Les triangles

Complète avec un côté, un angle ou un mot. Pour une nature, donne la plus précise.

1. Dans le triangle $GRV$, le côté opposé au sommet $R$ est
   Le côté opposé à $R$ est celui qui ne passe pas par $R$ : $[GV]$.
2. Dans le triangle $GRV$, l’angle de sommet $V$ s’écrit avec les trois lettres
   La lettre du sommet $V$ est au milieu : $GVR$ (ou $RVG$).
3. Un triangle a ses trois côtés de $7,3$ cm : il est
   Trois côtés de même longueur : le triangle est équilatéral (il est aussi isocèle, mais « équilatéral » est plus précis).
4. $CMT$ a $CM=CT$ et un angle droit en $C$ : il est
   Un angle droit en $C$ et deux côtés égaux qui partent de $C$ : $CMT$ est rectangle isocèle en $C$.
5. Sur une figure, un petit carré est dessiné au sommet $Z$ du triangle $BKZ$ : le triangle est en $Z$
   Le petit carré code un angle droit : $BKZ$ est rectangle en $Z$.

Calcule. Donne un nombre.

1. $ALW$ est isocèle en $A$, avec $AL=6,6$ cm et $LW=4,4$ cm. Son périmètre vaut cm
   Isocèle en $A$ : $AW=AL=6,6$ cm. Périmètre : $6,6+6,6+4,4=17,6$ cm.
2. Un triangle équilatéral a un périmètre de $18,3$ cm. Chaque côté mesure cm
   Trois côtés égaux : $18,3÷3=6,1$ cm.
3. $DPS$ est isocèle en $S$, de périmètre $19$ cm, avec $SD=7,4$ cm. Sa base $[DP]$ mesure cm
   $SP=SD=7,4$ cm ; les deux font $2\times 7,4=14,8$ cm. Base : $19-14,8=4,2$ cm.
4. Sur la règle, le côté $[EG]$ va de la graduation $1,7$ à la graduation $9,6$. $EG=$ cm
   Le segment ne commence pas au $0$ : $9,6-1,7=7,9$ cm.

On prépare des constructions. Donne un nombre, une lettre ou un mot.

1. Pour construire $FJY$ avec $FJ=6,9$ cm, $FY=2,6$ cm et $JY=4,7$ cm, je trace $[FJ]$, puis un arc de centre $J$ et de rayon cm
   $Y$ est à $4,7$ cm de $J$ ($JY$) : l’arc de centre $J$ a pour rayon $4,7$ cm.
2. Dans cette construction, l’arc de rayon $2,6$ cm a pour centre le point
   $FY=2,6$ cm : $Y$ est à $2,6$ cm de $F$, l’arc est centré en $F$.
3. Pour construire $HQX$ rectangle en $Q$ avec $QH=7$ cm et $QX=2,7$ cm, je trace $[QH]$, puis la perpendiculaire à $(QH)$ passant par $Q$ avec l’
   L’angle droit en $Q$ se trace à l’équerre ; on place ensuite $X$ à $2,7$ cm de $Q$ sur cette perpendiculaire.
4. Pour construire $LOT$ isocèle en $O$, de base $LT=4$ cm et de côtés égaux $7,8$ cm, je trace $[LT]$ puis deux arcs de centres $L$ et $T$ de même rayon cm
   $O$ est à $7,8$ cm de $L$ et de $T$ : deux arcs de rayon $7,8$ cm.

Calcule la mesure du troisième angle du triangle. Donne un nombre.

1. Dans $ABC$ : $BAC=62°$ et $ABC=75°$. $ACB=$ °
   $62+75=137$ et $180-137=43$ : $ACB=43°$.
2. Dans $DEF$ : $EDF=90°$ et $DEF=37°$. $DFE=$ °
   $180-(90+37)=180-127=53°$.
3. Dans $LMN$ : $MLN=112°$ et $LMN=23°$. $LNM=$ °
   $180-(112+23)=180-135=45°$.
4. Dans $PQR$ : $QPR=47,5°$ et $PQR=81°$. $PRQ=$ °
   $47,5+81=128,5$ et $180-128,5=51,5°$.

Sur la figure, F est sur la demi-droite [BC), au-delà de C. Calcule les angles demandés, puis complète la démonstration du cours.

