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Mathématiques 5ᵉ

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Triangles : médiatrices, hauteurs et médianes

Rappels de 6e (milieu, médiatrice et sa construction au compas, cercle circonscrit et position de son centre), puis les médiatrices dans les triangles isocèle et équilatéral ; définir et tracer les hauteurs d’un triangle (concourantes) et ses médianes (une médiane partage le triangle en deux triangles de même aire) ; reconnaître ces droites remarquables.

À propos de cette page
Un QCM sur les médiatrices, hauteurs et médianes en trois niveaux de douze questions : milieu et médiatrice, construction au compas, cercle circonscrit et position de son centre, pied de la hauteur dans un triangle obtus, aires partagées, triangles isocèles et équilatéraux. Chaque réponse est expliquée.

Les 36 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile ★ — 12 questions

  1. La médiatrice d’un segment est la droite…

    • A. perpendiculaire au segment en son milieu
    • B. parallèle au segment, à 1 cm de lui
    • C. qui passe par une extrémité du segment
    • D. qui coupe le segment en trois parts
    Réponse

    A. perpendiculaire au segment en son milieu — C’est la définition : perpendiculaire au segment, en son milieu.

  2. Un point M vérifie MA = MB. Alors M est forcément…

    • A. le milieu de [AB]
    • B. sur la médiatrice de [AB]
    • C. sur le segment [AB]
    • D. sur le cercle de diamètre [AB]
    Réponse

    B. sur la médiatrice de [AB] — M est à la même distance de A et de B : il est sur la médiatrice de [AB]. Ce n’est le milieu que s’il est aussi sur le segment [AB].

  3. Les trois médiatrices d’un triangle se coupent au centre…

    • A. du plus grand côté
    • B. de la base du triangle
    • C. du cercle circonscrit
    • D. du plus petit côté
    Réponse

    C. du cercle circonscrit — Leur point de concours est à la même distance des trois sommets.

  4. Une hauteur d’un triangle part…

    • A. du milieu d’un côté
    • B. d’un point quelconque
    • C. du centre du cercle
    • D. d’un sommet
    Réponse

    D. d’un sommet — Elle part d’un sommet et est perpendiculaire au côté opposé.

  5. Combien de hauteurs possède un triangle ?

    • A. une seule
    • B. deux
    • C. trois
    • D. quatre
    Réponse

    C. trois — Une hauteur issue de chacun des trois sommets.

  6. Dans le triangle ABC, la médiane issue de A passe par A et par…

    • A. le milieu de [BC]
    • B. le milieu de [AB]
    • C. le milieu de [AC]
    • D. le sommet B
    Réponse

    A. le milieu de [BC] — Elle joint le sommet au milieu du côté opposé.

  7. Pour construire au compas la médiatrice de [AB], on trace deux arcs de même rayon centrés…

    • A. au milieu de [AB]
    • B. en A, puis en B
    • C. en A seulement
    • D. en B seulement
    Réponse

    B. en A, puis en B — Les deux points où se coupent les arcs sont à la même distance de A et de B : ils sont sur la médiatrice, qui est la droite qui les joint.

  8. Dans un triangle isocèle en A, la médiatrice de [BC] passe par…

    • A. le sommet B
    • B. le milieu de [AB]
    • C. le milieu de [AC]
    • D. le sommet A
    Réponse

    D. le sommet A — AB = AC : A est à la même distance de B et de C, donc sur la médiatrice de [BC].

  9. Dans le triangle ABC, I est le milieu de [BC]. La droite (AI) est…

    • A. la hauteur issue de A
    • B. la médiatrice de [BC]
    • C. la médiane issue de A
    • D. la médiane issue de B
    Réponse

    C. la médiane issue de A — Elle passe par le sommet A et par le milieu du côté opposé.

  10. Le centre du cercle circonscrit à un triangle est à la même distance…

    • A. des trois sommets
    • B. des trois côtés
    • C. de deux sommets seulement
    • D. des trois milieux
    Réponse

    A. des trois sommets — OA = OB = OC : c’est le rayon du cercle.

  11. Les trois hauteurs d’un triangle…

    • A. sont parallèles entre elles
    • B. passent par les milieux
    • C. sont toujours dans le triangle
    • D. se coupent en un même point
    Réponse

