Triangles : médiatrices, hauteurs et médianes

Complète avec un mot ou un nombre.

1. La médiatrice d’un segment est perpendiculaire à ce segment et passe par son
   C’est la définition de la médiatrice : perpendiculaire au segment, en son milieu.
2. $AB=11,8$ cm et $I$ est le milieu de $[AB]$ : $AI=$ cm
   $I$ est sur $[AB]$ et à la même distance de $A$ et de $B$ : $AI=11,8÷2=5,9$ cm.
3. Le point $M$ est sur la médiatrice de $[UV]$ et $MU=5,3$ cm. Alors $MV=$ cm
   Un point de la médiatrice de $[UV]$ est à la même distance de $U$ et de $V$ : $MV=MU=5,3$ cm.
4. Les trois médiatrices d’un triangle se coupent au centre du cercle
   Leur point de concours est à la même distance des trois sommets : c’est le centre du cercle circonscrit.
5. Pour placer le centre du cercle circonscrit, il suffit de tracer médiatrices
   Deux médiatrices se coupent en $O$ ; la troisième passe forcément par $O$.

O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Le diamètre de ce cercle mesure 9,8 cm.

1. $OA=$ cm
   $OA$ est un rayon : la moitié du diamètre, $9,8÷2=4,9$ cm.
2. $OA+OB+OC=$ cm
   $OA=OB=OC=4,9$ cm : $3\times 4,9=14,7$ cm.
3. Le triangle $OBC$ est isocèle en
   $OB=OC$ : les deux côtés égaux partent de $O$, le triangle $OBC$ est isocèle en $O$.
4. On mesure $BOC=136°$. Alors $OBC=$ °
   Les angles à la base du triangle isocèle $OBC$ sont égaux : $(180-136)÷2=22$, soit $22°$.

Position du centre et construction. Réponds par un mot ou un nombre.

1. Le triangle $LMN$ a un angle de $112°$ : le centre de son cercle circonscrit est à l’ du triangle
   Un angle de $112°$ est obtus : le centre du cercle circonscrit est à l’extérieur du triangle.
2. Un triangle a des angles de $54°$, $59°$ et $67°$ : le centre de son cercle circonscrit est à l’ du triangle
   Les trois angles sont aigus (moins de $90°$) : le centre du cercle circonscrit est à l’intérieur du triangle.
3. $PQR$ est rectangle en $P$ et $QR=8,6$ cm. Le centre de son cercle circonscrit est le milieu de $[QR]$ ; le rayon mesure cm
   Le rayon est la distance du centre (milieu de $[QR]$) au point $Q$ : $8,6÷2=4,3$ cm.
4. Deux arcs de même rayon, centrés en $A$ et en $B$, se coupent en $E$ et $F$. La droite $(EF)$ est la de $[AB]$
   $EA=EB$ et $FA=FB$ : $E$ et $F$ sont tous deux sur la médiatrice de $[AB]$. Deux points suffisent pour fixer une droite : $(EF)$ est la médiatrice de $[AB]$.

Réponds par une lettre ou un mot.

1. $DEF$ est isocèle en $D$. La médiatrice de $[EF]$ passe par le sommet
   $DE=DF$ : $D$ est à la même distance de $E$ et de $F$, donc il est sur la médiatrice de $[EF]$.
2. $GHK$ est équilatéral. La médiatrice de $[GH]$ passe par le sommet
   $KG=KH$ : $K$ est sur la médiatrice de $[GH]$, comme chaque sommet d’un triangle équilatéral est sur la médiatrice du côté opposé.
3. Le point $T$ est sur la médiatrice de $[UV]$ : le triangle $TUV$ est isocèle en
   $T$ est sur la médiatrice de $[UV]$ : $TU=TV$. Les deux côtés égaux partent de $T$ : le triangle est isocèle en $T$.
4. Dans un triangle isocèle, la médiatrice de la base est l’axe de du triangle
   Le sommet principal est sur la médiatrice de la base : en pliant le long de cette droite, les deux moitiés du triangle se superposent. C’est son axe de symétrie.

Le point K est sur la médiatrice de [LM], avec KL = 4,7 cm et LM = 3,6 cm.

1. $KM=$ cm
   $K$ est sur la médiatrice de $[LM]$, donc à la même distance de $L$ et de $M$ : $KM=KL=4,7$ cm.
2. Périmètre du triangle $KLM$ : cm
   Le triangle $KLM$ est isocèle en $K$ : $4,7+4,7+3,6=13$ cm.
3. $O$ est le centre du cercle circonscrit à $KLM$. La droite $(KO)$ coupe $[LM]$ en $I$ : $LI=$ cm
   $K$ et $O$ sont tous deux sur la médiatrice de $[LM]$ ($KL=KM$ et $OL=OM$) : $(KO)$ est cette médiatrice, elle coupe $[LM]$ en son milieu. $LI=3,6÷2=1,8$ cm.

