Angles & parallélisme

Rappels de 6e (nommer, classer, mesurer et construire un angle, bissectrice ; droites perpendiculaires et parallèles et leurs propriétés) ; angles adjacents, complémentaires, supplémentaires et opposés par le sommet ; angles alternes-internes et correspondants formés par une sécante ; calculer un angle avec des droites parallèles et démontrer que deux droites sont parallèles.

À propos de cette page

Ce cours de maths de 5e sur les angles et le parallélisme commence par les rappels de 6e : nommer un angle, sa nature, le rapporteur, la bissectrice, les droites perpendiculaires et parallèles. Il suit avec les angles adjacents, complémentaires, supplémentaires et opposés par le sommet, les angles alternes-internes et correspondants, le calcul d’un angle entre deux parallèles (avec la démonstration de la somme des angles d’un triangle) et la réciproque.

Rappels de 6ᵉ : mesurer un angle, droites perpendiculaires et parallèles

1. Nommer, classer et mesurer un angle

Ce qu’il faut savoirUn angle est formé par deux demi-droites de même origine : cette origine est le sommet, les deux demi-droites sont les côtés. L’angle de côtés [LK) et [LM) se note

K L M

M L K

: la lettre du milieu est toujours le sommet. Sa mesure s’exprime en degrés (°) ; elle dépend de l’ouverture, pas de la longueur des côtés tracés.
• angle nul : 0° ; aigu : entre 0° et 90° ; droit : 90° (codé par un petit carré, vérifié à l’équerre) ;
• angle obtus : entre 90° et 180° ; plat : 180°, ses côtés forment une droite ; plein : 360°, un tour complet.
Mesurer au rapporteur : je place le centre sur le sommet et la ligne du 0 le long d’un côté, puis je lis, sur la graduation qui part de ce 0, le nombre par lequel passe l’autre côté (je le prolonge s’il est trop court). Construire un angle : je trace un côté, je place le rapporteur de la même façon, je marque un point en face de la mesure et je trace le second côté.
La bissectrice d’un angle est la demi-droite issue du sommet qui le partage en deux angles de même mesure : chacun mesure la moitié de l’angle.
Sur une figure, des angles de même mesure sont codés par le même signe (par exemple le même nombre de petits arcs), comme les deux moitiés sur la figure ci-dessous.

Exemples

Dans $K L M$ , le sommet est L et les côtés sont [LK) et [LM). Écrire $L K M$ serait faux : le sommet serait K.

Un angle de 179° est obtus, pas plat : il lui manque 1° pour atteindre 180°.

Au rapporteur, [LK) est sur un 0 et [LM) passe par 158 sur cette graduation, par 22 sur l’autre. L’angle est visiblement obtus : $K L M$ = 158°, et non 22°.

Sur la figure, [Oz) est la bissectrice de $x O y$ = 156° : 156 ÷ 2 = 78, donc $x O z$ = $z O y$ = 78° (contrôle : 78 + 78 = 156). Pour un angle de 109°, chaque moitié mesure 109 ÷ 2 = 54,5°.

2. Droites perpendiculaires et parallèles

Ce qu’il faut savoirNotations : (AB) est la droite, illimitée des deux côtés ; [AB) la demi-droite d’origine A ; [AB] le segment, de longueur AB.
Deux droites sécantes se coupent en un seul point. Deux droites perpendiculaires sont sécantes et forment un angle droit : (d) ⊥ (d′). Deux droites parallèles ne se coupent jamais, même prolongées : (d) // (d′).
1. Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles.
2. Si deux droites sont parallèles et qu’une troisième est perpendiculaire à l’une, alors elle est perpendiculaire à l’autre.
3. Si deux droites sont parallèles à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles.
On rédige en trois temps : on sait que (les données) ; or (la propriété) ; donc (la conclusion). La distance d’un point A à une droite (d) est la longueur AH, où H est le point d’intersection de (d) et de sa perpendiculaire passant par A.

Exemples

Sur la figure, on sait que (d₁) ⊥ (d) et (d₂) ⊥ (d). Or si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles. Donc (d₁) // (d₂).

On sait que (r) // (s) et (t) ⊥ (r). Or si deux droites sont parallèles et qu’une troisième est perpendiculaire à l’une, alors elle est perpendiculaire à l’autre. Donc (t) ⊥ (s).

