Devoir surveillé : angles, parallélisme et triangles

1. a)$SOU$ est opposé par le sommet à $ROT$ ; or deux angles opposés par le sommet ont la même mesure, donc $SOU={54}^{\circ }$. $TOS$ est adjacent à $ROT$ et forme avec lui l’angle plat $ROS$ : $TOS={180}^{\circ }-{54}^{\circ }={126}^{\circ }$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
2. b)Le plus grand côté mesure $9$ cm et la somme des deux autres vaut $3+5=8$ cm. Comme $9>8$, ce triangle est impossible (inégalité triangulaire) : les arcs de rayons $3$ cm et $5$ cm tracés aux extrémités du côté de $9$ cm ne se coupent pas. (0,5 pt pour la comparaison + 0,5 pt pour la conclusion) (1)
3. c)$LKM={180}^{\circ }-({35}^{\circ }+{110}^{\circ })={180}^{\circ }-{145}^{\circ }={35}^{\circ }$. Le triangle a deux angles égaux, $LKM=KLM={35}^{\circ }$ : il est isocèle, de sommet principal $M$ (le troisième sommet), donc $MK=ML$. (Il a aussi un angle obtus, de ${110}^{\circ }$.) (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)Ses trois angles sont égaux et leur somme vaut ${180}^{\circ }$ : chacun mesure ${180}^{\circ }÷3={60}^{\circ }$. $DE=DF$ (les trois côtés sont égaux) : $D$ est à la même distance de $E$ et de $F$. Or si un point est à la même distance des extrémités d’un segment, alors il est sur sa médiatrice. Donc la médiatrice de $[EF]$ passe par $D$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Méthode — pour le troisième angle d’un triangle, on additionne d’abord les deux angles connus, puis on retire cette somme de $180°$ ; deux angles égaux font aussitôt reconnaître un triangle isocèle.

1. a)Dans le triangle $ABC$ : $BAC={180}^{\circ }-({64}^{\circ }+{48}^{\circ })={180}^{\circ }-{112}^{\circ }={68}^{\circ }$. (1 pt) (1)
2. b)C’est $ADE$ (au-dessus de chaque droite, du même côté de la sécante). On sait que $(DE)//(BC)$. Or si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, les angles correspondants ont la même mesure. Donc $ADE=ABC={64}^{\circ }$. (0,5 pt pour le nom + 0,5 pt pour la justification) (1)
3. c)Avec la sécante $(AC)$, $AED$ et $ACB$ sont correspondants, et $(DE)//(BC)$ : $AED=ACB={48}^{\circ }$. Vérification dans le triangle $ADE$ : $68+64+48=180$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)$ADE$ et $BDE$ sont adjacents et forment l’angle plat $ADB$ : $BDE={180}^{\circ }-{64}^{\circ }={116}^{\circ }$. (1 pt) (1)

Piège — pour reconnaître des angles correspondants, on repère d’abord la sécante : avec la sécante $(AB)$, ce sont des angles de sommets $D$ et $B$ « à la même place » ; avec la sécante $(AC)$, des angles de sommets $E$ et $C$.

1. a)Figure à main levée : $[EF]$ de $6$ cm, $[EG]$ de $4$ cm, angle de ${65}^{\circ }$ en $E$. Tracés : je trace $[EF]$ de $6$ cm à la règle ; au rapporteur (centre sur $E$, zéro sur $[EF)$), je trace la demi-droite qui fait un angle de ${65}^{\circ }$ avec $[EF)$ ; j’y place $G$ à $4$ cm de $E$ avec la règle ; je trace $[FG]$. (0,5 pt pour la figure à main levée et l’ordre des tracés + 0,5 pt pour une construction précise au millimètre et au degré près) (1)
2. b)La hauteur issue de $G$ passe par $G$ et est perpendiculaire au côté opposé $[EF]$. Je pose un côté de l’angle droit de l’équerre le long de $(EF)$, je la fais glisser jusqu’à ce que l’autre côté passe par $G$, je trace, puis je code l’angle droit en $K$. Les angles en $E$ et en $F$ sont aigus : $K$ est sur le segment $[EF]$ (on mesure $GK\approx 3,6$ cm). (0,5 pt pour le tracé + 0,5 pt pour l’explication) (1)
3. c)$EJ=6÷2=3$ cm : je place $J$ sur $[EF]$ à $3$ cm de $E$, puis je trace la droite $(GJ)$, qui passe par le sommet $G$ et par le milieu du côté opposé. Elle n’est pas confondue avec la hauteur : si elle l’était, $(GJ)$ serait perpendiculaire à $[EF]$ en son milieu, donc ce serait la médiatrice de $[EF]$, et l’on aurait $GE=GF$ ; or $GE=4$ cm et l’on mesure $GF\approx 5,6$ cm. (Sur la figure : $EK\approx 1,7$ cm, alors que $EJ=3$ cm.) (0,5 pt pour le tracé + 0,5 pt pour la justification) (1)
4. d)$(GK)$ est perpendiculaire à $(EF)$ : le triangle $EGK$ est rectangle en $K$. Ses deux angles aigus sont complémentaires : $EGK={90}^{\circ }-{65}^{\circ }={25}^{\circ }$ (ou ${180}^{\circ }-({90}^{\circ }+{65}^{\circ })={25}^{\circ }$). (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Méthode — deux longueurs et l’angle compris : règle, rapporteur, règle ; la hauteur se trace à l’équerre (angle droit avec le côté opposé), la médiane avec la règle graduée (milieu du côté opposé).