Les points A et D sont de part et d’autre de la droite (BC), avec AB = AC = 6,8 cm, DB = DC = 3,4 cm et BC = 5,2 cm. La droite (AD) coupe [BC] en I.

1. La droite $(AD)$ est la de $[BC]$
   $AB=AC$ : $A$ est sur la médiatrice de $[BC]$ ; $DB=DC$ : $D$ aussi. Deux points suffisent pour fixer une droite : $(AD)$ est la médiatrice de $[BC]$.
2. $AIB=$ °
   $(AD)$ est la médiatrice de $[BC]$ : elle est perpendiculaire à $[BC]$, donc $AIB=90°$.
3. $BI=$ cm
   La médiatrice de $[BC]$ passe par son milieu : $I$ est le milieu de $[BC]$, $BI=5,2÷2=2,6$ cm.
4. Périmètre du quadrilatère $ABDC$ : cm
   $AB+BD+DC+CA=6,8+3,4+3,4+6,8=20,4$ cm.

Complète avec un mot, une lettre ou un nombre.

1. La hauteur issue de $A$ dans le triangle $ABC$ passe par $A$ et est à $(BC)$
   C’est la définition : elle passe par le sommet et est perpendiculaire au côté opposé.
2. Un triangle possède hauteurs
   Une hauteur par sommet : trois hauteurs.
3. Dans le triangle $RST$, la hauteur relative au côté $[RS]$ part du sommet
   Elle part du sommet qui ne touche pas $[RS]$ : $T$.
4. Le point où la hauteur issue de $A$ coupe $(BC)$ s’appelle le de la hauteur
   C’est le pied de la hauteur, où l’on code l’angle droit.

Sur la figure, les droites en couleur sont deux hauteurs du triangle EFG. Réponds par une lettre ou un nombre.

1. La hauteur issue de $E$ coupe $[FG]$ au point
   La droite $(EP)$ passe par $E$ et fait un angle droit avec $[FG]$ en $P$ : $P$ est son pied.
2. La droite $(GQ)$ est la hauteur issue du sommet
   $(GQ)$ passe par $G$ et est perpendiculaire à $(EF)$ : c’est la hauteur issue de $G$.
3. La troisième hauteur, issue de $F$, passe aussi par le point
   Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes : la troisième passe par $S$.
4. L’angle $EPF$ mesure °
   $(EP)$ est perpendiculaire à $(FG)$ : $EPF=90°$.

Triangles rectangles et obtus. Réponds par des lettres ou un nombre.

1. $ABC$ est rectangle en $A$. La hauteur issue de $C$ est la droite
   $(AC)$ passe par $C$ et est perpendiculaire à $(AB)$ : c’est la hauteur issue de $C$.
2. Dans ce triangle rectangle, les trois hauteurs se coupent au point
   Les hauteurs issues de $B$ et de $C$ sont $(AB)$ et $(AC)$ ; elles se coupent en $A$, le sommet de l’angle droit.
3. Dans le triangle $IJK$, $H$ est le pied de la hauteur issue de $I$ et $IJH=47°$. $JIH=$ °
   Le triangle $IJH$ est rectangle en $H$ : ses angles aigus sont complémentaires, $90-47=43$, soit $43°$.
4. Dans le triangle $UVW$, $UVW=118°$ et $H$ est le pied de la hauteur issue de $U$, sur le prolongement de $[WV]$. $UVH=$ °
   $H$, $V$ et $W$ sont alignés : $UVH$ et $UVW$ forment un angle plat, $180-118=62$, soit $62°$.
5. Dans ce même triangle, $VUH=$ °
   Le triangle $UVH$ est rectangle en $H$ : $90-62=28$, soit $28°$.

Complète avec un mot, des lettres ou un nombre.

1. La médiane issue de $A$ passe par $A$ et par le de $[BC]$
   C’est la définition : elle joint le sommet au milieu du côté opposé.
2. Dans le triangle $DEF$, $EF=11$ cm et $I$ est le milieu de $[EF]$ : $EI=$ cm
   $EI=11÷2=5,5$ cm.
3. Dans le triangle $KLM$, la médiane issue de $K$ coupe le côté
   Elle va de $K$ au milieu du côté opposé, $[LM]$.
4. Un triangle possède médianes
   Une médiane par sommet : trois médianes.

