Devoir surveillé : Angles et parallélisme, translation et rotation, triangles égaux

1. a)Un angle obtus en $A$ et l'angle de ${52}^{\circ }$ sont adjacents et forment un angle plat : ils sont supplémentaires. Chaque angle obtus mesure donc ${180}^{\circ }-{52}^{\circ }={128}^{\circ }$ (les deux angles obtus sont opposés par le sommet, donc égaux). (0,5 pt : supplémentaires ; 0,5 pt : ${128}^{\circ }$) (1)
2. b)Il y a deux angles aigus en $B$. L'un est le correspondant de l'angle de ${52}^{\circ }$ : comme $(d_1)\parallel (d_2)$, il mesure ${52}^{\circ }$. L'autre lui est opposé par le sommet : il mesure aussi ${52}^{\circ }$. (0,5 pt : correspondants et parallèles ; 0,5 pt : opposé par le sommet et mesures) (1)
3. c)Il a tort. Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ étant parallèles, deux angles alternes-internes sont égaux : l'alterne-interne d'un angle de ${52}^{\circ }$ mesure ${52}^{\circ }$, il est aigu. Un angle obtus en $B$ (${128}^{\circ }$) ne peut donc pas être son alterne-interne. (0,5 pt : propriété ; 0,5 pt : conclusion) (1)
4. d)La somme des angles d'un triangle vaut ${180}^{\circ }$ : $\hat{M}={180}^{\circ }-{52}^{\circ }-73,5^{\circ }={128}^{\circ }-73,5^{\circ }=54,5^{\circ }$. (0,5 pt : somme ${180}^{\circ }$ ; 0,5 pt : résultat) (1)

Méthode — avec deux parallèles et une sécante, il n'y a que deux mesures d'angles sur toute la figure : un angle aigu et son supplémentaire ; une fois l'un connu, tout le reste s'en déduit.

1. a)De $A$ à $A^{\prime }$, l'abscisse augmente de $4-1=3$ et l'ordonnée varie de $-1-2=-3$. Donc $B^{\prime }(-2+3;5-3)=B^{\prime }(1;2)$ : l'image de $B$ est le point $A$ lui-même. (0,5 pt : déplacement ; 0,5 pt : $B^{\prime }$ et remarque) (1)
2. b)$C^{\prime }(0+3;-3-3)=C^{\prime }(3;-6)$. Pour $E$, on fait le déplacement inverse : $E(-1-3;0+3)=E(-4;3)$ ; vérification : $(-4+3;3-3)=(-1;0)$. (0,5 pt : $C^{\prime }$ ; 0,5 pt : $E$) (1)
3. c)Une translation conserve les longueurs, donc $A^{\prime }{C}^{\prime }=AC$. Elle transforme une droite en une droite parallèle, donc $(A^{\prime }{C}^{\prime })\parallel (AC)$. (0,5 pt par propriété) (1)
4. d)Une translation conserve les angles : $\widehat{R^{\prime }}=\hat{R}={35}^{\circ }$ et $\widehat{S^{\prime }}={100}^{\circ }$. Donc $\widehat{T^{\prime }}={180}^{\circ }-{35}^{\circ }-{100}^{\circ }={45}^{\circ }$. (0,5 pt : conservation ; 0,5 pt : ${45}^{\circ }$) (1)

Astuce — pour trouver un antécédent, on fait le déplacement en sens inverse : on retranche ce que la translation ajoute, puis on vérifie en appliquant $t$ au point trouvé.