    D. se coupent en un même point — Elles sont concourantes, parfois à l’extérieur du triangle (angle obtus).

  12. La médiane issue de A partage le triangle ABC en deux triangles…

    • A. superposables
    • B. de même aire
    • C. rectangles
    • D. de même périmètre
    Réponse

    B. de même aire — Même base et même hauteur, donc même aire ; pas forcément la même forme.

Niveau moyen ★★ — 12 questions

  1. Le cercle circonscrit au triangle RST a pour diamètre 17 cm. La distance de son centre au sommet T est…

    • A. 8,5 cm
    • B. 17 cm
    • C. 34 cm
    • D. 5,7 cm
    Réponse

    A. 8,5 cm — Le centre est à la même distance des trois sommets : le rayon, 17 ÷ 2 = 8,5 cm.

  2. O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC et l’angle BOC mesure 96°. L’angle OBC mesure…

    • A. 84°
    • B. 42°
    • C. 48°
    • D. 96°
    Réponse

    B. 42° — OB = OC : le triangle OBC est isocèle en O ; (180 − 96) ÷ 2 = 42.

  3. Dans le triangle KLM, la hauteur relative au côté [KL] part du sommet…

    • A. K
    • B. L
    • C. M
    • D. O
    Réponse

    C. M — Elle part du sommet qui ne touche pas [KL].

  4. Dans un triangle ABC rectangle en A, la hauteur issue de B est…

    • A. la droite (BC)
    • B. la droite (AC)
    • C. la droite (BI)
    • D. la droite (AB)
    Réponse

    D. la droite (AB) — (AB) passe par B et est perpendiculaire à (AC).

  5. Dans le triangle ABC, l’angle ABC est obtus. Le pied de la hauteur issue de A est…

    • A. sur le prolongement de [BC]
    • B. au milieu du segment [BC]
    • C. sur le segment [BC], près de C
    • D. exactement au sommet B
    Réponse

    A. sur le prolongement de [BC] — L’angle en B est obtus : la hauteur issue de A tombe en dehors du segment [BC].

  6. Dans le triangle DEF, EF = 13 cm. La médiane issue de D coupe [EF] à une distance de E égale à…

    • A. 13 cm
    • B. 4,5 cm
    • C. 6,5 cm
    • D. 3,25 cm
    Réponse

    C. 6,5 cm — Elle passe par le milieu de [EF] : 13 ÷ 2 = 6,5 cm.

  7. Un triangle a une aire de 50 cm². Une de ses médianes le partage en deux triangles d’aire…

    • A. 50 cm² chacun
    • B. 25 cm² chacun
    • C. 100 cm² chacun
    • D. 12,5 cm² chacun
    Réponse

    B. 25 cm² chacun — Une médiane partage l’aire en deux : 50 ÷ 2 = 25.

  8. La droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé est…

    • A. une médiane
    • B. une médiatrice
    • C. une diagonale
    • D. une hauteur
    Réponse

    D. une hauteur — Sommet + angle droit : hauteur.

  9. La droite qui passe par le milieu d’un côté et qui lui est perpendiculaire est…

    • A. une médiatrice
    • B. une hauteur
    • C. une médiane
    • D. un rayon
    Réponse

    A. une médiatrice — Milieu + angle droit : médiatrice.

  10. Dans un triangle équilatéral ABC, la médiatrice de [AB] passe par…

    • A. le sommet A
    • B. le milieu de [BC]
    • C. le sommet C
    • D. aucun sommet
    Réponse

    C. le sommet C — CA = CB : C est sur la médiatrice de [AB].

  11. Dans un triangle isocèle en A, la hauteur issue de A est aussi…

    • A. la médiane issue de B
    • B. la hauteur issue de B
    • C. la médiatrice de [AB]
    • D. la médiane issue de A
    Réponse

    D. la médiane issue de A — Pour la base [BC], médiatrice, hauteur et médiane issues de A sont la même droite.

  12. H est le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC, et l’angle ACH mesure 35°. L’angle CAH mesure…

    • A. 35°
    • B. 55°
    • C. 145°
    • D. 45°
    Réponse

    B. 55° — Le triangle ACH est rectangle en H : 90 − 35 = 55.

Niveau difficile ★★★ — 12 questions

  1. Une hauteur d’un triangle peut-elle être à l’extérieur du triangle ?

    • A. oui, si un angle est obtus
    • B. non, jamais
    • C. seulement s’il est isocèle
    • D. oui, s’il est équilatéral
    Réponse

    A. oui, si un angle est obtus — Le pied de la hauteur est alors sur le prolongement du côté opposé.

  2. Le triangle ABC est rectangle en A et BC = 19 cm. Le rayon de son cercle circonscrit mesure…

    • A. 19 cm
    • B. 38 cm
    • C. 9,5 cm
    • D. on ne peut pas le savoir
    Réponse

    C. 9,5 cm — Le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle est le milieu du plus grand côté, [BC] : le rayon vaut 19 ÷ 2 = 9,5 cm.

