 26 °$ .
2. Combien mesure l’angle $E D F$ du foc, en degrés ?
$E D F$ et $D E F$ sont égaux et font $180 - 38 = 142 °$ ensemble : $142 \div 2 = 71 °$ .
3. De combien de degrés l’angle $E D F$ du foc dépasse-t-il l’angle $B A C$ de la grand-voile ?
$71 - 64 = 7 °$ .

Problème 4 · Le jardin triangulaire★★★Moyen

Un jardin a la forme d’un triangle

A B C

rectangle en

B

, avec

B A C = 37 °

. On place un tourniquet d’arrosage au point

O

, centre du cercle circonscrit au jardin. On mesure

O A = 7, 5

1. Combien mesure l’angle $A C B$ , en degrés ?
$A B C$ est rectangle en $B$ : les deux angles aigus font $90 °$ ensemble.
$90 - 37 = 53 °$ .
2. À quelle distance du coin $B$ se trouve le tourniquet, en mètres ?
Or $O$ est sur la médiatrice de $[A B]$ ; si un point est sur la médiatrice d’un segment, alors il est à égale distance de ses extrémités. Donc $O B = O A = 7, 5$ m.
3. Le tourniquet mouille un disque de $8$ m de rayon autour de lui. De combien de mètres le jet dépasse-t-il chaque coin ?
Les trois coins sont à $7, 5$ m de $O$ ( $O A = O B = O C$ ) : $8 - 7, 5 = 0, 5$ m.

Problème 5 · Le cerf-volant★★★Difficile

Le cerf-volant

A B C D

est formé de deux triangles :

A B D

est isocèle en

A

avec

B A D = 48 °

, et

B C D

est équilatéral.

1. Combien mesure l’angle $A B D$ , en degrés ?
$A B D$ est isocèle en $A$ : $A B D = A D B$ , et $(180 - 48) \div 2 = 66 °$ .
2. Combien mesure l’angle $A B C$ du cerf-volant, en degrés ?
$C B D = 60 °$ ( $B C D$ est équilatéral).
$A B C = A B D + D B C = 66 + 60 = 126 °$ .
3. Combien mesure l’angle $A D C$ , en degrés ?
De même, $A D C = A D B + B D C = 66 + 60 = 126 °$ .
4. Calcule la somme des quatre angles du cerf-volant $D A B + A B C + B C D + C D A$ , en degrés.
$B C D = 60 °$ .
$48 + 126 + 60 + 126 = 360 °$ : c’est la somme des angles des deux triangles, $180 + 180$ .

Problème 6 · Au centre du cercle★★★Difficile

O

est le centre du cercle circonscrit au triangle

A B C

. On a mesuré

A O B = 100 °

B O C = 140 °

A O C = 120 °

1. Combien mesure l’angle $O A B$ , en degrés ?
$O A = O B$ (rayons) : $O A B$ est isocèle en $O$ .
$(180 - 100) \div 2 = 40 °$ .
2. Combien mesure l’angle $O B C$ , en degrés ?
$O B = O C$ : $O B C$ est isocèle en $O$ .
$(180 - 140) \div 2 = 20 °$ .
3. Combien mesure l’angle $A B C$ du triangle, en degrés ?
$A B C = O B A + O B C = 40 + 20 = 60 °$ .
4. Combien mesure l’angle $B A C$ , en degrés ?
Dans $O A C$ , isocèle en $O$ : $O A C = (180 - 120) \div 2 = 30 °$ .
$B A C = O A B + O A C = 40 + 30 = 70 °$ .

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