1. a)Égaux (cas des trois côtés) : $AB=EF=5$, $BC=FD=7$, $CA=DE=6$. Donc $A$ et $E$, $B$ et $F$, $C$ et $D$ sont homologues : $ABC$ et $EFD$ sont égaux. (0,5 pt : cas ; 0,5 pt : ordre des sommets) (1)
2. b)Égaux (cas d'un angle compris entre deux côtés) : $PQ=ST$, $\hat{Q}=\hat{T}$, $QR=TU$, l'angle étant chaque fois entre les deux côtés. $PQR$ et $STU$ sont égaux. (0,5 pt : cas ; 0,5 pt : angle bien compris entre les côtés) (1)
3. c)Dans $XYZ$ : $\hat{Y}={180}^{\circ }-{40}^{\circ }-{60}^{\circ }={80}^{\circ }$. Alors $KL=XY=5$, $\hat{K}=\hat{X}={40}^{\circ }$, $\hat{L}=\hat{Y}={80}^{\circ }$ : égaux (cas d'un côté compris entre deux angles), $KLM$ et $XYZ$. (0,5 pt : calcul de $\hat{Y}$ ; 0,5 pt : conclusion) (1)
4. d)Non : les angles sont égaux mais le côté homologue mesure $4$ dans l'un et $8$ dans l'autre. Les deux triangles ont la même forme, pas la même taille. (0,5 pt : non ; 0,5 pt : explication) (1)

Piège — des angles tous égaux ne suffisent jamais : il faut au moins une longueur égale, placée au même endroit ; et quand un angle manque, on le calcule avec la somme $180°$ avant de conclure.

1. a)Une rotation conserve les longueurs et les angles : $A^{\prime }{B}^{\prime }=AB=5$ cm, $A^{\prime }{C}^{\prime }=AC=3$ cm et $\widehat{B^{\prime }{A}^{\prime }{C}^{\prime }}=\widehat{BAC}={40}^{\circ }$. (0,5 pt par valeur, justification comprise) (1,33333)
2. b)Première façon : $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ est l'image de $ABC$ par une rotation, qui conserve les longueurs ; les trois côtés sont égaux deux à deux, donc les triangles sont égaux. Deuxième façon : $AB=A^{\prime }{B}^{\prime }$, $AC=A^{\prime }{C}^{\prime }$ et l'angle compris $\widehat{BAC}=\widehat{B^{\prime }{A}^{\prime }{C}^{\prime }}$ : cas d'un angle compris entre deux côtés. (0,5 pt par façon) (1,33333)
3. c)Par définition de la rotation, $O{M}^{\prime }=OM$ et $\widehat{MO{M}^{\prime }}={70}^{\circ }$. Le triangle $OM{M}^{\prime }$ est donc isocèle en $O$ ; ses angles à la base sont égaux : $\widehat{OM{M}^{\prime }}=\widehat{O{M}^{\prime }M}={\displaystyle \frac{{180}^{\circ }-{70}^{\circ }}{2}}={\displaystyle \frac{{110}^{\circ }}{2}}={55}^{\circ }$. (0,5 pt : ${70}^{\circ }$ ; 0,5 pt : isocèle ; 0,5 pt : ${55}^{\circ }$) (1,33333)

Erreur fréquente — le centre $O$ n'est pas un sommet du triangle $ABC$ : l'angle de $70°$ se lit en $O$, entre $[OM]$ et $[O{M}^{\prime }]$, et ne modifie aucun angle de la figure transformée.

1. a)Les $10$ angles au centre sont égaux (images par rotation) et font un tour complet : $\widehat{A_{1}O{A}_2}={360}^{\circ }÷10={36}^{\circ }$. (0,5 pt : raisonnement ; 0,5 pt : ${36}^{\circ }$) (1)
2. b)$O{A}_1{A}_2$ est isocèle en $O$, donc ses angles à la base sont égaux : $\widehat{O{A}_1{A}_2}=\widehat{O{A}_2{A}_1}={\displaystyle \frac{{180}^{\circ }-{36}^{\circ }}{2}}={\displaystyle \frac{{144}^{\circ }}{2}}={72}^{\circ }$. (0,5 pt : isocèle ; 0,5 pt : ${72}^{\circ }$) (1)
3. c)En $A_2$, la demi-droite $[A_{2}O)$ partage l'angle en deux : $\widehat{O{A}_2{A}_1}={72}^{\circ }$ et, dans le triangle $O{A}_2{A}_3$ identique, $\widehat{O{A}_2{A}_3}={72}^{\circ }$. Donc $\widehat{A_1{A}_2{A}_3}={72}^{\circ }+{72}^{\circ }={144}^{\circ }$. (0,5 pt : découpage ; 0,5 pt : ${144}^{\circ }$) (1)
4. d)$O{A}_1=O{A}_4=12$ cm, $O{A}_2=O{A}_5=12$ cm et $\widehat{A_{1}O{A}_2}=\widehat{A_{4}O{A}_5}={36}^{\circ }$ : égaux (angle compris entre deux côtés). De $A_1$ à $A_4$, on avance de $3$ motifs : rotation d'angle $3\times {36}^{\circ }={108}^{\circ }$. (0,5 pt : égalité ; 0,5 pt : ${108}^{\circ }$) (1)

