Les triangles

Q: Que faut-il savoir de la 6ᵉ sur les triangles ?

Le vocabulaire (sommets, côtés, angle nommé avec le sommet au milieu, côté opposé à un sommet), le périmètre, les triangles isocèle, équilatéral et rectangle reconnus sur le codage, et deux constructions : avec trois longueurs (un côté à la règle, puis deux arcs au compas) et avec un angle droit (équerre). Dans DGU, le côté opposé à G est [DU].

Q: Combien vaut la somme des angles d’un triangle, et comment le démontre-t-on ?

Toujours 180° : avec 58° et 39°, le troisième angle mesure 180 − 97 = 83°. On le démontre en traçant par A la parallèle à (BC) : les angles alternes-internes, égaux aux angles en B et en C, forment avec l’angle en A un angle plat, donc 180°.

Q: Quels sont les angles d’un triangle isocèle, équilatéral ou rectangle ?

Isocèle : les deux angles à la base sont égaux, chacun vaut (180 − angle principal) ÷ 2. Équilatéral : trois angles de 60°. Rectangle : un angle de 90° et deux angles aigus dont la somme vaut 90°. Rectangle isocèle : 90°, 45° et 45°.

Q: Comment savoir si un triangle est constructible avec trois longueurs ?

On compare le plus grand côté à la somme des deux autres (inégalité triangulaire). S’il est plus petit, le triangle existe ; s’il est égal, les trois points sont alignés ; s’il est plus grand, le triangle est impossible. Avec 4, 7 et 10 cm : 4 + 7 = 11 > 10, il existe.

Rappels de 6ᵉ (vocabulaire, codage, triangles isocèle, équilatéral et rectangle, périmètre, constructions au compas et à l’équerre), démontrer et utiliser la somme des angles d’un triangle (180°), calculer les angles des triangles isocèle, équilatéral et rectangle, savoir si un triangle existe grâce à l’inégalité triangulaire, et construire un triangle à partir de trois longueurs, de deux longueurs et d’un angle, ou d’une longueur et de deux angles.

À propos de cette page

Ce cours de maths de 5e sur les triangles commence par les rappels de 6e (vocabulaire, côté opposé, codage, triangles isocèle, équilatéral et rectangle, périmètre, constructions au compas et à l’équerre), puis suit quatre parties : la somme des angles égale à 180° avec sa démonstration par la parallèle et les angles alternes-internes, les angles des triangles particuliers, l’inégalité triangulaire et les constructions à partir de trois données.

Rappels de 6ᵉ : vocabulaire, triangles particuliers et constructions

Ce qu’il faut savoirLe triangle ABC a trois sommets (A, B, C), trois côtés ([AB], [BC], [AC]) et trois angles. On nomme un angle avec trois lettres, la lettre du sommet au milieu : l’angle de sommet B est

A B C

.
Le côté opposé à un sommet est le côté qui ne passe pas par ce sommet : dans ABC, le côté opposé à A est [BC]. Le périmètre est la somme des longueurs des trois côtés.
• Un triangle isocèle a deux côtés de même longueur ; leur sommet commun est le sommet principal, le troisième côté est la base.
• Un triangle équilatéral a ses trois côtés de même longueur (il est donc aussi isocèle).
• Un triangle rectangle a un angle droit : « BCN rectangle en N » veut dire que l’angle droit est en N.
• Un triangle rectangle isocèle a un angle droit et deux côtés égaux ; un triangle sans aucune de ces propriétés est quelconque.
Codage : des côtés marqués du même petit signe ont la même longueur ; un petit carré marque un angle droit. On lit la nature sur le codage ou sur les mesures, jamais à l’œil.

Exemples

Dans le triangle DGU, le côté opposé à G est [DU] (il ne passe pas par G) et l’angle de sommet U se note $D U G$ (U au milieu).

Un triangle a des côtés de 5,8 cm, 3,9 cm et 5,8 cm : deux côtés égaux, il est isocèle, de base 3,9 cm. Périmètre : 5,8 + 5,8 + 3,9 = 15,5 cm.

Sur la figure, [AR] et [AF] portent le même trait : RAF est isocèle en A, de base [RF]. Le petit carré en N indique que BCN est rectangle en N ; s’il avait aussi NB = NC, il serait rectangle isocèle.

