Triangles : médiatrices, hauteurs et médianes

Rappels de 6e (milieu, médiatrice et sa construction au compas, cercle circonscrit et position de son centre), puis les médiatrices dans les triangles isocèle et équilatéral ; définir et tracer les hauteurs d’un triangle (concourantes) et ses médianes (une médiane partage le triangle en deux triangles de même aire) ; reconnaître ces droites remarquables.

À propos de cette page

Six problèmes corrigés : l’arroseur placé au centre du cercle circonscrit, la façade isocèle d’une tente, un champ partagé par une médiane, un panneau équilatéral, une hauteur et une médiane dans un même triangle, et une construction à mesurer.

6 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je fais une figure à main levée codée : milieux, angles droits, côtés égaux, données de l’énoncé.
Je reconnais la droite en jeu : médiatrice (milieu + angle droit), hauteur (sommet + angle droit) ou médiane (sommet + milieu).
J’utilise sa propriété : distances égales au centre du cercle circonscrit, triangle rectangle formé par une hauteur, aire partagée en deux par une médiane.
Je rédige : on sait que… ; or… ; donc… ; et je réponds par une phrase, avec l’unité.

Problème 1 · L’arroseur des trois arbres★★★Facile

Dans un jardin, trois arbres sont plantés aux points A, B et C. Le jardinier veut installer un arroseur rotatif en un point O, à la même distance des trois arbres, pour que le jet les atteigne exactement tous les trois.

1. Le point $O$ est le centre du cercle au triangle $A B C$
$O$ est à la même distance de $A$ , $B$ et $C$ : c’est le centre du cercle circonscrit, point de concours des médiatrices.
2. Comme $O A = O B$ , le point $O$ est sur la médiatrice du segment
$O$ est à la même distance de $A$ et de $B$ : il est sur la médiatrice de $[A B]$ . De même, il est sur celles de $[B C]$ et de $[A C]$ ; deux de ces médiatrices suffisent pour le placer sur le plan.
3. L’arroseur est à $13$ m de l’arbre $A$ . À quelle distance est-il de l’arbre $C$ ? m
$O C = O A = 13$ m : $O$ est à la même distance des trois sommets.
4. Le jet balaie le cercle circonscrit. Quel est son diamètre ? m
Le rayon vaut $13$ m : diamètre $2 \times 13 = 26$ m.
5. Le triangle $A B C$ a un angle de $104 °$ en $B$ . L’arroseur est-il à l’intérieur ou à l’extérieur du triangle ? Écris le mot :
Un angle de $104 °$ est obtus : le centre du cercle circonscrit est à l’extérieur du triangle.

Problème 2 · La façade de la tente★★★Facile

La façade d’une tente est un triangle ABC isocèle en A, posé sur le sol [BC], avec BC = 2,5 m. Le mât [AH] est vertical : il est perpendiculaire au sol en H.

1. La droite $(A H)$ est la issue de $A$
$(A H)$ passe par le sommet $A$ et est perpendiculaire au côté $[B C]$ : c’est la hauteur issue de $A$ .
2. Comme la façade est isocèle en $A$ , le point $H$ est le de $[B C]$
Dans un triangle isocèle en $A$ , la hauteur issue de $A$ est aussi la médiane : $H$ est le milieu de $[B C]$ .
3. $B H =$ m
$B H = 2, 5 \div 2 = 1, 25$ m.
4. La toile fait avec le sol un angle $A B H = 54 °$ . $B A H =$ °
Le triangle $A B H$ est rectangle en $H$ : $90 - 54 = 36$ , soit $36 °$ .
5. $B A C =$ °
$(A H)$ est l’axe de symétrie : $B A C = 2 \times 36 = 72 °$ . Vérification : $180 - 2 \times 54 = 72$ .

Problème 3 · Partager un champ en deux★★★Moyen

Deux sœurs héritent d’un champ triangulaire ABC. On mesure BC = 140 m, AB = 130 m, AC = 150 m, et la hauteur issue de A mesure 120 m. Elles veulent le partager en deux parcelles de même aire par une clôture droite partant de A.

