Collège · 5ᵉ · Mathématiques
Les triangles
Somme des angles, inégalité triangulaire, triangles particuliers et droites remarquables : construire, calculer et justifier (programme de 5e)
À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en cinquième sur « Les triangles » suit le programme officiel de mathématiques de cinquième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Vocabulaire du triangle, La somme des angles vaut 180°, L'inégalité triangulaire, Le triangle isocèle. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de cinquième à réussir en mathématiques.
1
Vocabulaire du triangle
Un triangle est un polygone à trois côtés, donc à trois sommets et trois angles.
Vocabulaire. Dans le triangle $ABC$ : les sommets sont $A$, $B$ et $C$ ; les côtés sont $[AB]$, $[BC]$ et $[AC]$ ; les angles se notent $\widehat{A}$, $\widehat{B}$ et $\widehat{C}$. Le côté $[BC]$, qui ne touche pas $A$, est le côté opposé à $\widehat{A}$.
Exemple. Le périmètre du triangle $ABC$ vaut $AB + BC + AC$. Si $AB = 5$ cm, $BC = 6{,}5$ cm et $AC = 4$ cm, le périmètre vaut $15{,}5$ cm.
Astuce. Le codage d'une figure remplace un long texte : deux traits identiques signalent deux côtés de même longueur, deux arcs identiques deux angles de même mesure.
2
La somme des angles vaut 180°
Propriété. Dans tout triangle, la somme des mesures des trois angles vaut $$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180°.$$
Exemple. Dans un triangle, $\widehat{A} = 62°$ et $\widehat{B} = 47°$. Alors $\widehat{C} = 180 - (62 + 47) = 180 - 109 = 71°$.
Attention ! Un triangle ne peut pas avoir deux angles droits : $90 + 90 = 180$, il ne resterait rien pour le troisième. Il ne peut pas non plus avoir deux angles obtus.
Astuce. Cette propriété permet aussi de vérifier un énoncé : si les trois angles proposés ne totalisent pas $180°$, le triangle décrit n'existe pas.
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L'inégalité triangulaire
Trois longueurs ne permettent pas toujours de construire un triangle.
Propriété. Un triangle existe seulement si la longueur du plus grand côté est inférieure à la somme des deux autres.
Exemple 1. $3$ cm, $4$ cm et $9$ cm : $3 + 4 = 7 \lt 9$. Le triangle n'existe pas.
Exemple 2. $5$ cm, $6$ cm et $8$ cm : $5 + 6 = 11 \gt 8$. Le triangle existe.
Exemple 2. $5$ cm, $6$ cm et $8$ cm : $5 + 6 = 11 \gt 8$. Le triangle existe.
Cas limite. Si le plus grand côté est exactement égal à la somme des deux autres ($3$, $5$ et $8$ : $3 + 5 = 8$), les trois points sont alignés : la figure est « aplatie » et ne forme pas un vrai triangle.
Astuce. Une seule comparaison suffit : celle qui fait intervenir le plus grand côté. Inutile de tester les trois.
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Le triangle isocèle
Définition. Un triangle isocèle possède deux côtés de même longueur. Le sommet commun à ces deux côtés est le sommet principal ; le troisième côté est la base.
Propriété. Dans un triangle isocèle, les deux angles à la base ont la même mesure. Réciproquement, un triangle ayant deux angles égaux est isocèle.
Exemple. Un triangle isocèle a un angle principal de $40°$. Les deux angles à la base sont égaux : leur somme vaut $180 - 40 = 140°$, donc chacun mesure $70°$.
Inversement, si un angle à la base mesure $55°$, l'autre aussi, et l'angle principal vaut $180 - 110 = 70°$.
Inversement, si un angle à la base mesure $55°$, l'autre aussi, et l'angle principal vaut $180 - 110 = 70°$.
5
Triangle équilatéral et triangle rectangle
Triangle équilatéral. Ses trois côtés ont la même longueur, et ses trois angles mesurent $60°$ (car $180 \div 3 = 60$).
Triangle rectangle. Il possède un angle droit. Le côté opposé à l'angle droit, le plus long, est l'hypoténuse. Ses deux angles aigus sont complémentaires : leur somme vaut $90°$.
Exemple. Dans un triangle rectangle, un angle aigu mesure $34°$ : l'autre mesure $90 - 34 = 56°$.
| Triangle | Côtés | Angles |
|---|---|---|
| Équilatéral | trois côtés égaux | $60°$, $60°$, $60°$ |
| Isocèle | deux côtés égaux | deux angles égaux |
| Rectangle | une hypoténuse | $90°$ + deux angles complémentaires |
| Rectangle isocèle | deux côtés égaux | $90°$, $45°$, $45°$ |
6
Construire un triangle
Trois données suffisent en général à construire un triangle, mais l'ordre des étapes dépend de ce que l'on connaît.
Trois longueurs. On vérifie d'abord l'inégalité triangulaire, puis on trace le plus grand côté et on reporte les deux autres au compas : leur intersection donne le troisième sommet.
Deux longueurs et l'angle entre elles. On trace un côté, on construit l'angle au rapporteur, puis on reporte la seconde longueur.
Une longueur et les deux angles adjacents. On trace le côté, puis les deux angles à ses extrémités : les deux demi-droites se coupent au troisième sommet.
Astuce. Commence toujours par une figure à main levée codée avec les données : elle évite de tracer une construction fausse au propre.
7
Médiatrices et hauteurs
Médiatrice d'un côté. C'est la droite perpendiculaire à ce côté passant par son milieu. Tous ses points sont à égale distance des deux extrémités du côté.
Hauteur issue d'un sommet. C'est la droite passant par ce sommet et perpendiculaire au côté opposé. Un triangle possède trois hauteurs.
Exemple. L'aire d'un triangle se calcule avec une hauteur : $\mathcal{A} = \dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}$. Pour une base de $9$ cm et une hauteur de $4$ cm, l'aire vaut $18$ cm².
Attention ! Ne confonds pas hauteur et médiatrice : la hauteur part d'un sommet, la médiatrice passe par le milieu d'un côté. Elles ne coïncident que dans un triangle isocèle, pour le côté qui sert de base.
En bref
- Somme des angles : $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180°$ dans tout triangle.
- Inégalité triangulaire : le plus grand côté doit être plus petit que la somme des deux autres.
- Isocèle : deux côtés égaux $\Leftrightarrow$ deux angles égaux.
- Équilatéral : trois côtés égaux, trois angles de $60°$.
- Rectangle : un angle droit, deux angles aigus complémentaires.
- Hauteur : d'un sommet, perpendiculaire au côté opposé. Médiatrice : perpendiculaire à un côté en son milieu.
- Aire $= \dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}$.
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