Construire un triangle à la règle, au compas et à l’équerre

Ce qu’il faut savoirOn commence par une figure à main levée où l’on écrit les longueurs et le codage.
Trois longueurs connues : je trace un côté à la règle ; le troisième sommet est à une distance connue de chaque extrémité, donc je trace deux arcs de cercle au compas, centrés aux deux extrémités, de rayons les longueurs des côtés qui en partent ; le troisième sommet est à l’intersection des arcs. Pour un triangle isocèle ou équilatéral, les deux arcs ont le même rayon.
Triangle rectangle (les deux côtés de l’angle droit connus) : je trace un côté ; à l’équerre, je trace la perpendiculaire à ce côté passant par le sommet de l’angle droit ; j’y reporte la seconde longueur à la règle ; je joins.
Pour régler le compas, la pointe est sur le 0 de la règle et la mine sur la longueur voulue. Un segment qui ne commence pas au 0 mesure la différence des deux graduations.
En 6ᵉ, on a aussi constaté que les trois angles d’un triangle font 180° : la partie suivante le démontre.

Exemples

Construire GMQ avec GM = 6,4 cm, GQ = 4,1 cm et MQ = 5,3 cm : je trace [GM] de 6,4 cm ; Q est à 4,1 cm de G, donc arc de centre G et de rayon 4,1 cm ; Q est à 5,3 cm de M, donc arc de centre M et de rayon 5,3 cm ; Q est à l’intersection des arcs, je trace [GQ] et [MQ].

Construire BCN rectangle en N avec NB = 3,6 cm et NC = 4,8 cm : je trace [NB] de 3,6 cm ; à l’équerre, la perpendiculaire à (NB) passant par N ; j’y place C à 4,8 cm de N ; je trace [BC]. Contrôle : on mesure BC = 6 cm.

Triangle équilatéral de côté 6,3 cm : je trace un côté de 6,3 cm, puis deux arcs de rayon 6,3 cm centrés à ses extrémités.

Sur la règle, un côté va de la graduation 3,1 à la graduation 8,3 : il mesure 8,3 − 3,1 = 5,2 cm.

Réflexe — pour la nature d’un triangle, je lis le codage (côtés égaux ? petit carré ?) ou je compare les longueurs ; pour construire, je fais une figure à main levée, puis le compas reporte une longueur depuis un point et l’équerre trace l’angle droit.

Attention — l’arc tracé depuis un sommet a pour rayon le côté qui part de ce sommet (GQ pour l’arc de centre G), pas le côté opposé. Un triangle équilatéral est aussi isocèle, mais un triangle isocèle n’est pas forcément équilatéral. Et je laisse les traits de construction visibles.

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La somme des angles d’un triangle

Ce qu’il faut savoirDans tout triangle ABC, la somme des mesures des trois angles vaut 180° :

B A C

A B C

A C B

= 180°.
Pour calculer le troisième angle : 180° − (somme des deux angles connus).
Conséquences : un triangle a au plus un angle droit ou obtus (90 + 90 = 180, il ne resterait rien) ; et si trois mesures proposées n’ont pas pour somme 180°, le triangle décrit n’existe pas.

Exemples

Dans le triangle ABC, $B A C$ = 58° et $A B C$ = 39°. 58 + 39 = 97, donc $A C B$ = 180° − 97° = 83°. Contrôle : 58 + 39 + 83 = 180.

Un triangle peut-il avoir des angles de 104°, 51° et 27° ? 104 + 51 + 27 = 182 : ce n’est pas 180, ce triangle n’existe pas.

Pourquoi 180° ? La démonstration

DémonstrationEn 6ᵉ, on l’a constaté en découpant des triangles. En 5ᵉ, on le démontre, pour tous les triangles à la fois.
On trace la droite (d) qui passe par A et qui est parallèle à (BC), et on y place D et E de part et d’autre de A (D du côté de B).
• Les droites (d) et (BC) sont parallèles et coupées par la sécante (AB) : les angles alternes-internes

D A B

A B C

ont la même mesure.
• De même avec la sécante (AC) :

C A E

A C B

.
• Les points D, A et E sont alignés :

D A B

B A C

C A E

= 180° (angle plat).
Donc

A B C

B A C

A C B

= 180°.
La propriété des angles alternes-internes est étudiée dans le chapitre Angles & parallélisme.

Réflexe — j’additionne les deux angles connus, je retire le résultat de 180°, puis je contrôle que les trois angles font bien 180°.

Attention — on calcule 180 − (58 + 39), pas 180 − 58 + 39. Et on nomme l’angle cherché par trois lettres : dans ABC, l’angle de sommet C est $A C B$ , pas $A B C$ .

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Les triangles particuliers et leurs angles

Ce qu’il faut savoir

Triangle	Côtés (codage)	Angles
isocèle en A	AB = AC ; A est le sommet principal, [BC] la base	angles à la base égaux : $A B C$ = $A C B$
équilatéral	trois côtés égaux	trois angles de 60° (180 ÷ 3)
rectangle en A	angle droit en A ; [BC], opposé à l’angle droit, est l’hypoténuse, le plus long côté	$A B C$ + $A C B$ = 90° (angles aigus complémentaires)
rectangle isocèle en A	angle droit en A et AB = AC	90°, 45° et 45°

Dans l’autre sens : un triangle qui a deux angles égaux est isocèle (le sommet principal est le troisième sommet) ; un triangle qui a trois angles de 60° est équilatéral ; un triangle qui a un angle de 90° est rectangle.
Un triangle sans aucune de ces propriétés est quelconque (voir les rappels de 6ᵉ).