1. a)On sait que $P$ est sur la médiatrice de $[AB]$. Or si un point est sur la médiatrice d’un segment, il est à la même distance des deux extrémités. Donc $PB=PA=5$ cm. (1 pt) (1)
2. b)$PA=PB$ : le triangle $PAB$ est isocèle en $P$, de base $[AB]$. Périmètre : $5+5+6=16$ cm. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)La médiatrice coupe $[AB]$ en son milieu : $I$ est le milieu de $[AB]$. $(PI)$ passe par le sommet $P$ et par le milieu du côté opposé : c’est la médiane issue de $P$. Elle passe par $P$ et est perpendiculaire à $(AB)$ : c’est la hauteur issue de $P$. $AI=6÷2=3$ cm. (0,5 pt pour les deux noms + 0,5 pt pour $AI$) (1)
4. d)$[PI]$ est la hauteur relative à $[AB]$ : aire de $PAB=6\times 4÷2=12$ cm². $(PI)$ est la médiane issue de $P$, donc aire de $PAI=12÷2=6$ cm² (contrôle : $3\times 4÷2=6$). (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Astuce — dans un triangle isocèle, la médiatrice de la base passe par le sommet principal : c’est à la fois la hauteur et la médiane issues de ce sommet, et l’axe de symétrie du triangle.

1. a)Le triangle $PQR$ est rectangle en $Q$ ; ses angles aigus sont complémentaires : $QPR={90}^{\circ }-{38}^{\circ }={52}^{\circ }$. (1 pt) (1)
2. b)On sait que les rayons $(PR)$ et $(SU)$ sont parallèles et coupés par la sécante $(QU)$, la droite du sol ; $PRQ$ et $SUT$ sont correspondants (au-dessus du sol, du même côté de chaque rayon). Or si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, les angles correspondants ont la même mesure. Donc $SUT=PRQ={38}^{\circ }$. (0,5 pt pour la paire d’angles + 0,5 pt pour la rédaction en trois temps) (1)
3. c)On sait que $(PQ)$ et $(ST)$ sont perpendiculaires à la droite du sol. Or si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles. Donc $(PQ)//(ST)$. (1 pt) (1)
4. d)$Q$, $R$ et $T$ sont alignés : $PRQ$ et $PRT$ forment un angle plat, donc $PRT={180}^{\circ }-{38}^{\circ }={142}^{\circ }$. Le triangle $STU$ est rectangle en $T$ : $TSU={90}^{\circ }-{38}^{\circ }={52}^{\circ }$, comme $QPR$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Erreur fréquente — dans un triangle rectangle, on retire l’angle connu de $90°$, pas de $180°$ : les deux angles aigus sont complémentaires.

