Angles & parallélisme

Complète.

1. Dans l’angle $PQR$, le sommet est le point
   La lettre du milieu est toujours le sommet : c’est $Q$, et les côtés sont $[QP)$ et $[QR)$.
2. Un angle de $162°$ est (aigu, droit, obtus ou plat)
   $162°$ est compris entre $90°$ et $180°$ : l’angle est obtus.
3. Un angle de $7°$ est (aigu, droit, obtus ou plat)
   $7°$ est compris entre $0°$ et $90°$ : l’angle est aigu, même s’il est tracé avec de longs côtés.
4. Un angle dont les deux côtés forment une droite mesure °
   C’est un angle plat : il mesure $180°$.
5. Un tour complet forme un angle plein de °
   Un angle plein mesure $360°$, deux angles plats.

Rapporteur et bissectrice : donne la mesure, en degrés.

1. Un angle aigu : au rapporteur, son second côté passe par les graduations $53$ et $127$. Il mesure °
   Un angle aigu mesure moins de $90°$ : c’est $53°$ ; $127$ se lit sur la mauvaise graduation ($180-53=127$).
2. Un angle obtus : son second côté passe par les graduations $31$ et $149$. Il mesure °
   Un angle obtus mesure plus de $90°$ : c’est $149°$, et non $31°$.
3. La bissectrice d’un angle de $158°$ le partage en deux angles de ° chacun
   $158÷2=79$ : deux angles de $79°$. Contrôle : $79+79=158$.
4. La bissectrice d’un angle de $83°$ le partage en deux angles de ° chacun
   $83÷2=41,5$ : deux angles de $41,5°$.
5. $[Oz)$ est la bissectrice de $xOy$ et $xOz=46°$. Donc $xOy=$ °
   $xOy$ est le double de $xOz$ : $2\times 46=92$, soit $92°$.

Complète par « parallèles » ou « perpendiculaires ».

1. $(m)⟂(p)$ et $(n)⟂(p)$ : $(m)$ et $(n)$ sont
   Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles : $(m)//(n)$.
2. $(f)//(g)$ et $(h)⟂(f)$ : $(h)$ et $(g)$ sont
   Si deux droites sont parallèles, une perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre : $(h)⟂(g)$.
3. $(e)//(k)$ et $(\ell )//(k)$ : $(e)$ et $(\ell )$ sont
   Deux droites parallèles à une même droite sont parallèles entre elles : $(e)//(\ell )$.
4. $(a)//(b)$, $(b)//(c)$ et $(c)⟂(q)$ : $(a)$ et $(q)$ sont
   D’abord $(a)//(c)$ (parallèles à une même droite, $(b)$) ; puis $(q)$, perpendiculaire à $(c)$, est perpendiculaire à sa parallèle $(a)$.
5. Deux droites perpendiculaires forment angles droits
   Elles forment quatre angles, tous droits : $4\times 90=360$.

Calcule la mesure demandée, en degrés.

1. Le complémentaire d’un angle de $29°$ mesure °
   $90-29=61$ : il mesure $61°$.
2. Le supplémentaire d’un angle de $29°$ mesure °
   $180-29=151$ : il mesure $151°$.
3. Le complémentaire d’un angle de $48°$ mesure °
   $90-48=42$ : il mesure $42°$.
4. Le supplémentaire d’un angle de $137°$ mesure °
   $180-137=43$ : il mesure $43°$.
5. Le supplémentaire d’un angle aigu est un angle (aigu ou obtus)
   L’angle mesure moins de $90°$ : son supplémentaire mesure donc plus de $180-90=90°$, il est obtus. Exemple : $180-29=151$.

Les droites (KL) et (MN) se coupent en P, et $KPM$ = 49°.

1. $LPN=$ °
   $LPN$ et $KPM$ sont opposés par le sommet : ils ont la même mesure, $49°$.
2. $MPL=$ °
   $MPL$ est adjacent à $KPM$ et forme avec lui l’angle plat $KPL$ : $180-49=131$, soit $131°$.
3. $KPN=$ °
   $KPN$ est opposé par le sommet à $MPL$ : $131°$.
4. La somme des quatre angles de sommet $P$ vaut °
   $49+131+49+131=360$ : les quatre angles forment un angle plein.
5. L’angle $MPL$ est (aigu, droit ou obtus)
   $131°$ est compris entre $90°$ et $180°$ : l’angle est obtus.

Calculs avec une inconnue : donne un nombre, en degrés.