Exemples

KLM est isocèle en K et $L K M$ = 22°. Les deux angles à la base sont égaux et ont pour somme 180 − 22 = 158 : $K L M$ = $K M L$ = 158 ÷ 2 = 79°.

NPQ est isocèle en N et $N P Q$ = 37°. Alors $N Q P$ = 37° et $P N Q$ = 180 − 2 × 37 = 180 − 74 = 106°.

RST est rectangle en R et $R S T$ = 29° : $R T S$ = 90 − 29 = 61°.

Un triangle a des angles de 48°, 84° et 48° : deux angles égaux, il est isocèle ; son sommet principal est celui de l’angle de 84°.

Réflexe — isocèle : angle à la base = (180 − angle principal) ÷ 2, et angle principal = 180 − 2 × angle à la base ; rectangle : un angle aigu = 90 − l’autre.

Attention — 180 − 22 = 158 est la somme des deux angles à la base : il faut encore diviser par 2. Et les angles à la base sont ceux qui touchent la base, pas l’angle du sommet principal.

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L’inégalité triangulaire : le triangle existe-t-il ?

Ce qu’il faut savoirDans un triangle ABC, aller de A à B en ligne droite est plus court que passer par C : AB < AC + CB. C’est l’inégalité triangulaire.
Avec trois longueurs, on compare le plus grand côté à la somme des deux autres (une seule comparaison suffit) :
• plus grand côté < somme des deux autres : le triangle existe ;
• plus grand côté = somme des deux autres : les trois points sont alignés, le « triangle » est aplati ; si AC + CB = AB, le point C est sur le segment [AB] ;
• plus grand côté > somme des deux autres : le triangle est impossible.
Deux côtés connus, de longueurs a et b (a ≥ b) : le troisième côté c doit vérifier a − b < c < a + b.

Exemples

4 cm, 7 cm et 10 cm : le plus grand côté est 10 cm ; 4 + 7 = 11 et 10 < 11 : le triangle existe.

2,5 cm, 3,5 cm et 6,5 cm : 2,5 + 3,5 = 6 et 6,5 > 6 : le triangle est impossible.

4,2 cm, 5,3 cm et 9,5 cm : 4,2 + 5,3 = 9,5, égalité : les trois points sont alignés.

Deux côtés mesurent 8 cm et 3 cm : le troisième est strictement compris entre 8 − 3 = 5 cm et 8 + 3 = 11 cm.

Réflexe — je repère le plus grand côté, j’additionne les deux autres et je compare : plus petit, égal ou plus grand ?

Attention — l’égalité ne suffit pas : on obtient trois points alignés, pas un vrai triangle. Et on compare le plus grand côté : avec 2 cm, 6 cm et 9 cm, 6 < 2 + 9 est vrai mais ne prouve rien, car 2 + 6 = 8 < 9.

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Construire un triangle

Ce qu’il faut savoirTrois données bien choisies suffisent pour construire un triangle. On fait d’abord une figure à main levée codée avec les données.
• Trois longueurs : je vérifie d’abord l’inégalité triangulaire, puis je construis au compas comme en 6ᵉ (voir les rappels), en commençant souvent par le plus grand côté.
• Deux longueurs et l’angle compris entre elles : je trace un des côtés ; au rapporteur, je trace l’angle à leur sommet commun ; je reporte la seconde longueur sur le côté de l’angle ; je joins.
• Une longueur et les deux angles adjacents (aux extrémités de ce côté) : je trace le côté, puis les deux angles au rapporteur ; les deux demi-droites se coupent au troisième sommet. Si un angle connu n’est pas adjacent au côté, je calcule d’abord l’angle qui manque avec la somme 180°. Les deux angles doivent avoir une somme inférieure à 180°.
Avec ces données, on obtient un seul triangle (à un retournement près). Avec trois angles seulement, on en obtient une infinité, de même forme mais de tailles différentes.

Exemples

Construire RST avec RS = 5 cm, RT = 3,5 cm et $S R T$ = 64° : je trace [RS] de 5 cm ; en R, l’angle de 64° ; je place T sur ce côté de l’angle, à 3,5 cm de R ; je trace [ST].

Construire UVW avec UV = 6 cm, $V U W$ = 42° et $U W V$ = 73° : l’angle en W n’est pas adjacent à [UV]. Je calcule $U V W$ = 180 − (42 + 73) = 65°, puis je trace [UV] et les angles de 42° en U et de 65° en V.

