Angles & parallélisme

1. a)${94}^{\circ }$ : obtus (entre ${90}^{\circ }$ et ${180}^{\circ }$) ; ${86}^{\circ }$ : aigu (moins de ${90}^{\circ }$) ; ${180}^{\circ }$ : plat (ses côtés forment une droite). (1)
2. b)$EFG={136}^{\circ }$ : l’angle est obtus, sa mesure dépasse ${90}^{\circ }$ ; $44$ se lit sur l’autre graduation ($180-136=44$). (1)
3. c)Je trace $[Ox)$, je place le centre du rapporteur en $O$ et le $0$ sur $[Ox)$, je marque un point en face de $116$ et je trace $[Oy)$. Puis $116÷2=58$ : je construis $xOz={58}^{\circ }$ à partir de $[Ox)$. Donc $xOz=zOy={58}^{\circ }$. (1)
4. d)On sait que $(d_1)//(d)$ et $(d_2)//(d)$. Or si deux droites sont parallèles à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles. Donc $(d_1)//(d_2)$. Ensuite, on sait que $(d_1)//(d_2)$ et $(e)⟂(d_1)$. Or si deux droites sont parallèles et qu’une troisième est perpendiculaire à l’une, alors elle est perpendiculaire à l’autre. Donc $(e)⟂(d_2)$. (1)

Repère — Rapporteur : la nature de l’angle choisit la graduation ; bissectrice : la moitié ; droites : on sait que, or, donc.

1. a)$BOD={37}^{\circ }$ : $BOD$ et $AOC$ sont opposés par le sommet, ils ont la même mesure. (1)
2. b)$COB={180}^{\circ }-{37}^{\circ }={143}^{\circ }$, car il forme avec $AOC$ l’angle plat $AOB$ ; $AOD={143}^{\circ }$, opposé par le sommet à $COB$. (1)
3. c)$90-26=64$, soit ${64}^{\circ }$ ; $90-74,5=15,5$, soit $15,5^{\circ }$ ; $180-153=27$, soit ${27}^{\circ }$. (1)
4. d)$x+5x=6x=180$, donc $x=180÷6=30$ : les angles mesurent ${30}^{\circ }$ et ${150}^{\circ }$. (1)

Méthode — Opposé par le sommet : même mesure ; voisin sur une droite : on complète à $180°$ ; complémentaire : $90°$ moins l’angle.

1. a)$MND$ : il est à la même place que $EMB$ ; entre deux parallèles, deux angles correspondants ont la même mesure : $MND={123}^{\circ }$. (1)
2. b)$AMN$ : entre les droites, de l’autre côté de la sécante ; il mesure aussi ${123}^{\circ }$. (1)
3. c)$BMN$ forme avec $EMB$ l’angle plat $EMN$ : ${180}^{\circ }-{123}^{\circ }={57}^{\circ }$. (1)
4. d)Deux mesures : ${123}^{\circ }$ et ${57}^{\circ }$, qui sont supplémentaires. (1)

Piège — Les angles correspondants et alternes-internes ne sont égaux que parce que les droites sont parallèles : on le cite dans la justification.

1. a)Faux : ils sont égaux ; ce sont les angles voisins qui sont supplémentaires. (1)
2. b)Faux : seulement lorsque les deux droites sont parallèles. (1)
3. c)Faux : un angle obtus n’a pas de complémentaire ; une mesure d’angle ne peut pas être négative. (1)
4. d)Faux : une figure ne prouve rien ; il faut deux angles correspondants (ou alternes-internes) de même mesure. (1)

Le point clé — Seules les données et les propriétés du cours permettent de conclure, jamais l’aspect de la figure.

1. a)On sait que les angles alternes-internes formés par la poutre avec les deux chevrons mesurent tous deux ${68}^{\circ }$. Or si deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes de même mesure, alors elles sont parallèles. Donc les deux chevrons sont parallèles. (1)
2. b)${68}^{\circ }$ (l’angle opposé par le sommet) et deux angles de ${180}^{\circ }-{68}^{\circ }={112}^{\circ }$ (les angles voisins). (1)
3. c)Non : s’ils l’étaient, les deux angles alternes-internes seraient égaux ; or $68\ne 73$. (1)
4. d)$73-68=5$, soit $5^{\circ }$. (1)

Méthode — Propriété : des parallèles donnent des angles égaux ; réciproque : des angles égaux donnent des parallèles.