On sait que (u) // (w) et (v) // (w). Or si deux droites sont parallèles à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles. Donc (u) // (v).

En 5ᵉ, on va plus loin : avec les angles formés par une sécante, on démontrera que deux droites sont parallèles même sans angle droit (partie 5).

Réflexe — avant de lire au rapporteur, je regarde si l’angle est aigu ou obtus : cela me dit quelle graduation est la bonne. Pour la position de deux droites, j’écris : on sait que… ; or (la propriété) ; donc…

Attention — lire sur la mauvaise graduation donne 180° moins la vraie mesure (22° au lieu de 158°). Deux droites qui « ont l’air » perpendiculaires ne le sont que si l’angle droit est codé ou vérifié à l’équerre ; et deux droites perpendiculaires se coupent : elles ne sont jamais parallèles.

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Angles adjacents, complémentaires, supplémentaires, opposés par le sommet

1. Angles adjacents, complémentaires, supplémentaires

Ce qu’il faut savoir• Deux angles sont adjacents s’ils ont le même sommet, un côté commun, et s’ils sont situés de part et d’autre de ce côté (en 6ᵉ, on disait « côte à côte »). Leurs mesures s’additionnent :

x O z

z O y

x O y

.
• Deux angles sont complémentaires si la somme de leurs mesures vaut 90°.
• Deux angles sont supplémentaires si la somme de leurs mesures vaut 180°.

Exemples

À gauche, $x O z$ et $z O y$ sont adjacents et forment l’angle droit $x O y$ : 23° + 67° = 90°, ils sont complémentaires.

À droite, $u P w$ et $w P v$ sont adjacents et forment l’angle plat $u P v$ : 38° + 142° = 180°, ils sont supplémentaires.

Angle	Son complémentaire	Son supplémentaire
25°	90 − 25 = 65°	180 − 25 = 155°
38°	52°	142°
90°	0°	90°
107°	aucun	73°

Réflexe — complémentaire : je calcule 90 moins la mesure ; supplémentaire : 180 moins la mesure.

Attention — un angle obtus n’a pas de complémentaire : sa mesure dépasse déjà 90°. Et deux angles supplémentaires ne sont pas forcément adjacents : un angle de 38° et un angle de 142° dessinés loin l’un de l’autre sont supplémentaires.

2. Angles opposés par le sommet

Ce qu’il faut savoirDeux droites sécantes en un point O forment quatre angles. Deux angles opposés par le sommet ont le même sommet et leurs côtés sont dans le prolongement l’un de l’autre : ils se font face.
Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure. Deux angles voisins (adjacents) forment un angle plat : ils sont supplémentaires.
Pourquoi ?

A O C

C O B

= 180° (angle plat

A O B

) et

C O B

B O D

= 180° (angle plat

C O D

) :

A O C

B O D

valent tous deux 180° −

C O B

, ils ont donc la même mesure.

Exemples

Les droites (AB) et (CD) se coupent en O et $C O B$ = 63°.

$A O D$ est opposé par le sommet à $C O B$ : $A O D$ = 63°.

$A O C$ est adjacent à $C O B$ et forme avec lui l’angle plat $A O B$ : $A O C$ = 180° − 63° = 117° ; $B O D$ , opposé par le sommet à $A O C$ , mesure aussi 117°.

Contrôle : 63 + 117 + 63 + 117 = 360 : les quatre angles font un tour complet.

Réflexe — deux droites qui se coupent : l’angle d’en face a la même mesure, l’angle voisin vaut 180° moins la mesure connue. Parmi les quatre angles, il y a au plus deux mesures (une seule, 90°, si les droites sont perpendiculaires).

Attention — deux angles opposés par le sommet sont égaux, pas supplémentaires : ce sont les angles voisins qui sont supplémentaires.

