Ressources · 5ᵉ · Mathématiques
Triangles : médiatrices, hauteurs et médianes
Rappels de 6e (milieu, médiatrice et sa construction au compas, cercle circonscrit et position de son centre), puis les médiatrices dans les triangles isocèle et équilatéral ; définir et tracer les hauteurs d’un triangle (concourantes) et ses médianes (une médiane partage le triangle en deux triangles de même aire) ; reconnaître ces droites remarquables.
À propos de cette page
Rappels de 6ᵉ : milieu, médiatrice et cercle circonscrit
En 6ᵉ, tu as appris à placer le milieu d’un segment, à tracer un cercle, la médiatrice d’un segment et le cercle circonscrit à un triangle. On reprend tout ici : la suite du chapitre s’en sert sans cesse.
Cercle. Le cercle de centre O et de rayon r est formé de tous les points situés à la distance r de O ; son diamètre mesure d = 2 × r.
Médiatrice. La médiatrice d’un segment [AB] est la droite perpendiculaire à [AB] qui passe par son milieu ; c’est un axe de symétrie du segment. Propriété : si un point est sur la médiatrice de [AB], alors il est à la même distance de A et de B ; et réciproquement, si MA = MB, alors M est sur la médiatrice de [AB].
Construire la médiatrice de [AB] au compas : je prends un écartement plus grand que la moitié de AB ; je trace un arc de centre A, de part et d’autre de [AB], puis un arc de centre B avec le même écartement. Les deux points d’intersection des arcs sont à la même distance de A et de B : la droite qui les joint est la médiatrice. (À la règle et à l’équerre : je place le milieu, puis je trace la perpendiculaire en ce point.)
Cercle circonscrit. Les trois médiatrices des côtés d’un triangle ABC sont concourantes : elles se coupent en un point O tel que OA = OB = OC. Le cercle de centre O qui passe par A, B et C est le cercle circonscrit au triangle ; deux médiatrices suffisent pour placer O.
Position de O (constatée en 6ᵉ) : à l’intérieur du triangle si ses trois angles sont aigus, au milieu du plus grand côté si le triangle est rectangle, à l’extérieur si un angle est obtus.
Pourquoi les trois médiatrices se coupent-elles en un même point ? Soit O le point d’intersection des médiatrices de [AB] et de [BC]. O est sur la médiatrice de [AB], donc OA = OB ; il est sur celle de [BC], donc OB = OC. Alors OA = OC : O est aussi sur la médiatrice de [AC].
AB = 9,4 cm. Son milieu I est sur [AB], à 9,4 ÷ 2 = 4,7 cm de A et de B ; la médiatrice de [AB] est la perpendiculaire à [AB] en I. Le point M est sur cette médiatrice et MA = 6,1 cm : M est à la même distance de A et de B, donc MB = 6,1 cm.
Médiatrice de [CD] au compas, avec CD = 5,8 cm : je prends un écartement de 4 cm, plus grand que 5,8 ÷ 2 = 2,9 cm. Les arcs de centres C et D se coupent en E et F. EC = ED = 4 cm et FC = FD = 4 cm : E et F sont tous deux sur la médiatrice de [CD]. Une droite est fixée par deux de ses points : la médiatrice de [CD] est la droite (EF).
O est le centre du cercle circonscrit au triangle EFG et OE = 3,8 cm. O est sur la médiatrice de [EF], donc OF = OE = 3,8 cm ; de même, OG = 3,8 cm. Le rayon du cercle est 3,8 cm, son diamètre 2 × 3,8 = 7,6 cm.
O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC et = 100°. Comme OB = OC, le triangle OBC est isocèle en O : ses angles à la base sont égaux, = = (180 − 100) ÷ 2 = 40°.
Un triangle a des angles de 31°, 34° et 115° : l’angle de 115° est obtus, le centre de son cercle circonscrit est à l’extérieur du triangle. Le triangle GHJ est rectangle en G et HJ = 9,2 cm : le centre est le milieu de [HJ], le plus grand côté, et le rayon mesure 9,2 ÷ 2 = 4,6 cm.