Astuce — dans une rosace de $n$ motifs, l'angle au centre vaut $360°÷n$, et chaque angle à la base du triangle isocèle vaut la moitié de ce qui reste sur $180°$.

1. a)Faux. Les trois angles sont alors égaux (somme ${180}^{\circ }$), mais le côté de même longueur doit être placé au même endroit. Contre-exemple : deux triangles d'angles ${30}^{\circ }$, ${60}^{\circ }$, ${90}^{\circ }$ ; dans le premier, le côté opposé à l'angle de ${30}^{\circ }$ mesure $5$ cm, dans le second, c'est le côté opposé à l'angle droit qui mesure $5$ cm. Le plus grand côté du premier dépasse $5$ cm, celui du second mesure $5$ cm : ils ne sont pas égaux. (0,5 pt : faux ; 0,5 pt : contre-exemple) (1)
2. b)Vrai. Une translation transforme une droite en une droite parallèle (confondue avec elle si la droite a la direction du déplacement). (0,5 pt : vrai ; 0,5 pt : propriété) (1)
3. c)Faux. Un quart de tour transforme une droite en une droite perpendiculaire. Contre-exemple : dans un repère, la rotation de centre l'origine et d'angle ${90}^{\circ }$ transforme l'axe des abscisses en l'axe des ordonnées, qui lui est perpendiculaire. (0,5 pt : faux ; 0,5 pt : contre-exemple) (1)
4. d)Vrai. Le troisième angle mesure ${180}^{\circ }-{47}^{\circ }-{86}^{\circ }={47}^{\circ }$ : le triangle a deux angles égaux, il est isocèle. (0,5 pt : calcul ; 0,5 pt : conclusion) (1)

Méthode — pour prouver qu'une affirmation est fausse, un seul contre-exemple précis suffit ; pour prouver qu'elle est vraie, il faut une propriété valable dans tous les cas.

1. a)$\widehat{ACB}={180}^{\circ }-{58}^{\circ }-{74}^{\circ }={48}^{\circ }$. (0,5 pt) (1)
2. b)Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont coupées par la sécante $(AB)$. Les angles $\widehat{AMN}$ et $\widehat{ABC}$ sont correspondants et mesurent tous deux ${74}^{\circ }$. Or, si deux angles correspondants sont égaux, les droites sont parallèles : $(MN)\parallel (BC)$. (0,5 pt : angles correspondants ; 0,5 pt : égalité ; 0,5 pt : propriété et conclusion) (1)
3. c)Dans $AMN$ : $\widehat{ANM}={180}^{\circ }-{58}^{\circ }-{74}^{\circ }={48}^{\circ }$. Les points $A$, $N$, $C$ sont alignés, donc $\widehat{MNC}={180}^{\circ }-{48}^{\circ }={132}^{\circ }$. (0,5 pt : $\widehat{ANM}$ ; 0,5 pt : ${132}^{\circ }$) (1)
4. d)L'image de $(MN)$ par $t$ est une droite parallèle à $(MN)$ qui passe par $t(M)=B$. D'après la question 2, $(BC)$ est parallèle à $(MN)$ et passe par $B$ ; par un point, il ne passe qu'une seule parallèle à une droite. L'image est donc $(BC)$. (0,5 pt : propriété de la translation ; 0,5 pt : conclusion) (1)

Erreur fréquente — utiliser le parallélisme pour trouver les angles, alors qu'il faut le démontrer : ici ce sont les angles qui sont donnés, on applique donc la propriété « angles correspondants égaux, donc droites parallèles ».

