Fiche de révision : médiatrices, hauteurs et médianes

Rappels de 6e (milieu, médiatrice et sa construction au compas, cercle circonscrit et position de son centre), puis les médiatrices dans les triangles isocèle et équilatéral ; définir et tracer les hauteurs d’un triangle (concourantes) et ses médianes (une médiane partage le triangle en deux triangles de même aire) ; reconnaître ces droites remarquables.

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Triangles : médiatrices, hauteurs et médianes

Fiche méthode

(Mathématiques 5ᵉ · Espace et géométrie · Triangles)

La démarche pour un exercice sur les droites remarquables

1. Je fais une figure à main levée codée : milieux, angles droits, côtés égaux.

2. Je repère la droite dont on parle : passe-t-elle par un sommet ? par un milieu ? fait-elle un angle droit ?

3. J’utilise la propriété qui va avec (MA = MB sur la médiatrice ; OA = OB = OC ; hauteurs concourantes ; aire partagée en deux) et je rédige : on sait que… ; or… ; donc…

Le réflexe — médiatrice : milieu + angle droit ; hauteur : sommet + angle droit ; médiane : sommet + milieu.

Cas 1 · Rappels de 6e : médiatrice et cercle circonscrit

Réflexe — pour la médiatrice de $[A B]$ , deux arcs de même rayon (plus de la moitié de $A B$ ) centrés en $A$ et en $B$ ; centre du cercle circonscrit : $O A = O B = O C$ .

Exemple 1. Construire la médiatrice de $[R S]$ , avec $R S = 8, 2$ cm.

Écartement de $5$ cm, plus grand que $8, 2 \div 2 = 4, 1$ cm : un arc de centre $R$ , puis un arc de centre $S$ , de part et d’autre de $[R S]$ . Ils se coupent en $P$ et $Q$ .

$P R = P S$ et $Q R = Q S$ : $P$ et $Q$ sont sur la médiatrice de $[R S]$ , qui est la droite $(P Q)$ .

Exemple 2. $O$ est le centre du cercle circonscrit au triangle $J K L$ et $J O K = 124 °$ . Calculer $O J K$ .

$O$ est sur la médiatrice de $[J K]$ , donc $O J = O K$ : le triangle $O J K$ est isocèle en $O$ .

Ses angles à la base sont égaux : $O J K = O K J = (180 ° - 124 °) \div 2 = 28 °$ .

Attention — deux médiatrices suffisent pour placer $O$ ; et $O$ n’est dans le triangle que si ses trois angles sont aigus.

Cas 2 · Médiatrices dans les triangles particuliers

Réflexe — deux côtés égaux : le sommet commun est sur la médiatrice du troisième côté ; un point de la médiatrice de $[B C]$ forme avec $B$ et $C$ un triangle isocèle.

Exemple. Le point $K$ est sur la médiatrice de $[E F]$ , avec $K E = 3, 9$ cm et $E F = 5$ cm. Nature et périmètre du triangle $K E F$ ?

$K$ est sur la médiatrice de $[E F]$ : $K F = K E = 3, 9$ cm, le triangle $K E F$ est isocèle en $K$ .

Périmètre : $3, 9 + 3, 9 + 5 = 12, 8$ cm.

Attention — la médiatrice d’un côté passe par le sommet opposé seulement si le triangle est isocèle en ce sommet.

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Cas 3 · Tracer et utiliser une hauteur

Réflexe — un sommet, et un angle droit sur le côté opposé (prolongé si l’angle est obtus).

Exemple. Dans le triangle $M N P$ , $H$ est le pied de la hauteur issue de $M$ et $M P H = 61 °$ . Calculer $P M H$ .

La hauteur est perpendiculaire à $(N P)$ : le triangle $M H P$ est rectangle en $H$ .

Ses angles aigus sont complémentaires : $P M H = 90 ° - 61 ° = 29 °$ .

Attention — la hauteur relative au côté $[N P]$ part du sommet $M$ , celui qui ne touche pas $[N P]$ .

Cas 4 · Médiane et aires

Réflexe — médiane : sommet + milieu du côté opposé ; elle coupe l’aire en deux.

Exemple. $I$ est le milieu de $[E F]$ dans le triangle $D E F$ , d’aire $38$ cm². Trouver l’aire de $D E I$ .

$(D I)$ est la médiane issue de $D$ : elle partage $D E F$ en deux triangles de même aire.

Aire de $D E I$ : $38 \div 2 = 19$ cm².

Attention — même aire ne veut pas dire même forme : $D E I$ et $D I F$ ne sont pas superposables en général.

Cas 5 · Reconnaître une droite remarquable

Réflexe — sommet + angle droit : hauteur ; sommet + milieu : médiane ; milieu + angle droit : médiatrice.

Exemple. Le triangle $X Y Z$ est isocèle en $X$ et $I$ est le milieu de $[Y Z]$ . Que représente la droite $(X I)$ ?

$(X I)$ passe par le sommet $X$ et par le milieu de $[Y Z]$ : c’est la médiane issue de $X$ .

Comme $X Y = X Z$ , $X$ est sur la médiatrice de $[Y Z]$ : $(X I)$ est cette médiatrice, donc aussi la hauteur issue de $X$ .

Attention — dans un triangle quelconque, ces trois droites sont distinctes.

Les pièges

Croire qu’un point à égale distance de $A$ et de $B$ est forcément le milieu de $[A B]$ : il est sur la médiatrice, pas forcément sur le segment.
Croire que la médiatrice d’un côté passe toujours par le sommet opposé.
Tracer la hauteur issue de $A$ jusqu’au milieu de $[B C]$ : elle va au pied de la perpendiculaire, pas au milieu.
Oublier de prolonger le côté quand le triangle a un angle obtus.
Confondre médiane et médiatrice : la médiane passe par un sommet, la médiatrice fait un angle droit avec le côté.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode résume la démarche : figure codée, repérer sommet, milieu ou angle droit, puis utiliser la bonne propriété. Des exemples corrigés pour chaque cas (médiatrice de [RS] au compas, angle dans le triangle isocèle OJK, triangle KEF isocèle, angle formé par une hauteur, aire partagée par une médiane, droite (XI) du triangle isocèle) et cinq pièges.

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