Construire EFG isocèle en E, de base [FG] = 5 cm et d’angle principal 32° : les angles à la base mesurent (180 − 32) ÷ 2 = 74° ; je trace [FG] et deux angles de 74° en F et en G.

Réflexe — trois longueurs → règle et compas ; deux longueurs et un angle → règle, rapporteur, règle ; une longueur et deux angles → règle puis rapporteur aux deux bouts. Je laisse les traits de construction.

Attention — l’angle donné avec deux longueurs doit être au sommet commun aux deux côtés connus ; avec une longueur, les deux angles tracés doivent être aux extrémités de ce côté.

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Pour aller plus loin

Aussi vu en 6ᵉ — les quadrilatères particuliers (rectangle, losange, carré) sont repris dans Parallélogrammes particuliers : rectangle, losange, carré, et le cercle circonscrit dans le chapitre sur les médiatrices ci-dessous.

Avant ce chapitre — angles adjacents, supplémentaires, alternes-internes et correspondants, et la propriété qui sert à la démonstration de la somme des angles : voir Angles & parallélisme.

Droites remarquables — la médiatrice d’un côté est la droite perpendiculaire à ce côté en son milieu ; les trois médiatrices d’un triangle se coupent au centre du cercle circonscrit, qui passe par les trois sommets. La hauteur issue d’un sommet passe par ce sommet et est perpendiculaire au côté opposé ; la médiane issue d’un sommet passe par ce sommet et par le milieu du côté opposé. Pour aller plus loin : voir le chapitre Triangles : médiatrices, hauteurs et médianes.

Aire — l’aire d’un triangle se calcule avec un côté et la hauteur relative à ce côté : base × hauteur ÷ 2. Voir Aires : parallélogramme, triangle, disque.

À savoir — dans un triangle rectangle, les longueurs des trois côtés sont liées par le théorème de Pythagore : cela se verra en 4ᵉ.

À retenir

Rappels de 6ᵉ : l’angle de sommet B se note avec B au milieu ; le côté opposé à A est [BC] ; isocèle, équilatéral, rectangle se lisent sur le codage ; on construit avec trois longueurs au compas, un angle droit à l’équerre.
Dans tout triangle, la somme des trois angles vaut 180° : on le démontre avec la parallèle à un côté et les angles alternes-internes.
Troisième angle = 180° − (somme des deux autres) ; un triangle a au plus un angle droit ou obtus.
Isocèle : deux angles à la base égaux ; équilatéral : trois angles de 60° ; rectangle : deux angles aigus de somme 90° ; rectangle isocèle : 90°, 45°, 45°. Deux angles égaux : le triangle est isocèle.
Inégalité triangulaire : le triangle existe si le plus grand côté est inférieur à la somme des deux autres ; en cas d’égalité, les points sont alignés.
On construit un triangle avec trois longueurs (compas), deux longueurs et l’angle compris, ou une longueur et les deux angles adjacents (rapporteur).

Questions fréquentes

Que faut-il savoir de la 6ᵉ sur les triangles ?

Le vocabulaire (sommets, côtés, angle nommé avec le sommet au milieu, côté opposé à un sommet), le périmètre, les triangles isocèle, équilatéral et rectangle reconnus sur le codage, et deux constructions : avec trois longueurs (un côté à la règle, puis deux arcs au compas) et avec un angle droit (équerre). Dans DGU, le côté opposé à G est [DU].

Combien vaut la somme des angles d’un triangle, et comment le démontre-t-on ?

Toujours 180° : avec 58° et 39°, le troisième angle mesure 180 − 97 = 83°. On le démontre en traçant par A la parallèle à (BC) : les angles alternes-internes, égaux aux angles en B et en C, forment avec l’angle en A un angle plat, donc 180°.

Quels sont les angles d’un triangle isocèle, équilatéral ou rectangle ?

Isocèle : les deux angles à la base sont égaux, chacun vaut (180 − angle principal) ÷ 2. Équilatéral : trois angles de 60°. Rectangle : un angle de 90° et deux angles aigus dont la somme vaut 90°. Rectangle isocèle : 90°, 45° et 45°.

Comment savoir si un triangle est constructible avec trois longueurs ?

On compare le plus grand côté à la somme des deux autres (inégalité triangulaire). S’il est plus petit, le triangle existe ; s’il est égal, les trois points sont alignés ; s’il est plus grand, le triangle est impossible. Avec 4, 7 et 10 cm : 4 + 7 = 11 > 10, il existe.

Comment construire un triangle avec une longueur et deux angles ?

On trace le côté connu, puis au rapporteur les deux angles à ses extrémités : les deux demi-droites se coupent au troisième sommet. Si l’un des angles donnés n’est pas au bout du côté, on calcule d’abord l’angle manquant avec la somme 180°.

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