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Reconnaître des angles alternes-internes et correspondants

Ce qu’il faut savoirQuand une droite, la sécante, coupe deux droites en E et en F, elle forme huit angles : quatre de sommet E et quatre de sommet F. On les associe par paires (un angle de sommet E, un angle de sommet F) :
• deux angles alternes-internes sont situés entre les deux droites (internes) et de part et d’autre de la sécante (alternes) : ils dessinent un Z, parfois retourné ;
• deux angles correspondants sont situés du même côté de la sécante, l’un entre les deux droites et l’autre à l’extérieur : ils sont « à la même place » en E et en F et dessinent un F, parfois retourné.
Sur une telle figure, il y a 2 paires d’angles alternes-internes et 4 paires d’angles correspondants.

Exemples

$A E F$ et $E F D$ sont alternes-internes ; l’autre paire est $B E F$ et $C F E$ .

$G E B$ et $E F D$ sont correspondants (au-dessus de chaque droite, à droite de la sécante) ; les trois autres paires sont $A E G$ et $C F E$ , $A E F$ et $C F H$ , $B E F$ et $D F H$ .

$A E F$ et $B E G$ ne forment aucune de ces paires : ils ont le même sommet E, ils sont opposés par le sommet.

Réflexe — je repère les deux sommets E et F, puis la place de chaque angle : entre les droites ou à l’extérieur ? à gauche ou à droite de la sécante ? Un Z : alternes-internes ; un F : correspondants.

Attention — ces noms disent où sont les angles, pas qu’ils sont égaux. Sur ces figures, (AB) et (CD) ne sont pas parallèles, et $A E F$ et $E F D$ n’ont pas la même mesure.

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Calculer un angle avec des droites parallèles

1. La propriété des droites parallèles

Ce qu’il faut savoirPropriété. Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors :
• les angles alternes-internes ont la même mesure ;
• les angles correspondants ont la même mesure.
Avec les angles opposés par le sommet (égaux) et les angles adjacents qui forment un angle plat (supplémentaires), un seul angle connu donne les huit : il n’y a que deux mesures, a et 180° − a (une seule, 90°, si la sécante est perpendiculaire aux deux droites).

Exemples

(AB) // (CD), coupées par la sécante (GH) en E et F, avec $A E F$ = 115°.

$E F D$ et $A E F$ sont alternes-internes, et les droites sont parallèles : $E F D$ = 115°.

$C F H$ et $A E F$ sont correspondants : $C F H$ = 115°.

$B E F$ est adjacent à $A E F$ et forme avec lui l’angle plat $A E B$ : $B E F$ = 180° − 115° = 65°.

Réflexe — droites parallèles : l’alterne-interne et le correspondant ont la même mesure ; je complète avec les angles opposés par le sommet (égaux) et les angles voisins (180° moins la mesure).

Attention — cette propriété exige des droites parallèles. Sans cette donnée, écrire que deux angles correspondants sont égaux est une erreur de raisonnement.

2. Application : la somme des angles d’un triangle

Ce qu’il faut savoirLa propriété des angles alternes-internes permet de démontrer que la somme des angles d’un triangle vaut 180°. Dans un triangle ABC, on trace la droite (xy) parallèle à (BC) passant par A :
•

x A B

A B C

sont alternes-internes (sécante (AB)) et (xy) // (BC) :

x A B

A B C

;
•

y A C

A C B

sont alternes-internes (sécante (AC)) :

y A C

A C B

;
•

x A B

B A C

C A y

forment l’angle plat

x A y

: leur somme vaut 180°.
Donc

A B C

B A C

A C B

= 180°.

À savoir — ce résultat sert à calculer le troisième angle d’un triangle : c’est l’objet du chapitre sur les triangles (lien en fin de cours).

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Démontrer que deux droites sont parallèles

Ce qu’il faut savoirRéciproque. Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes-internes de même mesure (ou deux angles correspondants de même mesure), alors ces deux droites sont parallèles.
Et si deux angles alternes-internes (ou correspondants) ont des mesures différentes, les droites ne sont pas parallèles : si elles l’étaient, ces angles seraient égaux.
Rédiger en trois temps : 1. On sait que… (les données de l’énoncé) ; 2. Or… (la propriété du cours, en « si… alors… ») ; 3. Donc… (la conclusion).

Exemples

On sait que les angles alternes-internes $A E F$ et $E F D$ mesurent tous deux 72°. Or si deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes de même mesure, alors elles sont parallèles. Donc (AB) // (CD).