1. a)Dans le triangle $ABC$ : $ACB={180}^{\circ }-({47}^{\circ }+{71}^{\circ })={180}^{\circ }-{118}^{\circ }={62}^{\circ }$. (0,5 pt pour la méthode + 0,5 pt pour le résultat) (1)
2. b)On sait que, pour les droites $(AB)$ et $(CE)$ coupées par la sécante $(AC)$, les angles $BAC$ et $ACE$ sont alternes-internes (entre les deux droites, de part et d’autre de la sécante) et mesurent tous les deux ${47}^{\circ }$. Or si deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes de même mesure, alors elles sont parallèles. Donc $(CE)//(AB)$. (0,5 pt pour la paire d’angles alternes-internes + 0,5 pt pour la rédaction avec la réciproque) (1)
3. c)C’est $ECD$ (au-dessus de $(BD)$, à droite de chaque droite). On sait que $(CE)//(AB)$ (question précédente). Or si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, les angles correspondants ont la même mesure. Donc $ECD=ABC={71}^{\circ }$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)${62}^{\circ }+{47}^{\circ }+{71}^{\circ }={180}^{\circ }$. C’était prévisible : les trois angles sont adjacents deux à deux et forment l’angle plat $BCD$, car $B$, $C$ et $D$ sont alignés. Comme $ACE=BAC$ et $ECD=ABC$, on retrouve que la somme des angles du triangle $ABC$ vaut ${180}^{\circ }$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Méthode — pour démontrer un parallélisme, on cherche deux angles alternes-internes ou correspondants de même mesure (réciproque) ; une fois le parallélisme établi, il sert à calculer d’autres angles (propriété).

1. a)Hugo a tort. Le plus grand côté mesure $10,5$ cm et $4,5+6=10,5$ : il y a égalité, donc les trois points sont alignés. On obtient un « triangle » aplati, pas un vrai triangle. (1 pt) (1)
2. b)Sarah a raison. Un triangle rectangle a un angle de ${90}^{\circ }$ ; l’angle de ${48}^{\circ }$ est un de ses angles aigus, et les deux angles aigus sont complémentaires : ${90}^{\circ }-{48}^{\circ }={42}^{\circ }$. Contrôle : $90+48+42=180$. (1 pt) (1)
3. c)Malik a tort. Si le pied $H$ était sur $[BC]$, le triangle $ABH$ aurait un angle droit en $H$ et l’angle obtus $ABH=ABC$ en $B$ : leur somme dépasserait déjà ${180}^{\circ }$, c’est impossible. Le pied $H$ est sur la droite $(BC)$, à l’extérieur du segment, du côté de $B$ : il faut prolonger $[CB]$ pour tracer cette hauteur. (1 pt) (1)
4. d)Zoé a tort. Deux angles sont complémentaires quand la somme de leurs mesures vaut ${90}^{\circ }$, quelle que soit leur position : ${37}^{\circ }+{53}^{\circ }={90}^{\circ }$, ils sont complémentaires. (1 pt) (1)

Piège — « complémentaires » et « supplémentaires » ne parlent que de la somme des mesures, pas de la position : deux angles éloignés l’un de l’autre peuvent l’être, alors que des angles adjacents doivent avoir le même sommet.

1. a)$PQR={180}^{\circ }-({38}^{\circ }+{80}^{\circ })={180}^{\circ }-{118}^{\circ }={62}^{\circ }$. Le côté connu est $[PQ]$ : pour construire, il faut les angles à ses deux extrémités, $P$ et $Q$. L’angle en $R$ n’est pas adjacent à $[PQ]$, d’où le calcul de l’angle en $Q$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
2. b)Je trace $[PQ]$ de $7$ cm ; au rapporteur, l’angle de ${38}^{\circ }$ en $P$ et l’angle de ${62}^{\circ }$ en $Q$, du même côté de $(PQ)$ ; les deux demi-droites se coupent en $R$. Contrôle : on mesure $PRQ\approx {80}^{\circ }$. (0,5 pt pour la figure à main levée + 0,5 pt pour la construction) (1)
3. c)$O$ est sur la médiatrice de $[PQ]$, donc $OP=OQ$ ; il est sur celle de $[QR]$, donc $OQ=OR$. Ainsi $OP=OQ=OR$ : le cercle de centre $O$ passant par $P$ passe par $Q$ et $R$, c’est le cercle circonscrit. Les trois angles (${38}^{\circ }$, ${62}^{\circ }$ et ${80}^{\circ }$) sont aigus, donc $O$ est à l’intérieur du triangle. (0,5 pt pour les tracés et l’explication + 0,5 pt pour la position de $O$) (1)
4. d)Le triangle $PRH$ est rectangle en $H$ : $PRH={90}^{\circ }-{38}^{\circ }={52}^{\circ }$. Le triangle $QRH$ est rectangle en $H$ : $HRQ={90}^{\circ }-{62}^{\circ }={28}^{\circ }$. Les angles en $P$ et en $Q$ étant aigus, $H$ est entre $P$ et $Q$ : $PRH$ et $HRQ$ sont adjacents et ${52}^{\circ }+{28}^{\circ }={80}^{\circ }=PRQ$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Erreur fréquente — avec une longueur et deux angles, les angles tracés au rapporteur doivent être aux extrémités du côté connu : un angle « mal placé » se remplace d’abord par celui que l’on calcule avec la somme $180°$.

