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Espace : solides, patrons et assemblages de cubes
Reconnaître, nommer et décrire les solides (cube, pavé droit, prisme droit, pyramide, cylindre, cône, boule) : faces, arêtes, sommets, perspective cavalière ; patrons du cube et du pavé droit ; assemblages de cubes : compter les cubes, vues de dessus, de face et de côté, volume par comptage
À propos de cette page
Solides : faces, arêtes, sommets
• une face : une surface plane qui limite le solide ;
• une arête : un segment où deux faces se rencontrent ;
• un sommet : un point où se rejoignent plusieurs arêtes.
Un solide dont toutes les faces sont des polygones (cube, pavé droit, prisme droit, pyramide) s’appelle un polyèdre. Le cylindre, le cône et la boule ont une surface courbe.
Les solides à connaître
| Solide | Faces | Arêtes | Sommets |
|---|---|---|---|
| Cube | 6 carrés identiques | 12 (toutes de même longueur) | 8 |
| Pavé droit | 6 rectangles, opposés deux à deux identiques | 12 | 8 |
| Prisme droit | 2 bases polygonales identiques et parallèles + des faces latérales rectangulaires | selon la base | selon la base |
| Pyramide | 1 base polygonale + des faces latérales triangulaires qui se rejoignent au sommet principal | selon la base | selon la base |
| Cylindre | 2 disques identiques (les bases) + une surface latérale courbe | aucune | aucun |
| Cône | 1 disque (la base) + une surface latérale courbe | aucune | 1 (le sommet du cône) |
| Boule | aucune face plane : tout est courbe | aucune | aucun |
Le cube est un pavé droit particulier (toutes ses faces sont des carrés), et le pavé droit est un prisme droit particulier (ses bases sont des rectangles).
Prismes et pyramides : compter par étages
• Prisme droit : 2 bases + n faces latérales, donc n + 2 faces ; n arêtes sur chaque base et n arêtes qui les relient, donc 3 × n arêtes ; n sommets sur chaque base, donc 2 × n sommets.
• Pyramide : 1 base + n triangles, donc n + 1 faces ; n arêtes autour de la base et n arêtes qui montent au sommet, donc 2 × n arêtes ; n sommets sur la base + le sommet principal, donc n + 1 sommets.
Prisme droit à base pentagonale (n = 5) : 5 + 2 = 7 faces ; 5 + 5 + 5 = 15 arêtes ; 5 + 5 = 10 sommets.
Pyramide à base hexagonale (n = 6) : 6 + 1 = 7 faces ; 6 + 6 = 12 arêtes ; 6 + 1 = 7 sommets.
Cube : 4 arêtes en bas, 4 en haut, 4 verticales : 4 + 4 + 4 = 12 arêtes ; 4 sommets en bas et 4 en haut : 8 sommets.
Lire un dessin en perspective cavalière
Pour dessiner un solide sur une feuille, on utilise la perspective cavalière : la face de devant est dessinée en vraie grandeur, les arêtes qui partent vers l’arrière (les fuyantes) sont obliques et raccourcies, deux arêtes parallèles dans la réalité restent parallèles sur le dessin, et les arêtes cachées sont en pointillés.
Réflexe — pour compter, je procède par étages : ce qui est en bas, ce qui est en haut, puis ce qui relie les deux. Sur un dessin, je compte aussi les pointillés.
Attention — sur le dessin d’un cube, on ne voit que 3 faces, mais il en a 6 ! Et sur une figure en perspective, une face carrée peut être dessinée comme un parallélogramme : on ne mesure pas les longueurs sur une perspective.
🎯 S’entraîner : Solides : faces, arêtes, sommets1 niveau · méthode + exercices corrigés
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Patrons et assemblages de cubes
Un patron de cube est formé de 6 carrés identiques. Il existe exactement 11 patrons différents du cube.
Reconnaître un patron de cube
Les deux premières figures se plient en cube. La troisième contient un bloc de 4 carrés en carré : impossible à plier autour d’un même sommet. La quatrième a 5 carrés alignés : en enroulant la rangée, le 5e carré revient sur le 1er.
2. Sinon, je choisis un carré comme fond du cube et je relève les autres en pensée : chaque carré doit arriver sur une face différente.
3. Sur une rangée de 3 carrés, ceux des deux bouts deviennent des faces opposées (face à face).
Ici, une rangée de 4 carrés s’enroule en « tube » : les deux carrés accrochés sous les deux bouts viennent fermer le même bout du tube, et l’autre bout reste ouvert. La règle de l’étape 1 ne suffit donc pas toujours : il faut plier en pensée.
