Translation et rotation

Dans un repère, la translation $t$ transforme $E(-3;4)$ en $E^{\prime }(2;1)$.

1. Décris le déplacement de cette translation (horizontal puis vertical).
2. Détermine les images de $F(0;-2,5)$ et de $G(-1,5;3)$.
3. Détermine l'antécédent de $H^{\prime }(4;-7)$.
4. Quelle est la nature du quadrilatère $EF{F}^{\prime }{E}^{\prime }$ ? Justifie.

$O$ et $M$ sont deux points tels que $OM=4,5$ cm.

1. Quels sont les trois éléments qui définissent une rotation ?
2. $M^{\prime }$ est l'image de $M$ par la rotation de centre $O$ et d'angle $60°$. Quelle est la nature du triangle $OM{M}^{\prime }$ ? Déduis-en $M{M}^{\prime }$.
3. $M^{″}$ est l'image de $M$ par la rotation de centre $O$ et d'angle $90°$. Quelle est la nature du triangle $OM{M}^{″}$ ? Calcule $M{M}^{″}$ au dixième près.
4. Dans un repère d'origine $O$, donne l'image de $A(-2,5;6)$ par la rotation de centre $O$ et d'angle $180°$.

Réponds par vrai ou faux et justifie chaque réponse en une phrase.

1. L'image d'un rectangle de $3$ cm sur $5$ cm par un quart de tour est un rectangle de $3$ cm sur $5$ cm.
2. Une translation peut modifier l'aire d'une figure.
3. Par une translation qui transforme $A$ en $B$ (avec $A\ne B$), un point peut être sa propre image.
4. L'image d'un cercle de centre $C$ et de rayon $3$ cm par une rotation est un cercle de rayon $3$ cm dont le centre est l'image de $C$.

1. Une rosace comporte $8$ motifs identiques régulièrement répartis autour de $O$. Quel est l'angle de la rotation qui envoie un motif sur son voisin ?
2. Un motif est répété par une rotation de $150°$ autour de $O$. Après combien de rotations retrouve-t-il exactement sa position initiale ? Justifie.
3. Une frise est tracée sur une bande de $40$ cm : motif de $2,8$ cm, translation de $3,6$ cm, premier motif commençant à $0,5$ cm du bord. Combien de motifs entiers peut-on tracer ?
4. Explique pourquoi on ne peut pas paver le plan avec des pentagones réguliers (angle intérieur $108°$), alors qu'on le peut avec des hexagones réguliers ($120°$).

Sur une horloge, la grande aiguille ($8$ cm) fait un tour en $60$ min et la petite aiguille ($5$ cm) un tour en $12$ h, toutes deux autour du centre $O$ du cadran.

1. De quel angle tourne chaque aiguille en $1$ minute ?
2. Calcule l'angle formé par les deux aiguilles à $15$ h $40$.
3. À $15$ h $00$, la grande aiguille est-elle l'image de la petite par une rotation de centre $O$ ? Justifie.
4. Entre $15$ h et $16$ h, à quel instant les deux aiguilles sont-elles superposées ? Donne la réponse à la seconde près.