1. a)$(AB)⟂(AC)$ : avec la base $[AC]$, la hauteur relative est $[AB]$. Aire $=8\times 6÷2=24$ cm². (1 pt) (1)
2. b)$I$ est le milieu de $[BC]$ : $(AI)$ est la médiane issue de $A$. Or une médiane partage un triangle en deux triangles de même aire. Donc aire de $ABI$ $=$ aire de $AIC$ $=24÷2=12$ cm². (1 pt) (1)
3. c)Le triangle est rectangle en $A$ : le centre de son cercle circonscrit est le milieu du plus grand côté, l’hypoténuse $[BC]$, c’est-à-dire $I$. Donc $IA=IB=IC=10÷2=5$ cm (ce sont des rayons). (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)Périmètre de $ABI$ : $6+5+5=16$ cm ; périmètre de $AIC$ : $8+5+5=18$ cm. Les deux triangles ont la même aire mais pas le même périmètre : deux triangles de même aire ne sont pas forcément superposables. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Astuce — dans un triangle rectangle, les deux côtés de l’angle droit sont l’un une base, l’autre la hauteur relative à cette base : l’aire se calcule sans rien tracer.

1. a)Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont coupées par la sécante $(AB)$ ; $xAB$ et $ABC$ sont alternes-internes. Or si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, les angles alternes-internes ont la même mesure. Donc $ABC={65}^{\circ }$. (1 pt) (1)
2. b)$AB=AC$ : le triangle $ABC$ est isocèle en $A$, ses angles à la base sont égaux : $ACB={65}^{\circ }$. Puis $BAC={180}^{\circ }-2\times {65}^{\circ }={180}^{\circ }-{130}^{\circ }={50}^{\circ }$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)1re façon : $x$, $A$ et $y$ sont alignés, donc $xAB+BAC+CAy={180}^{\circ }$ et $CAy={180}^{\circ }-({65}^{\circ }+{50}^{\circ })={65}^{\circ }$. 2e façon : avec la sécante $(AC)$, $CAy$ et $ACB$ sont alternes-internes et $(d_1)//(d_2)$, donc $CAy=ACB={65}^{\circ }$. (0,5 pt par façon) (1)
4. d)On sait que $(d_1)//(d_2)$ et $(AH)⟂(d_2)$. Or si deux droites sont parallèles et qu’une troisième est perpendiculaire à l’une, alors elle est perpendiculaire à l’autre. Donc $(AH)⟂(d_1)$. Le triangle $ABC$ est isocèle en $A$ : la hauteur issue de $A$ est aussi la médiane issue de $A$ et la médiatrice de $[BC]$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Piège — des angles alternes-internes n’ont la même mesure que si les droites sont parallèles : ici, c’est l’énoncé (berges parallèles) qui l’autorise, pas l’allure de la figure.

1. a)L’élève a retiré $64$ puis ajouté $58$ : il faut retirer la somme des deux angles. $RTS={180}^{\circ }-({64}^{\circ }+{58}^{\circ })={180}^{\circ }-{122}^{\circ }={58}^{\circ }$. Contrôle : avec ${174}^{\circ }$, la somme des trois angles vaudrait $64+58+174=296$, et non $180$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
2. b)Deux angles opposés par le sommet ont toujours la même mesure : leur égalité ne prouve rien. De plus, ces deux angles ont leur sommet en $M$ et ne font pas intervenir la droite $(CD)$. Il faut comparer un angle de sommet $M$ et un angle de sommet $N$ : par exemple, avec $E$, $M$, $N$ et $F$ dans cet ordre sur la sécante et $A$, $C$ du même côté de celle-ci, si l’angle correspondant $CNE$ mesurait aussi ${75}^{\circ }$, alors $(AB)//(CD)$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)${180}^{\circ }-{40}^{\circ }={140}^{\circ }$ est la somme des deux angles à la base : il faut encore la partager en deux. $DEF=DFE={140}^{\circ }÷2={70}^{\circ }$. Contrôle : $40+70+70=180$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)$MA=MB$ montre seulement que $M$ est sur la médiatrice de $[AB]$. Si $M$ était sur le segment $[AB]$, on aurait $MA+MB=AB$ ; or $5+5=10\ne 6$. Le milieu de $[AB]$ est à $6÷2=3$ cm de $A$ et de $B$. $M$ est un point de la médiatrice, hors du segment, et le triangle $MAB$ est isocèle en $M$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Astuce — un contrôle rapide démasque beaucoup d’erreurs : les trois angles d’un triangle doivent redonner $180°$, et un point $M$ du segment $[AB]$ vérifie toujours $MA+MB=AB$.