1. $ACB=$ °
   $ACB$ et $ACF$ forment un angle plat ($B$, $C$, $F$ alignés) : $ACB=180-117=63°$.
2. $ABC=$ °
   Somme des angles du triangle $ABC$ : $ABC=180-(71+63)=180-134=46°$.
3. Dans la démonstration du cours, $DAB$ et $ABC$ ont la même mesure car ce sont des angles
   La droite $(d)$ est parallèle à $(BC)$ et la sécante $(AB)$ forme avec elles deux angles alternes-internes : ils ont la même mesure.
4. Dans cette démonstration, $D$, $A$ et $E$ sont alignés : $DAB+BAC+CAE=$ °
   Les trois angles placés côte à côte en $A$ forment un angle plat : $180°$.

Pose une égalité avec la somme des angles, puis calcule. Donne un nombre.

1. Les angles d’un triangle mesurent $x$, $2x$ et $3x$. $x=$ °
   $x+2x+3x=6x=180$, donc $x=180÷6=30°$.
2. Dans ce triangle, le plus grand angle mesure °
   $3x=3\times 30=90°$ : le triangle est rectangle.
3. Dans un triangle, un angle mesure $55°$ et un autre mesure $4$ fois le troisième. Le plus petit angle mesure °
   Les deux autres angles ont pour somme $180-55=125$, soit $5$ fois le plus petit : $125÷5=25°$ (et $4\times 25=100°$). Contrôle : $25+100+55=180$.

Donne la nature du triangle : quelconque, isocèle, équilatéral, rectangle ou rectangle isocèle.

1. Angles de $90°$, $60°$ et $30°$ : triangle
   Un angle droit et trois angles différents : le triangle est rectangle (et n’a pas de côtés égaux).
2. Angles de $60°$, $60°$ et $60°$ : triangle
   Trois angles égaux, donc trois côtés égaux : le triangle est équilatéral.
3. Angles de $28°$, $76°$ et $76°$ : triangle
   Deux angles égaux : le triangle est isocèle ; son sommet principal est celui de l’angle de $28°$.
4. Angles de $85°$, $53°$ et $42°$ : triangle
   Aucun angle droit, aucun angle égal à un autre : le triangle est quelconque.
5. Angles de $45°$, $90°$ et $45°$ : triangle
   Un angle droit et deux angles égaux : le triangle est rectangle isocèle.

Calcule. Donne un nombre.

1. $ABC$ est isocèle en $A$ et $BAC=44°$. $ABC=$ °
   $(180-44)÷2=136÷2=68°$.
2. $DEF$ est isocèle en $D$ et $DEF=55°$. $EDF=$ °
   $DFE=DEF=55°$ ; $EDF=180-2\times 55=180-110=70°$.
3. $GHI$ est isocèle en $G$ et $HGI=90°$. $GHI=$ °
   $(180-90)÷2=45°$ : c’est un triangle rectangle isocèle.
4. $JKL$ est rectangle en $J$ et $JKL=38°$. $JLK=$ °
   Les angles aigus sont complémentaires : $90-38=52°$.
5. $TUV$ est isocèle en $T$ et $TUV=23°$. $UTV=$ °
   $TVU=TUV=23°$ ; $UTV=180-2\times 23=180-46=134°$ : l’angle principal peut être obtus.

ABC est un triangle équilatéral. Le point D est sur la demi-droite [BC), au-delà de C, avec CD = CA.

1. $ACD=$ °
   $ACB=60°$ (triangle équilatéral) ; $B$, $C$, $D$ alignés : $ACD=180-60=120°$.
2. $CAD=$ °
   $ACD$ est isocèle en $C$ ($CA=CD$) : $CAD=(180-120)÷2=30°$.
3. $BAD=$ °
   $BAD=BAC+CAD=60+30=90°$.
4. Le triangle $ABD$ est donc
   Il a un angle droit en $A$ : $ABD$ est rectangle en $A$. Contrôle : $ABD+ADB=60+30=90$.
5. Si $AB=4,5$ cm, alors $BD=$ cm
   $ABC$ est équilatéral : $BC=AB=4,5$ cm ; $CD=CA=4,5$ cm. $C$ est entre $B$ et $D$ : $BD=4,5+4,5=9$ cm.

Complète par : existe, est aplati (points alignés) ou est impossible.

1. Côtés de $5$ cm, $6$ cm et $8$ cm : le triangle
   $5+6=11$ et $8<11$ : le triangle existe.
2. Côtés de $3$ cm, $4$ cm et $9$ cm : le triangle
   $3+4=7$ et $9>7$ : le triangle est impossible.
3. Côtés de $3$ cm, $5$ cm et $8$ cm : le triangle
   $3+5=8$ exactement : les trois points sont alignés, le triangle est aplati.
4. Côtés de $7$ cm, $7$ cm et $13$ cm : le triangle
   $7+7=14$ et $13<14$ : le triangle existe, il est isocèle.

