Translation : construire et propriétés

1. a)$O$ est le milieu de $[AA\prime ]$ : on change le signe des deux coordonnées, $A\prime (2,5;-6)$ (1)
2. b)$(d)$ est perpendiculaire à $[BB\prime ]$ en son milieu : $B$ est à $7,4÷2=3,7$ cm de $(d)$ (1)
3. c)La symétrie centrale conserve les longueurs : le symétrique a les mêmes côtés, son périmètre vaut $3,6+4,8+6=14,4$ cm (1)
4. d)Par une symétrie axiale, l’image est retournée comme dans un miroir (pliage) ; par une symétrie centrale, elle a la tête en bas, sans effet miroir (demi-tour) (1)

Repère — Symétrie centrale : le centre est le milieu de $[MM\prime ]$. Symétrie axiale : l’axe est perpendiculaire à $[MM\prime ]$ en son milieu.

1. a)$2-(-3)=5$ et $1-4=-3$ : $5$ unités vers la droite et $3$ vers le bas (1)
2. b)$F\prime (0+5;-2,5-3)$, soit $F\prime (5;-5,5)$ ; $G\prime (-1,5+5;3-3)$, soit $G\prime (3,5;0)$ (1)
3. c)Déplacement inverse : $H(4-5;-7+3)$, soit $H(-1;-4)$ (1)
4. d)La translation qui transforme $E$ en $E\prime$ transforme $F$ en $F\prime$ ($F$ n’est pas sur $(EE\prime )$) : $EE\prime F\prime F$ est un parallélogramme, $[EE\prime ]$ et $[FF\prime ]$ sont parallèles et de même longueur (1)

Méthode — Le déplacement se calcule une fois (arrivée − départ) ; on l’ajoute pour une image, on le soustrait pour un antécédent.

1. a)De $U$ à $V$ : $4$ carreaux vers la droite et $1$ vers le haut (1)
2. b)À partir de chaque sommet, on refait $4$ carreaux vers la droite et $1$ vers le haut : $A\prime$ est $4$ carreaux à droite et $1$ au-dessus de $A$, de même pour $B\prime$ et $C\prime$. On relie $A\prime$, $B\prime$, $C\prime$ : le triangle a la même forme et la même orientation (1)
3. c)La translation qui transforme $U$ en $V$ transforme $B$ en $B\prime$ : $UVB\prime B$ est un parallélogramme ($[UV]$ et $[BB\prime ]$ sont parallèles et de même longueur) (1)
4. d)On trace l’arc de centre $M$ et de rayon $UV$, puis l’arc de centre $V$ et de rayon $UM$ ; $M\prime$ est celui de leurs points d’intersection pour lequel la flèche de $M$ à $M\prime$ va dans le même sens que celle de $U$ à $V$. Ainsi $UVM\prime M$ est un parallélogramme (1)

Méthode — Construire par translation = reporter le même déplacement à partir de chaque sommet ; sur feuille blanche, on construit le parallélogramme.

1. a)Vrai : une translation conserve les longueurs et les angles ; le rectangle a seulement glissé (1)
2. b)Faux : une translation déplace la figure sans la déformer, elle conserve les aires (1)
3. c)Faux : tous les points glissent de la longueur $AB$, qui n’est pas nulle ; aucun point ne reste à sa place (1)
4. d)Vrai : les longueurs sont conservées (même rayon) et l’image du centre est le centre de l’image (1)

Le point clé — Une translation ne change que la position : longueurs, angles, aires, alignement, milieux et parallélisme sont conservés.

1. a)$3,6-2,8=0,8$ cm (1)
2. b)Le $n$-ième motif commence après $n-1$ translations : il se termine à $0,5+3,6\times (n-1)+2,8$ cm. Pour $n=11$ : $0,5+36+2,8=39,3$ cm, il tient ; pour $n=12$ : $39,3+3,6=42,9$ cm, plus que $40$ cm. On trace $11$ motifs (1)
3. c)$40-39,3=0,7$ cm (1)
4. d)Du 1er au 11e motif, il y a $10$ translations de $3,6$ cm dans le même sens : elles équivalent à une seule translation de $10\times 3,6=36$ cm vers la droite (1)

Méthode — Dans une frise, on compte les translations (nombre de motifs moins 1), et on mesure de bord gauche à bord gauche.