À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en quatrième sur « Translation et rotation » suit le programme officiel de mathématiques de quatrième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Qu'est-ce qu'une transformation du plan ?, La translation : un glissement, Construire l'image par une translation, La rotation : un quart de tour, un demi-tour…. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de quatrième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Qu'est-ce qu'une transformation du plan ?
2 · La translation : un glissement
3 · Construire l'image par une translation
4 · La rotation : un quart de tour, un demi-tour…
5 · Construire l'image par une rotation
6 · Les propriétés conservées (isométries)
7 · Frises, pavages et symétries
1Qu'est-ce qu'une transformation du plan ?
Une transformation du plan est une opération qui, à chaque point d'une figure, associe un nouveau point. On obtient ainsi une image de la figure de départ.
Tu connais déjà deux transformations vues en 6e et 5e : la symétrie axiale (pliage selon une droite) et la symétrie centrale (demi-tour autour d'un point). Cette année, tu découvres deux nouvelles transformations : la translation et la rotation.
Vocabulaire. Si un point $A$ est transformé en un point $A'$ (lu « $A$ prime »), on dit que $A'$ est l'image de $A$, et que $A$ est l'antécédent de $A'$. On note souvent l'image avec un « prime » : $A \mapsto A'$, $B \mapsto B'$, etc.
Astuce. Toutes ces transformations gardent la même forme et la même taille à la figure : elles ne font que la déplacer. La figure image est superposable à la figure de départ.
2La translation : un glissement
Imagine que tu pousses une figure en ligne droite, sans la faire tourner ni la retourner : tu la fais glisser. C'est une translation.
Définition. Une translation est un glissement défini par un vecteur $\vec{u}$. Ce vecteur donne trois informations :
• une direction (la droite suivie),
• un sens (gauche/droite, haut/bas…),
• une longueur (de combien on glisse).
Tous les points de la figure se déplacent de la même manière.
Exemple. Une translation de vecteur « $3$ carreaux vers la droite et $1$ carreau vers le haut » déplace chaque point exactement de $3$ vers la droite et $1$ vers le haut. Si $A(2\,;1)$, alors son image est $A'(2+3\,;\,1+1) = A'(5\,;2)$.
Attention ! Dans une translation, la figure ne tourne pas et ne se retourne pas. Une lettre $\text{F}$ glissée reste un $\text{F}$ dans le même sens (contrairement à une symétrie qui la retourne en miroir).
3Construire l'image par une translation
Pour construire l'image d'un point $A$ par la translation de vecteur $\vec{u}$, on reporte ce vecteur à partir de $A$.
| Étape | Ce que tu fais |
|---|
| 1 | Lire le déplacement du vecteur $\vec{u}$ (ex. : $+4$ en horizontal, $-2$ en vertical). |
| 2 | Partir du point $A$ et appliquer ce déplacement. |
| 3 | Placer le point d'arrivée : c'est $A'$, l'image de $A$. |
| 4 | Recommencer pour chaque sommet, puis relier dans le même ordre. |
Exemple résolu. Soit $B(1\,;3)$ et la translation qui transforme l'origine $O(0\,;0)$ en $P(2\,;-1)$. Le vecteur est donc $\vec{u}$ « $+2$ ; $-1$ ». L'image de $B$ est $B'(1+2\,;\,3-1) = B'(3\,;2)$.
Astuce — quadrillage. Sur un quadrillage, repère le déplacement en comptant les carreaux : compte le même nombre de carreaux pour chaque sommet. Si tu te trompes pour un seul point, toute la figure est déformée.
Propriété (parallélogramme). Si $A'$ est l'image de $A$ et $B'$ l'image de $B$ par la même translation, alors $ABB'A'$ est un parallélogramme : les segments $[AA']$ et $[BB']$ sont parallèles, de même longueur et de même sens.
4La rotation : un quart de tour, un demi-tour…
Cette fois, au lieu de glisser, la figure tourne autour d'un point fixe, comme les aiguilles d'une horloge autour de leur axe.