1. a)De $B(5;1)$ à $A(2;1)$ : $3$ unités vers la gauche, $0$ verticalement. $A_1(-1;1)$, $B_1(2;1)$ (c'est $A$), $C_1(-1;5)$. (0,5 pt : déplacement ; 0,5 pt : les trois images) (1)
2. b)$B$ est à $3$ unités à droite de $A$ ; après un quart de tour dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, $B_2$ est à $3$ unités au-dessus de $A$ : $B_2(2;4)$. $C$ est à $4$ unités au-dessus de $A$ ; $C_2$ est à $4$ unités à gauche de $A$ : $C_2(-2;1)$. (0,5 pt : méthode ; 0,5 pt par point) (1)
3. c)$C_2(-2;1)$, $A(2;1)$ et $B(5;1)$ ont la même ordonnée $1$ : ils sont sur une même droite horizontale, donc alignés. (Autre justification : le quart de tour transforme $(AC)$ en la perpendiculaire à $(AC)$ passant par $A$, c'est-à-dire $(AB)$.) (0,5 pt) (1)
4. d)Oui : translations et rotations conservent les longueurs, donc les trois triangles ont leurs côtés égaux deux à deux. $AB=3$, $AC=4$, $BC=5$ : périmètre $3+4+5=12$ ; aire ${\displaystyle \frac{3\times 4}{2}}=6$ (unités d'aire), identiques pour les trois. (0,5 pt : égalité justifiée ; 0,5 pt : périmètre et aire) (1)

Astuce — pour tourner d'un quart de tour sur un quadrillage, on lit le déplacement depuis le centre (« 3 à droite ») et on le fait pivoter (« 3 vers le haut ») : pas besoin de rapporteur.

1. a)Les angles $\widehat{AOB}$ et $\widehat{COD}$ sont opposés par le sommet, donc égaux : $\widehat{COD}={70}^{\circ }$. (0,5 pt) (1)
2. b)$OA=OC=4$ cm, $OB=OD=6$ cm et $\widehat{AOB}=\widehat{COD}={70}^{\circ }$, angle compris entre ces côtés : les triangles sont égaux (cas d'un angle compris entre deux côtés). Homologues : $O$ et $O$, $A$ et $C$, $B$ et $D$. (0,5 pt par égalité justifiée, conclusion comprise) (1)
3. c)Dans deux triangles égaux, les éléments homologues sont égaux : $AB=CD$ et $\widehat{OAB}=\widehat{OCD}$. Pour les droites $(AB)$ et $(CD)$ coupées par la sécante $(AC)$, ces deux angles sont alternes-internes ($B$ et $D$ sont de part et d'autre de $(AC)$) et égaux, donc $(AB)\parallel (CD)$. (0,5 pt : déductions ; 0,5 pt : alternes-internes ; 0,5 pt : conclusion) (1)
4. d)$O$ est le milieu de $[AC]$ et de $[BD]$ : la rotation de centre $O$ et d'angle ${180}^{\circ }$ (le demi-tour) transforme $A$ en $C$ et $B$ en $D$. Elle transforme donc $[AB]$ en $[CD]$ et conserve les longueurs : $AB=CD$. (0,5 pt) (1)

Méthode — une fois deux triangles démontrés égaux, chaque côté et chaque angle de l'un est égal à son homologue dans l'autre : c'est la liste des sommets homologues qui dit quelles égalités on a le droit d'écrire.

1. a)$AB=AD$, $CB=CD$ et le côté $[AC]$ est commun : les triangles $ABC$ et $ADC$ sont égaux (cas des trois côtés), avec $A$ et $A$, $B$ et $D$, $C$ et $C$ homologues. (0,5 pt : trois égalités ; 0,5 pt : conclusion) (1)
2. b)Angles homologues : $\widehat{BAC}=\widehat{DAC}$ et leur somme vaut $\widehat{BAD}={60}^{\circ }$, donc $\widehat{BAC}={30}^{\circ }$. De même $\widehat{BCA}=\widehat{DCA}$ et leur somme vaut ${100}^{\circ }$, donc $\widehat{BCA}={50}^{\circ }$. (0,5 pt par angle) (1)
3. c)$\widehat{ABC}={180}^{\circ }-{30}^{\circ }-{50}^{\circ }={100}^{\circ }$. (0,5 pt) (1)
4. d)$AD=AB$ et $\widehat{BAD}={60}^{\circ }$ : $D$ est l'image de $B$ par la rotation de centre $A$ et d'angle ${60}^{\circ }$ (dans le sens de $B$ vers $D$). Chaque cerf-volant occupe un angle de ${60}^{\circ }$ en $A$ et le suivant commence où le précédent finit : ${360}^{\circ }÷{60}^{\circ }=6$ cerfs-volants. (0,5 pt : justification de la rotation ; 0,5 pt : raisonnement ; 0,5 pt : $6$) (1)