  3. Dans un triangle rectangle, les trois hauteurs se coupent…

    • A. au milieu de l’hypoténuse
    • B. au sommet de l’angle droit
    • C. à l’extérieur du triangle
    • D. au milieu d’un petit côté
    Réponse

    B. au sommet de l’angle droit — Les côtés de l’angle droit sont deux des hauteurs.

  4. Dans un triangle ABC qui n’est pas isocèle en A, la hauteur issue de A et la médiatrice de [BC] sont…

    • A. perpendiculaires
    • B. confondues
    • C. sécantes en A
    • D. parallèles
    Réponse

    D. parallèles — Elles sont toutes deux perpendiculaires à (BC), sans être la même droite.

  5. I est le milieu de [BC] et J le milieu de [AI]. Le triangle ABC a une aire de 48 cm². Le triangle ABJ a une aire de…

    • A. 12 cm²
    • B. 24 cm²
    • C. 16 cm²
    • D. 6 cm²
    Réponse

    A. 12 cm² — Aire de ABI : 48 ÷ 2 = 24 ; (BJ) est une médiane de ABI : 24 ÷ 2 = 12.

  6. Dans un triangle équilatéral, combien de droites distinctes forment ses 3 médiatrices, ses 3 hauteurs et ses 3 médianes ?

    • A. 9
    • B. 6
    • C. 3
    • D. 1
    Réponse

    C. 3 — Pour chaque côté, médiatrice, hauteur et médiane sont la même droite : 3 droites en tout.

  7. O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC et l’angle OAB mesure 25°. L’angle AOB mesure…

    • A. 50°
    • B. 130°
    • C. 65°
    • D. 155°
    Réponse

    B. 130° — OA = OB : l’angle OBA mesure aussi 25° ; 180 − 2 × 25 = 130.

  8. Un triangle a un angle de 120°. Le centre du cercle circonscrit à ce triangle se trouve…

    • A. à l’intérieur du triangle
    • B. au milieu d’un côté
    • C. au sommet de l’angle obtus
    • D. à l’extérieur du triangle
    Réponse

    D. à l’extérieur du triangle — Un angle obtus : le centre est à l’extérieur.

  9. I est le milieu de [BC]. Pourquoi les triangles ABI et AIC ont-ils la même aire ?

    • A. bases égales et même hauteur
    • B. angles deux à deux égaux
    • C. côtés deux à deux égaux
    • D. même périmètre, même sommet
    Réponse

    A. bases égales et même hauteur — BI = IC et la hauteur issue de A est commune : base × hauteur ÷ 2 donne la même aire.

  10. Dans le triangle ABC, la médiane issue de A est perpendiculaire à (BC). Le triangle ABC est…

    • A. rectangle en A
    • B. isocèle en B
    • C. isocèle en A
    • D. forcément équilatéral
    Réponse

    C. isocèle en A — Elle passe par le milieu de [BC] et lui est perpendiculaire : c’est la médiatrice de [BC]. A est dessus, donc AB = AC.

  11. Dans le triangle BCD, l’angle en C est obtus. Pour combien de ses trois hauteurs faut-il prolonger un côté afin d’en placer le pied ?

    • A. aucune
    • B. une seule
    • C. les trois
    • D. deux
    Réponse

    D. deux — Les hauteurs issues de B et de D tombent sur les prolongements de [CD] et de [BC] ; seule celle issue de C, le sommet de l’angle obtus, coupe le côté opposé [BD].

  12. Pour vérifier qu’un point O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC, il suffit de vérifier que…

    • A. O est dans le triangle
    • B. OA = OB = OC
    • C. OA = OB
    • D. O est sur une hauteur
    Réponse

    B. OA = OB = OC — Il faut l’égalité des trois distances ; OA = OB seul place O sur une seule médiatrice.

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