Réflexe — « centre du cercle circonscrit » → j’écris tout de suite OA = OB = OC (c’est le rayon) ; « à la même distance de A et de B » → le point est sur la médiatrice de [AB].
Attention — un point à la même distance de A et de B n’est pas forcément le milieu de [AB] : il est sur la médiatrice, et c’est le milieu seulement s’il est aussi sur le segment. Au compas, un écartement égal à la moitié de AB, ou plus petit, ne convient pas : les arcs ne se coupent pas en deux points.
1 / 5
Médiatrices dans les triangles particuliers
• Réciproquement, si un point A est sur la médiatrice de [BC], alors AB = AC : le triangle ABC est isocèle en A.
• Si ABC est équilatéral, il est isocèle en chacun de ses sommets : chaque médiatrice passe par le sommet opposé au côté. Ses trois médiatrices sont ses trois axes de symétrie, et elles se coupent au centre du cercle circonscrit.
Le triangle RST est isocèle en R. On sait que RS = RT. Or si un point est à la même distance des extrémités d’un segment, alors il est sur sa médiatrice. Donc R est sur la médiatrice de [ST] : elle passe par R et par le milieu de [ST].
Le point P est sur la médiatrice de [UV], avec PU = 6,3 cm et UV = 4,4 cm. Donc PV = PU = 6,3 cm : le triangle PUV est isocèle en P, et son périmètre vaut 6,3 + 6,3 + 4,4 = 17 cm.
Le triangle LMN est équilatéral. NL = NM, donc N est sur la médiatrice de [LM] ; de même, L est sur la médiatrice de [MN] et M sur celle de [LN]. Chaque médiatrice joint un sommet au milieu du côté opposé.
Sur la figure, ABC est isocèle en A : le sommet A, le centre O du cercle circonscrit et le milieu I de [BC] sont tous sur la médiatrice de [BC].
Réflexe — « deux côtés égaux » → le sommet commun est sur la médiatrice du troisième côté ; « un point de la médiatrice de [BC] » → il forme avec B et C un triangle isocèle.
Attention — la médiatrice d’un côté ne passe pas, en général, par le sommet opposé : seulement si le triangle est isocèle en ce sommet.
2 / 5
Les hauteurs d’un triangle
Un triangle a trois hauteurs, une par sommet.
Propriété : les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes : elles se coupent en un même point (on l’appelle l’orthocentre du triangle).
Tracer la hauteur issue de A : je pose un côté de l’angle droit de l’équerre le long de (BC), je fais glisser l’équerre jusqu’à ce que l’autre côté passe par A, je trace, puis je code l’angle droit en H.
Dans le triangle KLM, la hauteur issue de K passe par K et est perpendiculaire à (LM) ; la hauteur relative au côté [KM] est celle qui part du sommet L, le seul qui ne touche pas [KM].
Triangle obtus : ci-dessous, l’angle est obtus. Le pied H de la hauteur issue de A n’est pas sur le segment [BC] : on prolonge le côté (en pointillés) pour la tracer. Cette hauteur est à l’extérieur du triangle, et le point de concours des trois hauteurs aussi.
Triangle rectangle : si DEF est rectangle en D, la droite (DE) passe par E et est perpendiculaire à (DF) : c’est la hauteur issue de E. De même, (DF) est la hauteur issue de F. Les trois hauteurs se coupent au sommet de l’angle droit, D.
Dans le triangle ABC, H est le pied de la hauteur issue de A et = 52°. Le triangle ABH est rectangle en H : ses angles aigus sont complémentaires, = 90 − 52 = 38°.
Réflexe — hauteur = un sommet + un angle droit sur le côté opposé (prolongé si besoin). Je repère d’abord le sommet, puis le côté qui ne le touche pas.