Piège — l'angle $\widehat{BAD}$ est celui du cerf-volant entier : c'est sa moitié, $\widehat{BAC}$, qui intervient dans le triangle $ABC$, et c'est l'égalité des triangles qui justifie ce partage en deux.

1. a)Les droites étant parallèles, les angles alternes-internes sont égaux : $3x+14=5x-38$, soit $52=2x$, donc $x=26$. Angles : $3\times 26+14={92}^{\circ }$ (vérification : $5\times 26-38=130-38={92}^{\circ }$). (0,5 pt : équation ; 0,5 pt : $x$ et ${92}^{\circ }$) (1)
2. b)L'angle adjacent à $(4y+7{)}^{\circ }$, de l'autre côté de $(s)$, lui est supplémentaire ; il est alterne-interne avec l'angle $(2y+11{)}^{\circ }$, donc égal à lui. Les deux angles sont donc supplémentaires : $4y+7+2y+11=180$, $6y=162$, $y=27$. Angles : $4\times 27+7={115}^{\circ }$ et $2\times 27+11={65}^{\circ }$ ($115+65=180$). (0,5 pt : supplémentaires justifiés ; 0,5 pt : résultats) (1)
3. c)Angles homologues égaux : $2a+5=3a-19$, donc $a=24$ et $\hat{A}={53}^{\circ }$. Puis $24+b=2b-6$, donc $b=30$ et $\hat{B}={54}^{\circ }$ (vérification : $2\times 30-6=54$). (0,5 pt : $a$ ; 0,5 pt : $b$) (1)
4. d)$\hat{D}=\hat{A}={53}^{\circ }$, $\hat{E}=\hat{B}={54}^{\circ }$, $\hat{F}={180}^{\circ }-{53}^{\circ }-{54}^{\circ }={73}^{\circ }$. Les trois angles sont différents ; or un triangle isocèle a deux angles égaux : $DEF$ n'est pas isocèle. (0,5 pt : ${73}^{\circ }$ ; 0,5 pt : conclusion) (1)

Piège — deux angles situés entre les parallèles, du même côté de la sécante, ne sont pas égaux mais supplémentaires : écrire $4y+7=2y+11$ donnerait deux angles de $15°$, impossible puisque l'un doit être aigu et l'autre obtus.