Si l’on avait $A E F$ = 72° et $E F D$ = 75°, les droites (AB) et (CD) ne seraient pas parallèles : avec des parallèles, ces deux angles seraient égaux.

Même rédaction pour calculer, avec la propriété : « On sait que (AB) // (CD). Or si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, les angles alternes-internes ont la même mesure. Donc $E F D$ = $A E F$ = 115°. »

Réflexe — je regarde ce que donne l’énoncé : le parallélisme → je cherche une mesure (propriété) ; deux mesures égales → je conclus au parallélisme (réciproque).

Attention — une figure, même soignée, ne prouve rien : deux droites peuvent sembler parallèles sans l’être. Et deux angles opposés par le sommet sont toujours égaux : leur égalité ne dit rien sur le parallélisme.

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Pour aller plus loin

Ensuite — la somme des angles d’un triangle vaut 180° (démontrée dans la partie 4 grâce aux angles alternes-internes) ; on s’en sert pour calculer le troisième angle d’un triangle et pour étudier les triangles particuliers : voir Les triangles.

Dans un parallélogramme — ses côtés opposés sont parallèles : deux angles consécutifs sont supplémentaires et deux angles opposés sont égaux, voir Parallélogrammes : définition, propriétés et construction.

À savoir — la réciproque est très ancienne : elle figure dans les Éléments d’Euclide (Livre I, propositions 27 et 28), écrits il y a plus de 2 000 ans.

À retenir

Un angle se nomme avec trois lettres, le sommet au milieu ; au rapporteur, sa nature (aigu ou obtus) dit quelle graduation lire ; la bissectrice le partage en deux moitiés.
Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles ; deux droites parallèles à une même droite sont parallèles ; une perpendiculaire à l’une de deux parallèles est perpendiculaire à l’autre.
Deux angles adjacents ont le même sommet et un côté commun, de part et d’autre de ce côté : leurs mesures s’additionnent ; complémentaires : somme 90° ; supplémentaires : somme 180°.
Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure ; deux angles voisins formés par deux droites sécantes sont supplémentaires.
Une sécante forme avec deux droites des angles alternes-internes (en Z) et correspondants (en F) ; si les droites sont parallèles, ces angles ont la même mesure.
Réciproque : si deux angles alternes-internes (ou correspondants) ont la même mesure, les droites sont parallèles ; s’ils sont différents, elles ne le sont pas.

Questions fréquentes

Comment lire un angle au rapporteur sans se tromper de graduation ?

On place le centre du rapporteur sur le sommet et le 0 sur un côté, puis on lit sur la graduation qui part de ce 0. On regarde d’abord la nature de l’angle : s’il est aigu, la mesure est inférieure à 90° ; s’il est obtus, elle est supérieure. La mauvaise graduation donne 180° moins la vraie mesure.

Qu’est-ce que des angles complémentaires, supplémentaires ou opposés par le sommet ?

Deux angles sont complémentaires si la somme de leurs mesures vaut 90°, supplémentaires si elle vaut 180° : 34° et 56° sont complémentaires, 34° et 146° supplémentaires. Quand deux droites se coupent, deux angles opposés par le sommet (ils se font face) ont la même mesure, et deux angles voisins sont supplémentaires.

Comment reconnaître des angles alternes-internes et des angles correspondants ?

Une sécante coupe deux droites et forme huit angles. Deux angles alternes-internes sont entre les deux droites, de part et d’autre de la sécante : ils dessinent un Z. Deux angles correspondants sont du même côté de la sécante, l’un entre les droites et l’autre à l’extérieur : ils sont à la même place aux deux points d’intersection et dessinent un F.

Comment calculer un angle quand deux droites sont parallèles ?

Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, les angles alternes-internes ont la même mesure, et les angles correspondants aussi. Avec les angles opposés par le sommet et les angles adjacents supplémentaires, un seul angle connu donne les huit : par exemple 77° et 180 − 77 = 103°.

Comment démontrer que deux droites sont parallèles avec des angles ?

On utilise la réciproque : si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes-internes (ou correspondants) de même mesure, alors elles sont parallèles. On rédige : on sait que… ; or si…, alors… ; donc les droites sont parallèles. Si ces angles ont des mesures différentes, les droites ne sont pas parallèles.

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