Angles & parallélisme

Rappels de 6e (nommer, classer, mesurer et construire un angle, bissectrice ; droites perpendiculaires et parallèles et leurs propriétés) ; angles adjacents, complémentaires, supplémentaires et opposés par le sommet ; angles alternes-internes et correspondants formés par une sécante ; calculer un angle avec des droites parallèles et démontrer que deux droites sont parallèles.

À propos de cette page

Six problèmes corrigés sur les angles : les barres croisées d’un panneau et leur bissectrice, deux rues parallèles coupées par une avenue, une figure avec deux parallèles et une sécante, des rampes d’escalier, trois droites coupées par une même sécante et la démonstration de la somme des angles d’un triangle.

6 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je fais une figure à main levée : les droites, la sécante, les points nommés et les angles connus.
Je repère les paires : opposés par le sommet, adjacents sur une droite, alternes-internes (un Z), correspondants (un F) ; et les angles droits codés (droites perpendiculaires).
Je regarde ce que dit l’énoncé : des droites parallèles → je calcule un angle (propriété) ; deux angles égaux → je démontre un parallélisme (réciproque).
Je rédige : on sait que… ; or… ; donc… ; et je réponds par une phrase, avec l’unité (°).

Problème 1 · Les barres croisées d’un panneau★★★Facile

Un panneau est soutenu par deux barres droites qui se croisent. Au point de croisement, l’un des quatre angles mesure 42°.

1. Combien mesure l’angle opposé par le sommet ? °
Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure : $42 °$ .
2. Combien mesure chacun des deux autres angles ? °
Chacun forme un angle plat avec l’angle de $42 °$ : $180 - 42 = 138$ , soit $138 °$ .
3. Ces deux autres angles sont-ils aigus ou obtus ?
$138 °$ est compris entre $90 °$ et $180 °$ : ils sont obtus.
4. On ajoute une troisième barre selon la bissectrice de l’angle de $42 °$ . Combien mesure chacun des deux angles qu’elle forme avec les deux autres barres ? °
La bissectrice partage l’angle de $42 °$ en deux angles de même mesure : $42 \div 2 = 21$ , soit $21 °$ .

Problème 2 · Deux rues parallèles et une avenue★★★Facile

Sur un plan, deux rues parallèles sont traversées par une avenue. L’angle entre la première rue et l’avenue mesure 57°.

1. Combien mesure l’angle correspondant entre la seconde rue et l’avenue ? °
Les rues sont parallèles : deux angles correspondants ont la même mesure, $57 °$ .
2. Combien mesure un angle adjacent à l’angle de $57 °$ (même sommet, de l’autre côté de l’avenue) ? °
Ils forment un angle plat : $180 - 57 = 123$ , soit $123 °$ .
3. Combien mesure l’angle alterne-interne de l’angle de $57 °$ ? °
Entre deux parallèles, deux angles alternes-internes ont la même mesure : $57 °$ .
4. Une troisième rue coupe l’avenue en formant, à la même place, un angle de $52 °$ . Est-elle parallèle aux deux premières ? (oui ou non)
Si elle l’était, l’angle correspondant mesurerait $57 °$ ; or $52 \neq 57$ : elle n’est pas parallèle aux deux autres rues.

Problème 3 · Deux parallèles et une sécante★★★Moyen

Les droites (AB) et (CD) sont parallèles, coupées par la sécante (GH) en E et F, et

G E B

= 128°.

1. Combien mesure $E F D$ ? °
$E F D$ et $G E B$ sont correspondants, entre deux parallèles : $128 °$ .
2. Combien mesure $B E F$ ? °
$B E F$ forme avec $G E B$ l’angle plat $G E F$ : $180 - 128 = 52$ , soit $52 °$ .
3. Combien mesure $C F E$ ? °
$C F E$ et $B E F$ sont alternes-internes, entre deux parallèles : $52 °$ .
4. Pour justifier la mesure de $E F D$ , on cite la propriété des angles
On sait que $(A B) / / (C D)$ . Or si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, les angles correspondants ont la même mesure. Donc $E F D = G E B = 128 °$ .