1. a)Deux cas, et seulement deux : l'angle de ${40}^{\circ }$ est au sommet principal, ou c'est un angle à la base. Sommet principal : les angles à la base valent ${\displaystyle \frac{{180}^{\circ }-{40}^{\circ }}{2}}={70}^{\circ }$, d'où ${40}^{\circ }$, ${70}^{\circ }$, ${70}^{\circ }$. Angle à la base : l'autre angle à la base vaut aussi ${40}^{\circ }$ et le sommet ${180}^{\circ }-{80}^{\circ }={100}^{\circ }$, d'où ${40}^{\circ }$, ${40}^{\circ }$, ${100}^{\circ }$. Deux solutions. (0,5 pt : cas séparés ; 0,5 pt par solution) (1,33333)
2. b)Sommet principal : angles à la base ${\displaystyle \frac{{180}^{\circ }-{100}^{\circ }}{2}}={40}^{\circ }$. Angle à la base : il y aurait deux angles de ${100}^{\circ }$, soit ${200}^{\circ }>{180}^{\circ }$, impossible. Une seule solution : ${100}^{\circ }$, ${40}^{\circ }$, ${40}^{\circ }$. (0,5 pt : solution ; 0,5 pt : cas éliminé) (1,33333)
3. c)L'angle au centre vaut ${\displaystyle \frac{{360}^{\circ }}{n}}$, donc un angle à la base vaut ${\displaystyle \frac{1}{2}}({180}^{\circ }-{\displaystyle \frac{{360}^{\circ }}{n}})={90}^{\circ }-{\displaystyle \frac{{180}^{\circ }}{n}}$. Il est entier si et seulement si ${\displaystyle \frac{180}{n}}$ est entier, c'est-à-dire si $n$ divise $180=2^2\times 3^2\times 5$ (l'angle au centre, double de ${\displaystyle \frac{180}{n}}$, est alors entier lui aussi). Diviseurs de $180$ entre $3$ et $20$ : $3$, $4$, $5$, $6$, $9$, $10$, $12$, $15$, $18$, $20$. Les autres ($7$, $8$, $11$, $13$, $14$, $16$, $17$, $19$) ne divisent pas $180$ ; par exemple $n=8$ donne $67,5^{\circ }$. (0,5 pt : formule ; 0,5 pt : condition ; 0,5 pt : liste complète) (1,33333)

Méthode — pour être sûr de n'oublier aucune solution, on sépare les cas (l'angle est au sommet principal ou à la base), puis on élimine ceux qui sont impossibles, comme une somme d'angles supérieure à $180°$.

1. a)Les triangles équilatéraux ont des angles de ${60}^{\circ }$ et sont construits à l'extérieur : $\widehat{DAC}=\widehat{DAB}+\widehat{BAC}={60}^{\circ }+{50}^{\circ }={110}^{\circ }$ et $\widehat{BAE}=\widehat{BAC}+\widehat{CAE}={50}^{\circ }+{60}^{\circ }={110}^{\circ }$. (0,5 pt par angle) (1)
2. b)$AD=AB$ (triangle $ABD$ équilatéral), $AC=AE$ (triangle $ACE$ équilatéral) et l'angle compris $\widehat{DAC}=\widehat{BAE}={110}^{\circ }$ : les triangles $DAC$ et $BAE$ sont égaux (cas d'un angle compris entre deux côtés). Homologues : $D$ et $B$, $A$ et $A$, $C$ et $E$. (0,5 pt : égalités de côtés ; 0,5 pt : cas ; 0,5 pt : homologues) (1)
3. c)$[DC]$ et $[BE]$ sont homologues, donc $DC=BE$. $B$ est l'homologue de $D$ : $\widehat{ABE}=\widehat{ADC}={22}^{\circ }$. Dans $BAE$ : $\widehat{AEB}={180}^{\circ }-{110}^{\circ }-{22}^{\circ }={48}^{\circ }$. (0,5 pt : $DC=BE$ et ${22}^{\circ }$ ; 0,5 pt : ${48}^{\circ }$) (1)
4. d)Cette rotation transforme $D$ en $B$ et $C$ en $E$, donc le segment $[DC]$ en le segment $[BE]$ ; une rotation conserve les longueurs, d'où $DC=BE$. (0,5 pt) (1)

Astuce — derrière deux triangles égaux se cache souvent une transformation : ici, un sixième de tour autour de $A$ envoie $DAC$ sur $BAE$ et donne directement l'égalité des longueurs.