Définition. Une rotation est définie par trois données :
• un centre $O$ (le point fixe autour duquel on tourne),
• un angle en degrés (ex. : $90°$, $180°$),
• un sens : horaire (sens des aiguilles d'une montre) ou anti-horaire (sens inverse).
Chaque point $M$ devient $M'$ tel que $OM = OM'$ et $\widehat{MOM'} = $ angle de la rotation.
Exemple. Une rotation de centre $O$ et d'angle $90°$ dans le sens anti-horaire fait faire un quart de tour à la figure. Un angle de $180°$ correspond à un demi-tour : c'est exactement la symétrie centrale de centre $O$ !
Attention ! Le centre $O$ est le seul point qui ne bouge pas ($O$ est sa propre image). Plus un point est loin de $O$, plus il parcourt un grand arc de cercle.
5Construire l'image par une rotation
Pour tourner un point $M$ autour de $O$ d'un angle donné, on utilise le compas et le rapporteur.
| Étape | Ce que tu fais |
|---|
| 1 | Tracer le segment $[OM]$ et mesurer sa longueur $OM$. |
| 2 | Avec le rapporteur, tracer une demi-droite d'origine $O$ faisant l'angle voulu avec $[OM]$, dans le bon sens. |
| 3 | Avec le compas (pointe en $O$, écartement $OM$), reporter la distance sur cette demi-droite. |
| 4 | Le point obtenu est $M'$, image de $M$. On a bien $OM = OM'$. |
Astuce — cas particuliers. Pour un demi-tour ($180°$), pas besoin de rapporteur : $M'$ est le symétrique de $M$ par rapport à $O$ (on prolonge $[MO]$ d'autant). Pour un quart de tour sur quadrillage, l'équerre suffit souvent.
Exemple résolu. Soit $O$ le centre et $M$ tel que $OM = 4$ cm. Pour la rotation d'angle $90°$, on construit $M'$ avec $OM' = 4$ cm et $\widehat{MOM'} = 90°$. Le triangle $OMM'$ est alors rectangle isocèle en $O$.
6Les propriétés conservées (isométries)
Translation et rotation sont des isométries : du grec iso (même) et métron (mesure). Elles ne changent rien aux mesures de la figure.
Propriétés (ce qui est conservé). La translation et la rotation conservent :
• les longueurs : un segment et son image ont la même longueur ;
• les angles : leurs mesures sont inchangées ;
• le parallélisme et l'alignement : trois points alignés restent alignés ;
• les aires et les périmètres ;
• la nature des figures (un cercle reste un cercle de même rayon, un carré reste un carré identique).
L'aire ne change pas : la figure est seulement déplacée.
Attention — ce qui change. Seules la position et, pour la rotation, l'orientation de la figure changent. La taille et la forme, jamais. C'est différent d'un agrandissement/réduction qui, lui, change les longueurs.
7Frises, pavages et symétries
Les transformations servent à créer des motifs réguliers que l'on retrouve partout : carrelages, papiers peints, vitraux, mosaïques…
Définitions.
• Une frise est un motif répété en le glissant toujours du même vecteur : on utilise une translation.
• Un pavage recouvre le plan entièrement, sans trou ni superposition, en répétant un motif par translation et/ou rotation.
Exemple. Un carrelage hexagonal s'obtient en faisant tourner un motif de $60°$ autour d'un sommet, puis en le translatant pour couvrir tout le sol.
Astuce — reconnaître la transformation. Si le motif est juste décalé dans la même orientation → translation. S'il a tourné autour d'un point → rotation. S'il est en miroir → symétrie axiale.
★À retenir
En bref :
• Une translation = un glissement défini par un vecteur $\vec{u}$ (direction, sens, longueur). Tous les points bougent pareil.
• Une rotation = une figure qui tourne autour d'un centre $O$, d'un angle donné et dans un sens (horaire/anti-horaire). $O$ ne bouge pas.
• Une rotation de $180°$ = une symétrie centrale.
• Ce sont des isométries : elles conservent longueurs, angles, aires, alignement et la nature des figures.
• Elles servent à construire frises et pavages.