Dans chaque question, I est le milieu du côté [BC] du triangle ABC.

1. L’aire de $ABC$ est $34$ cm². L’aire de $ABI$ est cm²
   La médiane $(AI)$ partage $ABC$ en deux triangles de même aire : $34÷2=17$ cm².
2. L’aire de $AIC$ est $9,5$ cm². L’aire de $ABC$ est cm²
   $ABI$ a la même aire que $AIC$ : $2\times 9,5=19$ cm².
3. $BC=14$ cm et la hauteur $AH$ mesure $5$ cm. L’aire de $ABC$ est cm²
   $14\times 5÷2=35$ cm².
4. Avec ces mesures, l’aire de $ABI$ est cm²
   $BI=7$ cm et la hauteur reste $AH=5$ cm : $7\times 5÷2=17,5$ cm², la moitié de $35$.

Le triangle ABC a une aire de 60 cm². I est le milieu de [BC] et J le milieu de [AI].

1. L’aire du triangle $ABI$ est cm²
   $(AI)$ est la médiane issue de $A$ : $60÷2=30$ cm².
2. $(BJ)$ est une médiane du triangle $ABI$. L’aire de $ABJ$ est cm²
   $(BJ)$ joint $B$ au milieu $J$ de $[AI]$ : elle partage $ABI$ en deux, $30÷2=15$ cm².
3. L’aire du triangle $BJC$ est cm²
   $BJC$ se découpe en $BJI$ et $JIC$. $BJI$ est la moitié de $ABI$ ($15$ cm²) et $JIC$ la moitié de $AIC$ ($15$ cm², car $(CJ)$ est une médiane de $AIC$) : $15+15=30$ cm².

Complète par « médiatrice », « hauteur » ou « médiane ».

1. La droite qui passe par $B$ et par le milieu de $[AC]$ est la issue de $B$
   Un sommet et le milieu du côté opposé : c’est la médiane.
2. La droite perpendiculaire à $[AC]$ en son milieu est la de $[AC]$
   Un milieu et un angle droit : c’est la médiatrice.
3. La droite qui passe par $C$ et qui est perpendiculaire à $(AB)$ est la issue de $C$
   Un sommet et un angle droit avec le côté opposé : c’est la hauteur.
4. Dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal est aussi la de la base
   Le sommet principal est sur la médiatrice de la base, qui est perpendiculaire à la base : c’est la même droite que la hauteur.

Observe le codage de la figure et complète.

1. $(d_1)$ est une
   $(d_1)$ passe par le sommet $T$ et par le milieu $K$ de $[RS]$, sans angle droit : c’est la médiane issue de $T$.
2. $(d_2)$ est une
   $(d_2)$ passe par le milieu $K$ de $[RS]$ et lui est perpendiculaire : c’est la médiatrice de $[RS]$.
3. $(d_3)$ est une
   $(d_3)$ passe par $T$ et fait un angle droit avec $(RS)$ en $H$ : c’est la hauteur issue de $T$.
4. $(d_1)$ passe par le sommet $T$ et par le point
   La médiane issue de $T$ rejoint le milieu $K$ du côté opposé $[RS]$.

Triangles particuliers. Réponds par un nombre.

1. $ABC$ est isocèle en $A$ et $BC=7,8$ cm. La hauteur issue de $A$ coupe $[BC]$ en $H$ : $BH=$ cm
   Isocèle en $A$ : la hauteur issue de $A$ est aussi la médiane, $H$ est le milieu de $[BC]$. $BH=7,8÷2=3,9$ cm.
2. Dans ce triangle, combien de droites distinctes forment la hauteur issue de $A$, la médiane issue de $A$ et la médiatrice de $[BC]$ ?
   Dans un triangle isocèle en $A$, ces trois droites sont confondues : une seule droite, l’axe de symétrie.
3. $EFG$ est équilatéral et la médiane issue de $E$ coupe $[FG]$ en $M$. $EMF=$ °
   Un triangle équilatéral est isocèle en $E$ : la médiane issue de $E$ est aussi la hauteur, donc elle est perpendiculaire à $[FG]$.
4. $KLM$ est isocèle en $K$ et $LKM=48°$. La hauteur issue de $K$ coupe $[LM]$ en $H$ ; $LKH=$ °
   Angles à la base : $(180-48)÷2=66°$. Le triangle $KLH$ est rectangle en $H$ : $LKH=90-66=24°$, la moitié de $48°$ (axe de symétrie).