1. a)$\widehat{N_{1}O{N}_2}={360}^{\circ }÷16=22,5^{\circ }$. $O{N}_1=O{N}_2$ (rayons) : triangle isocèle en $O$, donc $\widehat{O{N}_1{N}_2}=\widehat{O{N}_2{N}_1}={\displaystyle \frac{{180}^{\circ }-22,5^{\circ }}{2}}={\displaystyle \frac{157,5^{\circ }}{2}}=78,{75}^{\circ }$. (0,5 pt : $22,5^{\circ }$ ; 0,5 pt : $78,{75}^{\circ }$) (1)
2. b)$O{N}_1=O{N}_7$ et $O{N}_4=O{N}_{10}$ (rayons), et $\widehat{N_{1}O{N}_4}=\widehat{N_{7}O{N}_{10}}=3\times 22,5^{\circ }=67,5^{\circ }$ : les triangles $O{N}_1{N}_4$ et $O{N}_7{N}_{10}$ sont égaux (angle compris entre deux côtés), donc $N_1{N}_4=N_7{N}_{10}$. (Autre voie : la rotation de centre $O$ et d'angle $6\times 22,5^{\circ }={135}^{\circ }$ envoie $N_1$ sur $N_7$ et $N_4$ sur $N_{10}$, et conserve les longueurs.) (0,5 pt : éléments égaux ; 0,5 pt : conclusion) (1)
3. c)De $N_1$ à $N_6$, il y a $5$ intervalles sur $16$ : la roue doit faire ${\displaystyle \frac{5}{16}}$ de tour, soit ${\displaystyle \frac{5}{16}}\times 8={\displaystyle \frac{40}{16}}=2,5$ min $=2$ min $30$ s (c'est-à-dire $5\times 22,5^{\circ }=112,5^{\circ }$). (0,5 pt : $5$ intervalles ; 0,5 pt : $2$ min $30$ s) (1)
4. d)Chaque nacelle a avancé de $5$ places ; celle qui arrive à la place de $N_1$ était $5$ places avant, soit $N_{16+1-5}=N_{12}$. En $1$ min $15$ s $=75$ s, sur $480$ s pour ${360}^{\circ }$ : ${\displaystyle \frac{75}{480}}\times {360}^{\circ }=75\times 0,{75}^{\circ }=56,{25}^{\circ }$. (0,5 pt : $N_{12}$ ; 0,5 pt : $56,{25}^{\circ }$) (1)

Erreur fréquente — de $N_1$ à $N_6$, il y a $5$ intervalles et non $6$ : on compte les écarts entre les nacelles, comme les intervalles entre les piquets d'une clôture.

1. a)$t$ transforme $A$ en $A^{\prime }$ et $B$ en $C$, donc la droite $(AB)$ en la droite $(A^{\prime }C)$ ; une translation transforme une droite en une droite parallèle : $(C{A}^{\prime })\parallel (AB)$. Pour ces deux parallèles coupées par la sécante $(AC)$, les angles $\widehat{BAC}$ et $\widehat{AC{A}^{\prime }}$ sont alternes-internes ($B$ et $A^{\prime }$ sont de part et d'autre de $(AC)$), donc égaux. (0,5 pt : parallèles ; 0,5 pt : alternes-internes ; 0,5 pt : égalité) (1)
2. b)Les parallèles $(AB)$ et $(C{A}^{\prime })$ sont coupées par la sécante $(BD)$ : $\widehat{ABC}$ et $\widehat{A^{\prime }CD}$ sont correspondants, donc égaux. (On peut aussi dire que $t$ transforme l'angle $\widehat{ABC}$ en $\widehat{A^{\prime }CD}$ et conserve les angles.) (0,5 pt : correspondants ; 0,5 pt : égalité) (1)
3. c)$B$, $C$, $D$ sont alignés, et les demi-droites $[CA)$ et $[C{A}^{\prime })$ partagent l'angle plat $\widehat{BCD}$ : $\widehat{ACB}+\widehat{AC{A}^{\prime }}+\widehat{A^{\prime }CD}={180}^{\circ }$, c'est-à-dire $\widehat{ACB}+\widehat{BAC}+\widehat{ABC}={180}^{\circ }$. (0,5 pt) (1)
4. d)Depuis un sommet, les diagonales vers les sommets non voisins découpent un polygone convexe à $n$ côtés en $n-2$ triangles, dont les angles recouvrent exactement ceux du polygone. Pentagone : $3$ triangles, $3\times {180}^{\circ }={540}^{\circ }$. Polygone à $n$ côtés : $(n-2)\times {180}^{\circ }$. (0,5 pt : ${540}^{\circ }$ ; 0,5 pt : formule justifiée) (1)

Méthode — une translation transporte un angle sans le déformer : c'est l'outil idéal pour rassembler en un même point les trois angles d'un triangle et les juxtaposer en un angle plat.