1. La clôture doit aller de $A$ jusqu’au de $[B C]$
Une médiane partage un triangle en deux triangles de même aire : la clôture suit la médiane issue de $A$ .
2. À quelle distance de $B$ faut-il planter le dernier piquet ? m
Au milieu $I$ de $[B C]$ : $B I = 140 \div 2 = 70$ m.
3. Quelle est l’aire du champ ? m²
$140 \times 120 \div 2 = 8 400$ m².
4. Quelle est l’aire de chaque parcelle ? m²
La médiane partage l’aire en deux : $8 400 \div 2 = 4 200$ m².
5. Le bord extérieur de la parcelle $A I C$ mesure $A C + I C$ . Combien vaut-il ? m
$150 + 70 = 220$ m, alors que pour $A B I$ : $130 + 70 = 200$ m. Même aire, mais pas même périmètre.

Problème 4 · Le panneau triangulaire★★★Moyen

Un panneau a la forme d’un triangle équilatéral ABC de 70 cm de côté. On veut le fixer par une seule vis, placée à la même distance des trois sommets.

1. La médiatrice de $[B C]$ passe par le sommet
$A B = A C$ : $A$ est sur la médiatrice de $[B C]$ .
2. La hauteur issue de $A$ coupe $[B C]$ en $H$ . $B H =$ cm
Le triangle est isocèle en $A$ : la hauteur issue de $A$ est aussi la médiane, $B H = 70 \div 2 = 35$ cm.
3. La vis est au centre du cercle au triangle
Le point à la même distance des trois sommets est le centre du cercle circonscrit.
4. Le centre $O$ de ce cercle est sur la hauteur issue de $A$ . Comme $O B = O C$ , le triangle $O B C$ a pour sommet principal le point
$O B = O C$ (rayons) : le triangle $O B C$ est isocèle en $O$ .
5. $A B C = 60 °$ . Dans le triangle $A B H$ , rectangle en $H$ , $B A H =$ °
$90 - 60 = 30$ , soit $30 °$ : c’est la moitié de $B A C = 60 °$ .

Problème 5 · Hauteur et médiane dans un même triangle★★★Difficile

Dans un triangle ABC, BC = 10 cm. H est le pied de la hauteur issue de A, sur [BC], avec BH = 3 cm et AH = 6 cm. I est le milieu de [BC].

1. $B I =$ cm
$B I = 10 \div 2 = 5$ cm.
2. $H I =$ cm
$H$ et $I$ sont sur $[B C]$ , dans cet ordre à partir de $B$ : $H I = B I - B H = 5 - 3 = 2$ cm.
3. Aire du triangle $A B C$ : cm²
$10 \times 6 \div 2 = 30$ cm².
4. Aire du triangle $A B I$ : cm²
$(A I)$ est la médiane issue de $A$ : la moitié de $30$ , soit $15$ cm².
5. Aire du triangle $A H I$ , rectangle en $H$ : cm²
Base $H I$ et hauteur $A H$ : $2 \times 6 \div 2 = 6$ cm². Vérification : aire de $A B H$ $= 3 \times 6 \div 2 = 9$ cm², et $9 + 6 = 15$ cm² $=$ aire de $A B I$ .

Problème 6 · Construire et mesurer★★★Difficile

Sur ton cahier, construis le triangle ABC tel que AB = 7 cm, BC = 6 cm et AC = 5 cm. Trace les médiatrices de [AB] et de [BC] : elles se coupent en O. Trace le cercle de centre O qui passe par A. Laisse les traits de construction apparents.

1. Mesure $O A$ au millimètre près : $O A \approx$ cm
Sur une figure précise, on lit $O A \approx 3, 6$ cm (on accepte de $3, 5$ à $3, 7$ cm). Le cercle passe aussi par $B$ et $C$ : $O B = O C = O A$ .
2. Trace la hauteur issue de $C$ ; elle coupe $[A B]$ en $H$ . Mesure : $C H \approx$ cm
Équerre le long de $(A B)$ , glissée jusqu’à $C$ . On lit $C H \approx 4, 2$ cm (de $4, 1$ à $4, 3$ cm).
3. Trace la médiane issue de $C$ ; elle coupe $[A B]$ en $I$ . $A I =$ cm
$I$ est le milieu de $[A B]$ : $A I = 7 \div 2 = 3, 5$ cm.
4. Les trois angles de $A B C$ sont aigus : le point $O$ est à l’ du triangle
Triangle aux trois angles aigus : le centre du cercle circonscrit est à l’intérieur. Sur la figure, $O$ est bien dans le triangle.

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