1. a)On sait que $(d_3)//(d_1)$ et $(d_2)//(d_1)$. Or si deux droites sont parallèles à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles. Donc $(d_3)//(d_2)$. (1 pt) (1)
2. b)Avec la sécante $(AP)$ et $(d_1)//(d_3)$, les angles $xAP$ et $APz$ sont alternes-internes, donc égaux : $APz={38}^{\circ }$. Avec la sécante $(PB)$ et $(d_3)//(d_2)$, les angles $zPB$ et $PBy$ sont alternes-internes, donc égaux : $zPB={47}^{\circ }$. (0,5 pt par angle justifié) (1)
3. c)La demi-droite $[Pz)$ est entre $[PA)$ et $[PB)$ : $APz$ et $zPB$ sont adjacents et $APB={38}^{\circ }+{47}^{\circ }={85}^{\circ }$. Règle : quand $(d_1)//(d_2)$, $APB=xAP+PBy$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)Avec la sécante $(AQ)$ et $(d_1)//(d_2)$, les angles alternes-internes $xAQ$ et $AQB$ sont égaux : $PQB={38}^{\circ }$. Comme $Q$ est sur $[By)$, $PBQ=PBy={47}^{\circ }$. Dans le triangle $PBQ$ : $BPQ={180}^{\circ }-({38}^{\circ }+{47}^{\circ })={95}^{\circ }$. Enfin $A$, $P$ et $Q$ sont alignés : $APB={180}^{\circ }-{95}^{\circ }={85}^{\circ }$, le même résultat. (0,5 pt pour les deux angles en $Q$ et en $B$ + 0,5 pt pour $BPQ$ et $APB$) (1)
5. e)Non. Si $(d_1)$ et $(d_2)$ étaient parallèles, le raisonnement précédent donnerait $APB={38}^{\circ }+{50}^{\circ }={88}^{\circ }$. Or on mesure ${85}^{\circ }$, et $85\ne 88$ : les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ ne sont pas parallèles. (0,5 pt pour le calcul de ${88}^{\circ }$ + 0,5 pt pour la conclusion) (1)

Méthode — quand un angle « en zigzag » est coincé entre deux parallèles, on trace une troisième parallèle par son sommet : elle le coupe en deux angles alternes-internes que l’on sait calculer.

1. a)$OA=OB$, donc $O$ est sur la médiatrice de $[AB]$ ; $OA=OC$, donc $O$ est sur la médiatrice de $[AC]$. $O$ est le point de concours des médiatrices : c’est le centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$. On le construit en traçant au compas deux médiatrices, par exemple celles de $[AB]$ et de $[AC]$ : $O$ est leur point d’intersection. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
2. b)$OA=OB$ : le triangle $OAB$ est isocèle en $O$, donc $OBA=OAB={25}^{\circ }$ et $AOB={180}^{\circ }-2\times {25}^{\circ }={130}^{\circ }$. De même, $OA=OC$ : $OCA={35}^{\circ }$ et $AOC={180}^{\circ }-2\times {35}^{\circ }={110}^{\circ }$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)$O$ est à l’intérieur du triangle : les angles $AOB$, $BOC$ et $COA$ font le tour complet du point $O$. $BOC={360}^{\circ }-({130}^{\circ }+{110}^{\circ })={120}^{\circ }$. $OB=OC$ : le triangle $OBC$ est isocèle en $O$, donc $OBC=({180}^{\circ }-{120}^{\circ })÷2={30}^{\circ }$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)$BAC={25}^{\circ }+{35}^{\circ }={60}^{\circ }$ ; $ABC=OBA+OBC={25}^{\circ }+{30}^{\circ }={55}^{\circ }$ ; $ACB=OCA+OCB={35}^{\circ }+{30}^{\circ }={65}^{\circ }$. Somme : $60+55+65=180$. (0,5 pt pour les trois angles + 0,5 pt pour la vérification) (1)