Deux côtés d’un triangle sont connus. Donne un nombre entier de centimètres.

1. Côtés de $7$ cm et $10$ cm : la plus grande longueur entière possible du troisième côté est cm
   Le troisième côté doit être strictement inférieur à $7+10=17$ cm : au plus $16$ cm.
2. Côtés de $7$ cm et $10$ cm : la plus petite longueur entière possible du troisième côté est cm
   Si le côté de $10$ cm est le plus grand, il faut $10<7+c$, donc $c>3$ : au moins $4$ cm. Avec $3$ cm, on aurait $7+3=10$ : points alignés.
3. Côtés de $5$ cm et $11$ cm : le troisième côté est strictement supérieur à cm
   Il doit dépasser $11-5=6$ cm (sinon $5+c\le 11$).
4. Côtés de $5$ cm et $11$ cm : le troisième côté est strictement inférieur à cm
   Il doit rester sous $5+11=16$ cm.

Réponds par une lettre ou par un nombre.

1. $AB=4,6$ cm, $BC=2,9$ cm et $AC=7,5$ cm. Le point situé sur le segment qui joint les deux autres est le point
   $AB+BC=4,6+2,9=7,5=AC$ : le point $B$ est sur le segment $[AC]$.
2. Un triangle isocèle a une base de $9$ cm. Ses côtés égaux mesurent un nombre entier de cm, au moins cm
   Le triangle existe si $9<c+c$, soit $2c>9$ : $c>4,5$, donc au moins $5$ cm.
3. Un triangle isocèle a deux côtés égaux de $4$ cm. Sa base mesure un nombre entier de cm, au plus cm
   Il faut base $<4+4=8$ cm : au plus $7$ cm.

On construit le triangle KLM tel que KL = 6,5 cm, KM = 4,5 cm et LM = 3,5 cm.

1. Pour vérifier l’inégalité triangulaire, la somme des deux plus petits côtés vaut cm
   $4,5+3,5=8$ et $6,5<8$ : le triangle existe.
2. Je trace $[KL]$, puis un arc de centre $K$ et de rayon cm
   $M$ est à $4,5$ cm de $K$ : l’arc de centre $K$ a pour rayon $KM=4,5$ cm.
3. Puis un arc de centre $L$ et de rayon cm
   $M$ est à $3,5$ cm de $L$ : rayon $LM=3,5$ cm.
4. Le point $M$ est le point d’ des deux arcs
   Le point $M$ est sur les deux arcs : c’est leur point d’intersection (on en choisit un des deux).

Trouve l’angle à tracer ou le sommet où le tracer.

1. Pour construire $PQR$ avec $PQ=6$ cm, $QPR=47°$ et $PRQ=78°$, je trace en $Q$ un angle de °
   L’angle en $R$ n’est pas au bout de $[PQ]$ : $PQR=180-(47+78)=180-125=55°$.
2. Pour construire $DEF$ avec $DE=5$ cm, $DF=3$ cm et l’angle compris entre ces côtés, je trace l’angle au sommet
   Les côtés $[DE]$ et $[DF]$ ont pour sommet commun $D$ : l’angle compris est $EDF$.
3. Avec $ST=4$ cm, $TSU=102°$ et $STU=84°$, la somme des deux angles vaut °
   $102+84=186>180$ : les deux demi-droites ne se coupent pas, ce triangle est impossible.

Constructions de triangles particuliers. Donne un nombre ou un mot.

1. $IJK$ est isocèle en $I$, de base $JK=5,4$ cm et d’angle principal $48°$. En $J$ et en $K$, je trace des angles de °
   $(180-48)÷2=132÷2=66°$.
2. Pour un triangle équilatéral de côté $4,3$ cm, après avoir tracé un côté, les deux arcs ont pour rayon cm
   Les trois côtés sont égaux : les deux arcs ont pour rayon $4,3$ cm.
3. $GHV$ est rectangle en $G$, avec $GH=4$ cm et $GHV=24°$. L’angle $GVH$ mesure °
   On trace $[GH]$, l’angle droit en $G$ et l’angle de $24°$ en $H$. Angles aigus complémentaires : $90-24=66°$.
4. Avec seulement trois angles de $45°$, $62°$ et $73°$, on peut construire combien de triangles ?
   $45+62+73=180$ : ces triangles existent, mais rien ne fixe leur taille. On en obtient une infinité, de même forme.