Problème 4 · Les rampes d’escalier★★★Moyen

Sur des plans d’escaliers, on veut deux rampes parallèles. Une barre transversale coupe les deux rampes.

1. Sur un premier escalier, la barre forme un angle de $35 °$ avec la première rampe. Combien doit mesurer l’angle alterne-interne avec la seconde rampe pour que les rampes soient parallèles ? °
D’après la réciproque, deux angles alternes-internes de même mesure rendent les rampes parallèles : il faut $35 °$ .
2. Sur un deuxième escalier, les rampes sont parallèles et la barre forme un angle de $41 °$ avec la première rampe. Combien mesure l’angle correspondant avec la seconde rampe ? °
Entre deux parallèles, deux angles correspondants ont la même mesure : $41 °$ .
3. Sur un troisième escalier, les angles alternes-internes mesurent $35 °$ et $38 °$ , alors que les rampes ont l’air parallèles sur le dessin. Le sont-elles ? (oui ou non)
Il faudrait des angles alternes-internes égaux ; or $35 \neq 38$ . Une figure, même soignée, ne prouve rien.
4. De combien de degrés faut-il faire pivoter la seconde rampe de ce troisième escalier pour la rendre parallèle à la première ? °
Il faut des angles alternes-internes égaux : $38 - 35 = 3$ , soit $3 °$ .

Problème 5 · Trois droites et une sécante★★★Difficile

Trois droites (d₁), (d₂) et (d₃) sont coupées par une même sécante. Les angles correspondants qu’elles forment avec la sécante mesurent respectivement 74°, 74° et 106°.

1. Quelle droite est parallèle à $(d_{1})$ ?
Les angles correspondants de $(d_{1})$ et $(d_{2})$ ont la même mesure, $74 °$ : d’après la réciproque, $(d_{1}) / / (d_{2})$ .
2. Un élève remarque que $74 + 106 = 180$ . Les angles de $74 °$ et $106 °$ sont-ils complémentaires, supplémentaires ou égaux ?
Leur somme vaut $180 °$ : ils sont supplémentaires. Mais pour conclure au parallélisme, il faut des angles correspondants égaux, pas supplémentaires.
3. Combien devrait mesurer l’angle correspondant formé par $(d_{3})$ pour que $(d_{3})$ soit parallèle à $(d_{1})$ ? °
Il faut des angles correspondants égaux : $74 °$ . Avec $106 °$ , $(d_{3})$ n’est pas parallèle à $(d_{1})$ .
4. Une quatrième droite $(d_{4})$ est parallèle à $(d_{2})$ . Les droites $(d_{4})$ et $(d_{1})$ sont (parallèles ou sécantes)
$(d_{1})$ et $(d_{4})$ sont toutes deux parallèles à $(d_{2})$ . Or deux droites parallèles à une même droite sont parallèles entre elles. Donc $(d_{4}) / / (d_{1})$ .

Problème 6 · La somme des angles d’un triangle : une démonstration★★★Difficile

RST est un triangle. On trace la droite (uv) parallèle à (ST) passant par R, avec u du côté de S et v du côté de T.

1. Pour la sécante $(R S)$ , les angles $u R S$ et $R S T$ sont des angles
Ils sont entre les droites $(u v)$ et $(S T)$ , de part et d’autre de la sécante $(R S)$ : ils sont alternes-internes.
2. Comme $(u v) / / (S T)$ , $u R S = R S T$ . De même, $v R T$ a la même mesure que l’angle du triangle
Pour la sécante $(R T)$ , $v R T$ et $R T S$ sont alternes-internes, entre deux parallèles : $v R T = R T S$ .
3. Les angles $u R S$ , $S R T$ et $T R v$ forment ensemble un angle
Les points $u$ , $R$ et $v$ sont alignés : les trois angles forment l’angle plat $u R v$ .
4. Donc $R S T + S R T + R T S =$ °
On remplace $u R S$ par $R S T$ et $v R T$ par $R T S$ : la somme des trois angles du triangle vaut $180 °$ , comme l’angle plat.

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