1. Deux angles complémentaires mesurent $x$ et $4x$. $x=$ °
   $x+4x=5x$ et $5x=90$, donc $x=90÷5=18$. Les angles mesurent $18°$ et $72°$.
2. Deux angles supplémentaires mesurent $x$ et $x+30$. Le plus grand mesure °
   Sans l’écart de $30°$, il reste $180-30=150$ à partager en deux : $150÷2=75$. Le plus petit mesure $75°$, le plus grand $75+30=105°$. Contrôle : $75+105=180$.
3. Un angle mesure le tiers de son supplémentaire. Il mesure °
   Le supplémentaire vaut $3$ fois l’angle : ensemble, ils font $4$ fois l’angle, soit $180°$. L’angle mesure $180÷4=45°$ ; contrôle : son supplémentaire mesure $135°$ et $135÷3=45$.
4. Deux angles opposés par le sommet ont pour somme $164°$. Chacun mesure °
   Ils ont la même mesure : $164÷2=82$, soit $82°$.
5. Avec ces deux droites sécantes, chacun des deux autres angles mesure °
   Chacun est adjacent à un angle de $82°$ et forme avec lui un angle plat : $180-82=98$, soit $98°$.

Complète par un mot ou un nombre du cours.

1. Une droite qui coupe deux autres droites s’appelle une
   La sécante coupe les deux droites en deux points différents.
2. Une sécante forme avec deux droites angles
   Quatre angles à chacun des deux points d’intersection : $4+4=8$.
3. Deux angles situés entre les deux droites et de part et d’autre de la sécante sont
   « Internes » : entre les droites ; « alternes » : de part et d’autre de la sécante.
4. Deux angles situés du même côté de la sécante, l’un entre les deux droites et l’autre à l’extérieur, sont
   Ils sont à la même place aux deux points d’intersection.
5. Deux angles alternes-internes dessinent la lettre
   Les alternes-internes dessinent un Z ; les correspondants, un F (parfois retournés).

La sécante (RS) coupe les droites (MN) et (PQ) en I et J. Donne le nom, avec trois lettres, de l’angle demandé.

1. L’angle alterne-interne de $MIJ$ est
   $MIJ$ est entre les droites, à gauche de la sécante ; son alterne-interne est entre les droites, à droite, de sommet $J$ : $IJQ$.
2. L’angle alterne-interne de $NIJ$ est
   $NIJ$ est entre les droites, à droite de la sécante ; son alterne-interne est de l’autre côté, de sommet $J$ : $IJP$.
3. L’angle correspondant de $MIJ$ est
   Même place en $J$ : sous la droite $(PQ)$, à gauche de la sécante : $PJS$.
4. L’angle correspondant de $QJS$ est
   $QJS$ est sous $(PQ)$, à droite de la sécante ; à la même place en $I$ : $NIJ$.
5. L’angle opposé par le sommet à $MIJ$ est
   Même sommet $I$, côtés dans le prolongement : $[IM)$ prolonge $[IN)$ et $[IJ)$ prolonge $[IR)$, d’où $RIN$.

Les droites (TU) et (VW) ne sont pas forcément parallèles. Pour chaque paire, écris « alternes-internes », « correspondants », « opposés par le sommet » ou « aucun ».

1. $TKL$ et $KLW$ :
   Les deux sont entre les droites, de part et d’autre de la sécante (un Z) : ils sont alternes-internes.
2. $XKU$ et $KLW$ :
   Les deux sont au-dessus de leur droite, du même côté de la sécante : ils sont à la même place, correspondants.
3. $TKX$ et $UKL$ :
   Même sommet $K$, et leurs côtés sont dans le prolongement l’un de l’autre : ils sont opposés par le sommet.
4. $UKL$ et $WLY$ :
   Les deux sont sous leur droite, à la même place par rapport à la sécante : correspondants.
5. $TKL$ et $WLY$ :
   Ils ne sont pas du même côté de la sécante, et $WLY$ n’est pas entre les droites : aucun de ces noms ne convient.

Les droites (UV) et (XY) sont parallèles, coupées par la sécante (ST) en I et J, et $SIV$ = 104°.

1. $IJY=$ °
   $IJY$ et $SIV$ sont correspondants, et les droites sont parallèles : $IJY=104°$.
2. $UIJ=$ °
   $UIJ$ est opposé par le sommet à $SIV$ (c’est aussi l’alterne-interne de $IJY$) : $104°$.
3. $VIJ=$ °
   $VIJ$ est adjacent à $SIV$ et forme avec lui l’angle plat $SIJ$ : $180-104=76$, soit $76°$.
4. $IJX=$ °
   $IJX$ et $VIJ$ sont alternes-internes, entre deux parallèles : $76°$.
5. Parmi les huit angles de la figure, il y a mesures différentes
   Seulement deux : $104°$ et $76°$, qui sont supplémentaires.

