Les triangles

1. a)Le côté opposé à $L$ ne passe pas par $L$ : c’est $[KP]$. L’angle de sommet $P$ s’écrit $KPL$ (ou $LPK$), avec $P$ au milieu. (1)
2. b)$FG=FH$ : $FGH$ est isocèle en $F$ ; $F$ est le sommet principal et $[GH]$ la base. Périmètre : $5,7+5,7+4,6=16$ cm. (1)
3. c)$[BD]$ de $6,8$ cm ; arc de centre $B$ et de rayon $4,5$ cm ($BW$) ; arc de centre $D$ et de rayon $3,7$ cm ($DW$) ; $W$ est à l’intersection des arcs, on trace $[BW]$ et $[DW]$. (1)
4. d)$[NJ]$ de $5,9$ cm ; à l’équerre, la perpendiculaire à $(NJ)$ passant par $N$ ; $S$ sur cette droite à $3,2$ cm de $N$ ; on trace $[JS]$. L’angle droit se trace à l’équerre. (1)

Méthode — Le compas reporte une longueur depuis un point, l’équerre trace l’angle droit ; la nature se lit sur le codage ou sur les longueurs.

1. a)$ACB={180}^{\circ }-({47}^{\circ }+{68}^{\circ })={180}^{\circ }-{115}^{\circ }={65}^{\circ }$. (1)
2. b)Angles aigus complémentaires : $DFE={90}^{\circ }-23,5^{\circ }=66,5^{\circ }$. (1)
3. c)$x+x+2,5x=4,5x=180$, donc $x=180÷4,5={40}^{\circ }$ (les angles : ${40}^{\circ }$, ${40}^{\circ }$, ${100}^{\circ }$). (1)
4. d)$95+48+38=181\ne 180$ : ce triangle n’existe pas. (1)

Repère — On retire de $180°$ la somme des angles connus, puis on contrôle.

1. a)Un angle droit et deux angles égaux : triangle rectangle isocèle. (1)
2. b)${180}^{\circ }-2\times {38}^{\circ }={180}^{\circ }-{76}^{\circ }={104}^{\circ }$. (1)
3. c)Les angles à la base d’un triangle isocèle sont égaux : $ABC=ACB=({180}^{\circ }-{108}^{\circ })÷2={36}^{\circ }$. (1)
4. d)$(27-7)÷2=10$ cm chacun. (1)

Méthode — Isocèle : deux angles à la base égaux, deux côtés égaux qui partent du sommet principal.

1. a)$6+7,5=13,5$ et $13<13,5$ : le triangle existe. (1)
2. b)$4+9=13$ : cas d’égalité, les points sont alignés, pas de vrai triangle. (1)
3. c)$11+11=22$ et $21<22$ : le triangle existe, il est isocèle. (1)
4. d)Strictement entre $11-6=5$ cm et $11+6=17$ cm. (1)

Piège — L’égalité ne donne pas un triangle : les trois points sont alignés.

1. a)$[MN]$ de $6$ cm ; au rapporteur, un angle de ${56}^{\circ }$ en $M$ et un angle de ${62}^{\circ }$ en $N$ ; $P$ est l’intersection des deux demi-droites. (1)
2. b)$MPN={180}^{\circ }-({56}^{\circ }+{62}^{\circ })={62}^{\circ }$ : $MNP=MPN$, le triangle est isocèle en $M$ ($MN=MP$). (1)
3. c)$[RS]$ de $4,5$ cm ; angle de ${110}^{\circ }$ en $R$ ; $T$ sur ce côté de l’angle à $3$ cm de $R$ ; on trace $[ST]$. (1)
4. d)Non : $35+65+80=180$, ces triangles existent, mais aucune longueur ne fixe leur taille ; on en construit une infinité, de même forme. Il faut au moins une longueur. (1)

Méthode — Deux longueurs et un angle : l’angle au sommet commun ; une longueur et deux angles : aux deux bouts du côté ; trois angles seuls ne fixent pas la taille.