Piège — « à la même distance de $A$ et de $B$ » ne veut pas dire « au milieu de $[AB]$ » : le point est sur la médiatrice, et ici les triangles $OAB$, $OBC$ et $OCA$ sont tous isocèles en $O$.

1. a)Cas 1 : la base mesure $5$ cm ; les deux côtés égaux mesurent $(25-5)÷2=10$ cm ; plus grand côté $10<10+5=15$ : le triangle existe. Cas 2 : les côtés égaux mesurent $5$ cm ; la base mesure $25-2\times 5=15$ cm ; or $15>5+5=10$ : impossible. Une seule solution : $10$ cm, $10$ cm et $5$ cm. (0,5 pt par cas) (1)
2. b)Cas 1 : base de $8$ cm, côtés égaux de $(25-8)÷2=8,5$ cm ; $8,5<8,5+8$ : le triangle existe. Cas 2 : côtés égaux de $8$ cm, base de $25-16=9$ cm ; $9<8+8=16$ : le triangle existe. Deux solutions : $8,5$ cm, $8,5$ cm et $8$ cm, ou $8$ cm, $8$ cm et $9$ cm. (0,5 pt par cas) (1)
3. c)Angle de ${40}^{\circ }$ : s’il est l’angle principal, les angles à la base mesurent $({180}^{\circ }-{40}^{\circ })÷2={70}^{\circ }$ chacun ; s’il est un angle à la base, l’autre angle à la base mesure aussi ${40}^{\circ }$ et l’angle principal ${180}^{\circ }-{80}^{\circ }={100}^{\circ }$. Deux solutions : ${70}^{\circ }$ et ${70}^{\circ }$, ou ${40}^{\circ }$ et ${100}^{\circ }$. (0,5 pt par cas) (1)
4. d)L’angle de ${100}^{\circ }$ ne peut pas être un angle à la base : l’autre angle à la base mesurerait aussi ${100}^{\circ }$, et ${100}^{\circ }+{100}^{\circ }={200}^{\circ }$ dépasse déjà ${180}^{\circ }$. C’est donc l’angle principal : les deux autres mesurent $({180}^{\circ }-{100}^{\circ })÷2={40}^{\circ }$ chacun. Une seule solution. (0,5 pt pour le cas éliminé + 0,5 pt pour la solution) (1)

Piège — dans un triangle isocèle, une donnée peut concerner la base ou un des côtés égaux, l’angle principal ou un angle à la base : on étudie les deux cas, puis on élimine ceux qui sont impossibles (inégalité triangulaire, somme de $180°$).

1. a)$AB=AC$, donc $A$ est sur la médiatrice de $[BC]$ ; cette médiatrice passe aussi par le milieu $I$ de $[BC]$. Elle passe par les deux points $A$ et $I$ : c’est la droite $(AI)$, donc $(AI)⟂(BC)$. $[AI]$ est la hauteur relative à $[BC]$ : aire $=120\times 80÷2=4800$ m². (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
2. b)$(AI)$ est la médiane issue de $A$ dans $ABC$ : aire de $ABI$ $=4800÷2=2400$ m². Dans le triangle $ABI$, $J$ est le milieu de $[AI]$ : $(BJ)$ est la médiane issue de $B$, elle partage $ABI$ en deux triangles de même aire : aire de $ABJ$ $=$ aire de $BJI$ $=2400÷2=1200$ m². (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)De même, aire de $AIC$ $=2400$ m² et, dans ce triangle, $(CJ)$ est la médiane issue de $C$ : aire de $CJI$ $=$ aire de $ACJ$ $=1200$ m². Les quatre parts mesurent $1200$ m², et ${\displaystyle \frac{1200}{4800}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$ : chaque enfant reçoit un quart du champ. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Astuce — une médiane partage un triangle en deux triangles de même aire : en traçant ensuite une médiane dans chacune des deux moitiés, on obtient quatre parts de même aire, sans aucune mesure supplémentaire.