C, D, E sont sur une rangée de 3 : C et E sont opposées.
Je prends D comme fond : C, E et F se relèvent en murs. B, accroché au-dessus de C, se rabat pour former le 4e mur, face à F : B et F sont opposées. A, accroché à B, se rabat sur le dessus : A est opposée au fond D.
Une fois plié : A–D ; B–F ; C–E.
Patron d’un pavé droit
Un patron de pavé droit est formé de 6 rectangles, qui vont par paires identiques (les faces opposées). Au pliage, deux côtés qui se collent forment une même arête : ils ont la même longueur.
On y trouve 2 rectangles de 4 cm × 3 cm (dessus et dessous), 2 de 4 cm × 2 cm et 2 de 3 cm × 2 cm (les faces latérales).
Assemblages de cubes
Un assemblage est fait de petits cubes identiques. On suppose qu’il n’y a pas de trou caché : chaque cube repose sur le sol ou sur un autre cube.
• La vue de dessus montre une case par colonne (la rangée de devant en bas) ; la vue de face montre, pour chaque colonne de gauche à droite, la pile la plus haute ; la vue de droite montre ce qu’on voit depuis le côté droit (l’avant à gauche).
• Si chaque petit cube a une arête de 1 cm, son volume est 1 cm³ : le volume de l’assemblage, en cm³, est son nombre de cubes.
Rangée du fond : 3 + 2 + 1 = 6 cubes. Rangée du milieu : 2 + 1 + 1 = 4 cubes. Rangée de devant : 1 + 1 = 2 cubes.
Total : 6 + 4 + 2 = 12 cubes. La vue de dessus compte 8 cases : une par colonne.
Une couche : 4 × 3 = 12 cubes. Il y a 2 couches : 12 × 2 = 24 cubes. Avec des cubes de 1 cm d’arête, le volume est 24 cm³.
Réflexe — patron : je plie en pensée et je repère les faces opposées. Assemblage : je compte colonne par colonne, sans oublier les cubes cachés dessous.
Attention — 6 carrés accolés ne forment pas toujours un patron de cube ; et dans un assemblage, les cubes cachés sous ceux du haut comptent aussi.
🎯 S’entraîner : Patrons et assemblages de cubes2 niveaux · méthode + exercices corrigés
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- Face = surface plane ; arête = segment où deux faces se rencontrent ; sommet = point où se rejoignent des arêtes.
- Cube et pavé droit : 6 faces, 12 arêtes, 8 sommets.
- Base à n côtés — prisme droit : n + 2 faces, 3 × n arêtes, 2 × n sommets ; pyramide : n + 1 faces, 2 × n arêtes, n + 1 sommets.
- Perspective cavalière : face avant en vraie grandeur, fuyantes obliques, arêtes cachées en pointillés.
- Patron de cube : 6 carrés, 11 patrons possibles ; pas de bloc de 4 carrés ni 5 alignés ; on plie en pensée ; deux bouts d’une rangée de 3 = faces opposées.
- Assemblage : on compte colonne par colonne (ou couche par couche), cubes cachés compris ; vues de dessus, de face, de côté.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre une face, une arête et un sommet ?
Une face est une surface plane qui limite le solide ; une arête est un segment où deux faces se rencontrent ; un sommet est un point où se rejoignent plusieurs arêtes. Un cube a 6 faces, 12 arêtes et 8 sommets.
Comment compter les faces, arêtes et sommets d’un prisme ou d’une pyramide ?
On part du nombre n de côtés de la base. Prisme droit : n + 2 faces, 3 × n arêtes, 2 × n sommets. Pyramide : n + 1 faces, 2 × n arêtes, n + 1 sommets.
Comment savoir si un dessin de 6 carrés est un patron de cube ?
On l’élimine s’il contient un bloc de 4 carrés en carré ou 5 carrés alignés. Sinon, on choisit un carré comme fond et on relève les autres en pensée : chaque carré doit arriver sur une face différente. Il existe 11 patrons du cube.
Comment trouver les faces opposées sur un patron de cube ?
Sur une rangée de 3 carrés, les deux carrés des bouts deviennent des faces opposées. Sinon, on cherche la seule face qui ne touche pas la face choisie une fois le cube plié.
Comment compter les cubes d’un assemblage ?
On compte colonne par colonne : la hauteur d’une colonne donne son nombre de cubes, même si les cubes du dessous sont cachés. Pour un pavé de cubes, on multiplie les cubes d’une couche par le nombre de couches.
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