Attention — la hauteur issue de A ne passe pas, en général, par le milieu de [BC] (ce serait la médiatrice). Et quand un angle est obtus, deux des hauteurs sortent du triangle.
3 / 5
Les médianes et les aires
Tracer la médiane issue de A : je mesure [BC], je place son milieu I (BI = IC = BC ÷ 2), puis je trace la droite (AI).
Propriété : la médiane issue de A partage le triangle ABC en deux triangles de même aire, ABI et AIC : chacun a pour aire la moitié de l’aire de ABC.
Démonstration. Soit H le pied de la hauteur issue de A. Les triangles ABI et AIC ont des bases de même longueur, BI = IC, et la même hauteur AH, celle du triangle ABC. Or l’aire d’un triangle vaut base × hauteur ÷ 2 (voir Aires : parallélogramme, triangle, disque). Donc aire de ABI = BI × AH ÷ 2 = IC × AH ÷ 2 = aire de AIC.
Dans le triangle PQR, QR = 9 cm : le milieu I de [QR] est à 9 ÷ 2 = 4,5 cm de Q et de R, et la médiane issue de P est la droite (PI).
Le triangle ABC a une aire de 26 cm² et I est le milieu de [BC]. La médiane (AI) partage ABC en deux triangles de même aire : aire de ABI = aire de AIC = 26 ÷ 2 = 13 cm².
Avec des mesures : BC = 10 cm et AH = 5,6 cm. Aire de ABC : 10 × 5,6 ÷ 2 = 28 cm². Aire de ABI, avec la base BI = 5 cm et la même hauteur AH : 5 × 5,6 ÷ 2 = 14 cm², c’est bien la moitié de 28.
Réflexe — « médiane » → je cherche un sommet et le milieu du côté opposé ; « aire d’un des deux triangles » → je divise l’aire du grand triangle par 2.
Attention — ne confonds pas médiane et médiatrice : toutes deux passent par le milieu d’un côté, mais la médiatrice est perpendiculaire à ce côté, alors que la médiane rejoint le sommet opposé. Et les deux triangles ont la même aire, pas forcément la même forme ni le même périmètre.
4 / 5
Reconnaître une droite remarquable
| Droite | elle passe par… | et… |
|---|---|---|
| médiatrice de [BC] | le milieu de [BC] | elle est perpendiculaire à (BC) |
| hauteur issue de A | le sommet A | elle est perpendiculaire à (BC) |
| médiane issue de A | le sommet A et le milieu de [BC] | pas d’angle droit en général |
Triangle isocèle en A : la médiatrice de [BC], la hauteur issue de A et la médiane issue de A sont la même droite, l’axe de symétrie du triangle. En effet, A est sur la médiatrice de [BC] (car AB = AC) ; cette droite passe donc par A et par le milieu de [BC] (c’est la médiane) et elle est perpendiculaire à (BC) (c’est la hauteur).
Triangle équilatéral : c’est vrai pour chacun des trois côtés. Les médiatrices, les hauteurs et les médianes ne forment que trois droites, et le centre du cercle circonscrit est aussi le point de concours des hauteurs et celui des médianes.
Sur la figure, (d₁) passe par le milieu I de [BC] et lui est perpendiculaire, sans passer par A : c’est la médiatrice de [BC]. (d₂) passe par A et est perpendiculaire à (BC) : c’est la hauteur issue de A. (d₃) passe par A et par I : c’est la médiane issue de A.
Le triangle UVW est isocèle en U et VW = 6,4 cm. La hauteur issue de U coupe [VW] en H. Cette hauteur est aussi la médiane issue de U : H est le milieu de [VW], donc VH = 6,4 ÷ 2 = 3,2 cm.
Réflexe — je pose deux questions : la droite passe-t-elle par un sommet ? Fait-elle un angle droit avec le côté ? Sommet + angle droit : hauteur ; sommet + milieu : médiane ; milieu + angle droit : médiatrice.
