Triangles : médiatrices, hauteurs et médianes

1. a)$O$ est sur les médiatrices de $[AB]$ et de $[AC]$ : il est à la même distance des sommets, $OB=OC=OA=5,2$ cm. (1)
2. b)Diamètre $=2\times 5,2=10,4$ cm. (1)
3. c)$OA=OC$ : $OAC$ est isocèle en $O$. $OAC=({180}^{\circ }-{106}^{\circ })÷2={37}^{\circ }$. (1)
4. d)$MA=MC$ : $M$ est à la même distance de $A$ et de $C$, donc il est sur la médiatrice de $[AC]$. Cette droite passe par $O$, car $OA=OC$ : $O$ est lui aussi à la même distance de $A$ et de $C$. (1)

Le point clé — La médiatrice de $[AC]$, ce sont tous les points à la même distance de $A$ et de $C$ : le centre $O$ en fait partie, d’où des triangles isocèles en $O$.

1. a)L’angle $EFG$ est obtus : je prolonge $[GF]$ au-delà de $F$. La hauteur issue de $E$ coupe ce prolongement en $H$, avec un angle droit. (1)
2. b)Les trois hauteurs (prolongées) se coupent en un même point, situé à l’extérieur du triangle : elles sont concourantes. (1)
3. c)$H$, $F$ et $G$ sont alignés : $EFH={180}^{\circ }-{120}^{\circ }={60}^{\circ }$. (1)
4. d)Le triangle $EFH$ est rectangle en $H$ : $FEH={90}^{\circ }-{60}^{\circ }={30}^{\circ }$. (1)

Piège — Angle obtus : le pied de la hauteur est sur le prolongement du côté, hors du segment.

1. a)$LI=15÷2=7,5$ cm. (1)
2. b)Aire de $KLM=15\times 4÷2=30$ cm². (1)
3. c)$(KI)$ est la médiane issue de $K$ : elle partage $KLM$ en deux triangles de même aire. Aire de $KLI=30÷2=15$ cm². (1)
4. d)Même hauteur issue de $K$ : $7,5\times 4÷2=15$ cm². C’est bien le même résultat. (1)

Méthode — Même base et même hauteur : même aire.

1. a)Faux : seulement si $AB=AC$ (triangle isocèle en $A$) ; sinon $A$ n’est pas à la même distance de $B$ et de $C$, donc il n’est pas sur la médiatrice de $[BC]$. (1)
2. b)Faux : seulement si le triangle est isocèle en $A$ ; sinon le pied de la hauteur n’est pas le milieu, et la hauteur est parallèle à la médiatrice de $[BC]$. (1)
3. c)Faux : si un angle est obtus, elles se coupent à l’extérieur ; dans un triangle rectangle, au sommet de l’angle droit. (1)
4. d)Faux : les deux triangles ont la même aire, mais pas forcément la même forme. (1)

Le point clé — Les trois droites ne se confondent que dans un triangle isocèle, pour la base.

1. a)Isocèle en $A$ : la hauteur issue de $A$ est aussi la médiane (et la médiatrice de $[BC]$), donc $H$ est le milieu de $[BC]$. $BH=12÷2=6$ m. (1)
2. b)Le triangle $ABH$ est rectangle en $H$ : $BAH={90}^{\circ }-{22}^{\circ }={68}^{\circ }$. Par symétrie, $BAC=2\times {68}^{\circ }={136}^{\circ }$ (vérification : $180-2\times 22=136$). (1)
3. c)Aire $\approx 12\times 2,4÷2=14,4$ m² (valeur approchée, car $AH$ est arrondie). (1)
4. d)Au milieu de $[AC]$ : c’est la médiane issue de $B$. Chaque partie a pour aire la moitié de celle du fronton : $14,4÷2\approx 7,2$ m². (1)

Méthode — Triangle isocèle : la hauteur issue du sommet principal est aussi médiane et médiatrice.