Les droites (KL) et (NP) sont parallèles, coupées par la sécante (RS) en M et Q, et $KMR$ = 47°.

1. $KMR$ et $NQM$ sont des angles
   Les deux sont au-dessus de leur droite, à gauche de la sécante : à la même place, ils sont correspondants.
2. $NQM=$ °
   Entre deux parallèles, deux angles correspondants ont la même mesure : $NQM=KMR=47°$.
3. $LMQ=$ °
   $LMQ$ est opposé par le sommet à $KMR$ : $47°$.
4. $MQP=$ °
   $KMQ$ forme avec $KMR$ l’angle plat $RMQ$ : $180-47=133°$. Puis $MQP$ et $KMQ$ sont alternes-internes entre parallèles : $MQP=133°$.
5. $PQS=$ °
   $PQS$ et $LMQ$ sont correspondants (sous leur droite, à droite de la sécante) : $47°$.

Dans chaque question, les deux droites sont parallèles. Donne un nombre.

1. Deux angles alternes-internes mesurent $3x$ et $84°$. $x=$
   Ils ont la même mesure : $3x=84$, donc $x=84÷3=28$.
2. Deux angles correspondants mesurent $5x$ et $130°$. $x=$
   Ils ont la même mesure : $5x=130$, donc $x=130÷5=26$.
3. Deux angles alternes-internes ont pour somme $146°$. Chacun mesure °
   Ils ont la même mesure : $146÷2=73$, soit $73°$.
4. La sécante est perpendiculaire à l’une des deux droites. Elle forme avec l’autre droite un angle de °
   L’angle droit a un angle correspondant de même mesure sur l’autre droite : la sécante lui est aussi perpendiculaire, l’angle mesure $90°$.

Les deux droites sont-elles parallèles ? Réponds par « oui », « non » ou « on ne peut pas conclure ».

1. Deux angles alternes-internes mesurent $67°$ et $67°$.
   D’après la réciproque : des angles alternes-internes de même mesure prouvent que les droites sont parallèles.
2. Deux angles correspondants mesurent $80°$ et $85°$.
   Si les droites étaient parallèles, ces angles seraient égaux ; or $80\ne 85$ : elles ne le sont pas.
3. Deux angles opposés par le sommet mesurent $54°$ chacun.
   Deux angles opposés par le sommet sont toujours égaux, quelles que soient les droites : cela ne dit rien sur le parallélisme.
4. Deux angles alternes-internes mesurent $110°$ et $70°$.
   Ils devraient être égaux ; ici ils sont seulement supplémentaires ($110+70=180$) : les droites ne sont pas parallèles.
5. Deux angles correspondants sont droits tous les deux.
   Deux angles correspondants de même mesure ($90°$) : les droites sont parallèles. Ce sont deux droites perpendiculaires à la même sécante.

Complète la démonstration à l’aide de la figure.

1. On sait que $VMS=MNU=81°$. Ces deux angles sont
   Les deux sont au-dessus de leur droite, à droite de la sécante : ils sont correspondants.
2. Or, si deux droites coupées par une sécante forment des angles correspondants de même mesure, alors ces droites sont
   C’est la réciproque de la propriété des droites parallèles.
3. Donc la droite $(RS)$ est parallèle à la droite
   Les angles de sommet $N$ sont formés par la droite $(TU)$ : $(RS)//(TU)$.
4. La phrase qui commence par « Or » est la de la propriété des droites parallèles
   La propriété part des parallèles pour conclure sur les angles ; ici on part des angles pour conclure au parallélisme : c’est la réciproque.

La sécante (PQ) coupe les droites (KL) et (MN) en E et F. Trouve la mesure qu’il faut pour que les droites soient parallèles.

1. $KEF=119°$. Pour que $(KL)//(MN)$, il faut $EFN=$ °
   $KEF$ et $EFN$ sont alternes-internes : ils doivent avoir la même mesure, $119°$.
2. $PEL=121°$. Pour que $(KL)//(MN)$, il faut $EFN=$ °
   $PEL$ et $EFN$ sont correspondants (au-dessus de leur droite, à droite de la sécante) : il faut $121°$.
3. $LEF=64°$. Pour que $(KL)//(MN)$, il faut $EFN=$ °
   L’alterne-interne de $LEF$ est $MFE$ : il doit mesurer $64°$. Or $EFN$ forme avec $MFE$ l’angle plat $MFN$ : $180-64=116$, soit $116°$.