Attention — on ne se fie pas à l’œil : seuls le codage et les données comptent. Hors du triangle isocèle, la hauteur issue de A et la médiatrice de [BC] sont deux droites parallèles différentes (toutes deux perpendiculaires à (BC)).
5 / 5
Pour aller plus loin
Le reste des triangles — somme des angles (180°), triangles particuliers et leurs angles, inégalité triangulaire et constructions de triangles : voir Triangles : somme des angles et constructions.
Aire — l’aire d’un triangle se calcule avec un côté et la hauteur relative à ce côté (base × hauteur ÷ 2) : voir Aires : parallélogramme, triangle, disque.
Approfondissement — les trois médianes d’un triangle sont, elles aussi, concourantes : elles se coupent en un point G, toujours à l’intérieur du triangle, appelé centre de gravité. Pour vérifier une figure, on trace deux médianes : la troisième doit passer par leur point d’intersection. Découpé dans du carton, le triangle tient en équilibre sur la pointe d’un crayon placée en G.
Se verra en 4ᵉ — pourquoi le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle est le milieu de son hypoténuse ; et les bissectrices, quatrième famille de droites remarquables du triangle.
- Milieu I de [AB] : I est sur [AB] et AI = IB = AB ÷ 2. Médiatrice : la perpendiculaire en son milieu ; un point est dessus si et seulement s’il est à égale distance de A et de B ; elle se construit au compas.
- Les trois médiatrices d’un triangle se coupent au centre O du cercle circonscrit : OA = OB = OC. O est dans le triangle si ses trois angles sont aigus, au milieu du plus grand côté s’il est rectangle, dehors s’il a un angle obtus.
- Triangle isocèle en A : A est sur la médiatrice de la base [BC], et réciproquement ; triangle équilatéral : chaque médiatrice passe par le sommet opposé.
- La hauteur issue d’un sommet passe par ce sommet et est perpendiculaire au côté opposé ; les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes.
- La médiane issue d’un sommet passe par ce sommet et par le milieu du côté opposé ; elle partage le triangle en deux triangles de même aire.
- Sommet + angle droit : hauteur ; sommet + milieu : médiane ; milieu + angle droit : médiatrice. Dans un triangle isocèle, les trois sont confondues pour la base.
Questions fréquentes
Qu’est-ce que la médiatrice d’un segment et comment la construire ?
C’est la droite perpendiculaire au segment qui passe par son milieu : chacun de ses points est à la même distance des deux extrémités. Au compas, on trace deux arcs de même rayon, plus grand que la moitié du segment, centrés aux deux extrémités ; la droite qui joint leurs points d’intersection est la médiatrice. Les trois médiatrices d’un triangle se coupent au centre du cercle circonscrit.
Où passe la médiatrice de la base d’un triangle isocèle ?
Par le sommet principal, puisqu’il est à la même distance des deux extrémités de la base : c’est l’axe de symétrie du triangle. Réciproquement, un point de la médiatrice de [BC] forme avec B et C un triangle isocèle. Dans un triangle équilatéral, chaque médiatrice passe par le sommet opposé.
Comment tracer une hauteur d’un triangle ?
La hauteur issue de A passe par A et est perpendiculaire au côté opposé [BC] : on pose l’équerre le long de (BC) et on la fait glisser jusqu’à A. Si un angle est obtus, on prolonge le côté : le pied de la hauteur est hors du triangle. Les trois hauteurs sont concourantes.
Pourquoi une médiane partage-t-elle un triangle en deux triangles de même aire ?
La médiane issue de A passe par A et par le milieu I de [BC]. Les triangles ABI et AIC ont des bases égales (BI = IC) et la même hauteur issue de A : ils ont donc la même aire, la moitié de celle de ABC.
Comment ne pas confondre médiatrice, hauteur et médiane ?
Sommet et angle droit : hauteur. Sommet et milieu du côté opposé : médiane. Milieu et angle droit : médiatrice. Dans un triangle isocèle, ces trois droites sont confondues pour la base.
Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.
Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au collège · Aide aux devoirs