Collège · 5ᵉ · Mathématiques
Angles & parallélisme
Angles complémentaires, supplémentaires, opposés par le sommet, alternes-internes et correspondants : reconnaître, calculer et démontrer (programme de 5e)
À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en cinquième sur « Angles & parallélisme » suit le programme officiel de mathématiques de cinquième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Vocabulaire des angles, Angles complémentaires et supplémentaires, Angles adjacents et opposés par le sommet, Deux droites coupées par une sécante. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de cinquième à réussir en mathématiques.
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Vocabulaire des angles
Un angle se note avec trois lettres, celle du sommet au milieu : $\widehat{AOB}$ se lit « angle $AOB$ », de sommet $O$.
Les types d'angles.
• Nul : $0°$. • Aigu : entre $0°$ et $90°$.
• Droit : exactement $90°$. • Obtus : entre $90°$ et $180°$.
• Plat : exactement $180°$.
• Nul : $0°$. • Aigu : entre $0°$ et $90°$.
• Droit : exactement $90°$. • Obtus : entre $90°$ et $180°$.
• Plat : exactement $180°$.
Exemple. Un angle de $47°$ est aigu ; un angle de $118°$ est obtus ; un angle de $90°$ est droit.
Astuce. Un angle se mesure au rapporteur. On place le centre du rapporteur sur le sommet et le zéro sur un côté, puis on lit la graduation sur l'autre côté — en choisissant la série de graduations cohérente avec la nature de l'angle.
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Angles complémentaires et supplémentaires
Définitions.
• Deux angles sont complémentaires si la somme de leurs mesures vaut $90°$.
• Deux angles sont supplémentaires si la somme de leurs mesures vaut $180°$.
• Deux angles sont complémentaires si la somme de leurs mesures vaut $90°$.
• Deux angles sont supplémentaires si la somme de leurs mesures vaut $180°$.
Exemple. $30°$ et $60°$ sont complémentaires ($30 + 60 = 90$). $70°$ et $110°$ sont supplémentaires ($70 + 110 = 180$).
| Angle | Son complémentaire | Son supplémentaire |
|---|---|---|
| $25°$ | $65°$ | $155°$ |
| $47°$ | $43°$ | $133°$ |
| $90°$ | $0°$ | $90°$ |
Attention ! Un angle obtus n'a pas de complémentaire : sa mesure dépasse déjà $90°$.
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Angles adjacents et opposés par le sommet
Angles adjacents. Deux angles sont adjacents s'ils ont le même sommet, un côté commun, et s'ils sont situés de part et d'autre de ce côté. Leurs mesures s'additionnent.
Angles opposés par le sommet. Deux droites sécantes forment quatre angles. Deux angles opposés par le sommet (qui se font face) ont la même mesure.
Exemple. Deux droites se coupent en formant un angle de $63°$. L'angle opposé par le sommet mesure aussi $63°$, et les deux autres mesurent $180 - 63 = 117°$ chacun.
Attention ! Deux angles opposés par le sommet sont égaux, pas supplémentaires. Ce sont les angles adjacents qui sont supplémentaires.
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Deux droites coupées par une sécante
Quand une droite, la sécante, coupe deux autres droites, elle forme huit angles que l'on classe par paires.
Angles alternes-internes. Ils sont situés entre les deux droites et de part et d'autre de la sécante.
Angles correspondants. Ils sont situés du même côté de la sécante, l'un entre les deux droites et l'autre à l'extérieur — en quelque sorte « à la même place » aux deux intersections.
Repérage. Les angles alternes-internes dessinent un « Z » ; les angles correspondants dessinent un « F » (éventuellement retourné).
Attention ! Cette classification vaut pour n'importe quelles droites : elle dit où sont les angles, pas qu'ils sont égaux. L'égalité n'arrive que si les droites sont parallèles.
5
La propriété des droites parallèles
Propriété. Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors :
• les angles alternes-internes ont la même mesure ;
• les angles correspondants ont la même mesure.
• les angles alternes-internes ont la même mesure ;
• les angles correspondants ont la même mesure.
Exemple. Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont parallèles, coupées par la sécante $(s)$. Un angle mesure $115°$ : son correspondant mesure $115°$, son alterne-interne aussi, et chaque angle adjacent mesure $65°$.
Astuce. Avec deux droites parallèles, il n'y a en réalité que deux mesures parmi les huit angles : une mesure $a$ et son supplémentaire $180 - a$.
Attention ! Cette propriété exige des droites parallèles. Sans cette hypothèse, écrire que deux angles correspondants sont égaux est une erreur de raisonnement.
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La réciproque : démontrer un parallélisme
La propriété fonctionne aussi dans l'autre sens : c'est ce qui permet de démontrer que deux droites sont parallèles.
Réciproque. Si deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes de même mesure (ou des angles correspondants de même mesure), alors ces deux droites sont parallèles.
Exemple. Deux angles alternes-internes mesurent $72°$ chacun : les droites sont parallèles.
S'ils mesuraient $72°$ et $75°$, on pourrait au contraire affirmer que les droites ne sont pas parallèles.
S'ils mesuraient $72°$ et $75°$, on pourrait au contraire affirmer que les droites ne sont pas parallèles.
Astuce. Pour savoir quelle version utiliser, regarde ce que tu connais : si l'énoncé donne le parallélisme, tu cherches une mesure ; s'il donne deux mesures égales, tu conclus au parallélisme.
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Rédiger une justification
En géométrie, un résultat sans justification ne rapporte presque aucun point. La rédaction suit toujours le même schéma.
Méthode en trois temps.
1. Ce que je sais : les hypothèses de l'énoncé (« les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont parallèles »).
2. La propriété que j'utilise (« si deux parallèles sont coupées par une sécante, les alternes-internes sont égaux »).
3. Ce que j'en déduis : la conclusion chiffrée.
1. Ce que je sais : les hypothèses de l'énoncé (« les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont parallèles »).
2. La propriété que j'utilise (« si deux parallèles sont coupées par une sécante, les alternes-internes sont égaux »).
3. Ce que j'en déduis : la conclusion chiffrée.
Exemple rédigé. « Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont parallèles et coupées par la sécante $(s)$. Or, si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, les angles alternes-internes ont la même mesure. Donc $\widehat{B} = \widehat{A} = 115°$. »
Attention ! Une figure, même soignée, ne prouve rien : deux droites peuvent sembler parallèles sans l'être. Seule une propriété du cours permet de conclure.
En bref
- Complémentaires : somme $90°$. Supplémentaires : somme $180°$.
- Deux angles opposés par le sommet sont égaux ; deux angles adjacents formant un angle plat sont supplémentaires.
- Alternes-internes (« Z ») et correspondants (« F ») : ce sont des positions, pas des égalités.
- Si les droites sont parallèles, alors ces angles sont égaux.
- Réciproque : si ces angles sont égaux, alors les droites sont parallèles.
- Toute justification s'écrit en trois temps : ce que je sais, la propriété, ce que j'en déduis.
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