Les triangles

Rappels de 6ᵉ (vocabulaire, codage, triangles isocèle, équilatéral et rectangle, périmètre, constructions au compas et à l’équerre), démontrer et utiliser la somme des angles d’un triangle (180°), calculer les angles des triangles isocèle, équilatéral et rectangle, savoir si un triangle existe grâce à l’inégalité triangulaire, et construire un triangle à partir de trois longueurs, de deux longueurs et d’un angle, ou d’une longueur et de deux angles.

À propos de cette page

Six problèmes corrigés sur les triangles : les fanions d’une kermesse, le cadre triangulaire d’un menuisier, un triangle isocèle de sommet principal A, les angles des équerres, trois angles liés par une équation et une construction au compas à mesurer.

6 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je fais une figure à main levée : les sommets, les longueurs, les angles connus et le codage de l’énoncé.
Je repère la propriété utile : somme des angles 180°, angles d’un triangle particulier, inégalité triangulaire, ou méthode de construction.
Je calcule dans l’ordre de l’énoncé, et je contrôle : la somme des trois angles doit valoir 180°.
Je réponds par une phrase, avec l’unité (° ou cm).

Problème 1 · Les fanions de la kermesse★★★Facile

Pour la kermesse, Malo découpe des fanions. Chaque fanion est un triangle

K W Z

avec

K W = K Z = 28

cm et

W Z = 20

cm.

1. Quelle est la nature du triangle $K W Z$ ?
$K W = K Z$ : le triangle est isocèle en $K$ ; $K$ est le sommet principal et $[W Z]$ la base.
2. Malo coud un galon tout autour d’un fanion. Quelle longueur de galon lui faut-il ? cm
C’est le périmètre : $28 + 28 + 20 = 76$ cm.
3. Pour tracer le gabarit, il trace $[W Z]$ , puis deux arcs de centres $W$ et $Z$ . Quel est leur rayon commun ? cm
$K$ est à $28$ cm de $W$ et à $28$ cm de $Z$ : deux arcs de rayon $28$ cm, qui se coupent en $K$ .
4. Au rapporteur, il mesure $W K Z = 42 °$ . Combien mesure l’angle $K W Z$ ? °
Les angles à la base d’un triangle isocèle sont égaux : $(180 - 42) \div 2 = 138 \div 2 = 69 °$ .

Problème 2 · Le cadre du menuisier★★★Facile

Un menuisier veut fabriquer un cadre triangulaire avec trois tasseaux de 25 cm, 40 cm et 70 cm.

1. La somme des deux plus petits tasseaux vaut cm
$25 + 40 = 65$ cm.
2. Le cadre est-il possible ? Réponds : existe, est aplati ou est impossible. Le cadre
Le plus grand tasseau, $70$ cm, dépasse $65$ cm : le cadre est impossible.
3. Il garde les tasseaux de $25$ cm et $40$ cm et raccourcit le grand. Quelle est la longueur entière maximale du grand tasseau ? cm
Il doit être strictement inférieur à $65$ cm : au plus $64$ cm.
4. Il garde plutôt les tasseaux de $70$ cm et $40$ cm et remplace celui de $25$ cm. Longueur entière minimale du nouveau tasseau ? cm
Il faut $40 + c > 70$ , donc $c > 30$ : au moins $31$ cm. Avec $30$ cm, $40 + 30 = 70$ : les trois extrémités seraient alignées.

Problème 3 · Un triangle isocèle de sommet principal A★★★Moyen

Le triangle ABC est isocèle de sommet principal A, avec un angle

B A C

de 38° et AB = 6,2 cm.

1. Combien mesure l’angle $A B C$ ? °
Les angles à la base sont égaux : $(180 - 38) \div 2 = 142 \div 2 = 71 °$ .
2. Combien mesure l’angle $A C B$ ? °
C’est l’autre angle à la base : $71 °$ .
3. Combien mesure le côté $[A C]$ ? cm
Le sommet principal est $A$ : les côtés égaux sont ceux qui en partent, $A C = A B = 6, 2$ cm.
4. La base $[B C]$ est-elle plus courte ou plus longue que $12, 4$ cm ?
Inégalité triangulaire : $B C < A B + A C = 6, 2 + 6, 2 = 12, 4$ cm. La base est plus courte.

Problème 4 · Les équerres★★★Moyen

Une équerre de bricolage a la forme d’un triangle rectangle. Son plus petit angle mesure 27°.

1. Combien mesure le second angle aigu ? °
Les deux angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires : $90 - 27 = 63 °$ .
2. Quelle est la somme des trois angles de l’équerre ? °
$90 + 27 + 63 = 180 °$ , comme dans tout triangle.
3. Une autre équerre a deux angles aigus égaux. Combien mesure chacun ? °
$90 \div 2 = 45 °$ : c’est un triangle rectangle isocèle.
4. Un vendeur annonce une équerre « rectangle, d’angles $90 °$ , $50 °$ et $35 °$ ». Quelle est la somme de ces angles ? °
$90 + 50 + 35 = 175 \neq 180$ : la description est fausse, cette équerre n’existe pas.

Problème 5 · Trois angles liés★★★Difficile

Dans un triangle, le deuxième angle mesure 20° de plus que le premier, et le troisième mesure le double du premier. On appelle x la mesure du premier angle.

1. Écris la somme des trois angles en fonction de $x$ , réduite (sans le symbole °) :
$x + (x + 20) + 2 x = 4 x + 20$ .
2. Combien vaut le premier angle ? °
$4 x + 20 = 180$ , donc $4 x = 160$ et $x = 40 °$ .
3. Combien mesure le plus grand angle ? °
Le deuxième vaut $40 + 20 = 60 °$ et le troisième $2 \times 40 = 80 °$ . Contrôle : $40 + 60 + 80 = 180$ .
4. Ce triangle est-il isocèle, rectangle ou quelconque ?
$40 °$ , $60 °$ et $80 °$ : aucun angle droit et trois angles différents, il est quelconque.

Problème 6 · Construire et mesurer★★★Difficile

Sur ton cahier, on veut construire le triangle ABC tel que AB = 8 cm, AC = 5 cm et BC = 6 cm. Laisse les traits de construction apparents.

1. Quel côté faut-il comparer à la somme des deux autres ?
On compare le plus grand côté, $A B = 8$ cm, à $5 + 6 = 11$ cm : $8 < 11$ , le triangle existe.
2. Tu traces $[A B]$ , puis un arc de centre $A$ et de rayon cm
$C$ est à $5$ cm de $A$ ( $A C = 5$ cm), puis à $6$ cm de $B$ : arc de centre $B$ et de rayon $6$ cm.
3. Mesure l’angle $A C B$ au rapporteur, au degré près : °
Sur une figure précise, on lit environ $93 °$ (on accepte de $92 °$ à $94 °$ ).
4. Le triangle $A B C$ a donc en $C$ un angle aigu, droit ou obtus ?
Environ $93 °$ , plus de $90 °$ : l’angle en $C$ est obtus. C’est l’angle opposé au plus grand côté $[A B]$ .

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