À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en quatrième sur « Translation et rotation » suit le programme officiel de mathématiques de quatrième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Transformer une figure : de quoi parle-t-on ?, La translation : direction, sens et longueur, Construire l'image d'un point par une translation, Construire l'image d'une figure par une translation. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de quatrième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Transformer une figure : image et antécédent
2 · La translation : direction, sens, longueur
3 · Construire l'image d'un point par translation
4 · Construire l'image d'une figure par translation
5 · La rotation : centre, angle, sens
6 · Construire l'image d'un point par rotation
7 · Construire l'image d'une figure par rotation
8 · Les propriétés conservées (longueurs, angles, aires)
9 · Pavages et frises
1Transformer une figure : de quoi parle-t-on ?
En géométrie, transformer une figure, c'est la déplacer ou la « bouger » selon une règle précise pour obtenir une nouvelle figure appelée son image. La figure de départ s'appelle l'antécédent (ou figure initiale).
Définition. Une transformation associe à chaque point du plan un nouveau point, son image. Dans ce chapitre, on étudie deux transformations qui conservent les formes et les dimensions : la translation (un glissement) et la rotation (un quart de tour, un demi-tour…).
- La translation fait glisser la figure en ligne droite, sans la tourner ni la retourner.
- La rotation fait tourner la figure autour d'un point fixe, comme l'aiguille d'une horloge.
On note souvent l'image d'un point A par la lettre A' (« A prime »). De même, le segment [AB] a pour image [A'B'], et la figure F a pour image F'.
💡 Image et antécédent ont exactement la même forme et la même taille : ce sont des figures superposables. Seule leur position change.
2La translation : direction, sens et longueur
Une translation est un glissement de la figure. Pour la décrire entièrement, il faut trois informations, données par une flèche (un vecteur) :
Une translation est définie par :
- une direction (l'inclinaison de la flèche : horizontale, verticale, oblique) ;
- un sens (vers où pointe la flèche : la gauche ou la droite, le haut ou le bas) ;
- une longueur (la distance du glissement).
On parle souvent de la translation « qui transforme A en A' » : la flèche part de A et arrive en A'. Tous les points de la figure glissent alors de la même façon : même direction, même sens, même longueur.
Ici, la flèche est horizontale (direction), pointe vers la droite (sens) et mesure une certaine longueur : chaque sommet du triangle ABC glisse pareil et donne A', B', C'.
⚠️ Une translation n'est pas n'importe quel déplacement : si on change la direction ou le sens ou la longueur, ce n'est plus la même translation.
3Construire l'image d'un point par une translation
On connaît une translation par une flèche qui transforme un point, par exemple A en A'. On veut placer l'image M' d'un autre point M.
Méthode pas à pas (sur quadrillage).
- Étape 1. Je lis le glissement de A vers A' : combien de carreaux horizontalement et combien verticalement (ex. « 4 à droite et 2 en bas »).
- Étape 2. Je reproduis exactement le même glissement à partir de M.
- Étape 3. Le point d'arrivée est M', l'image de M.
Exemple. Si A(2 ; 1) a pour image A'(6 ; 1), le glissement est « 4 carreaux vers la droite, 0 vers le haut ». Alors l'image de M(3 ; 4) est M'(7 ; 4).
Sans quadrillage : au compas et à la règle
On veut que AMM'A' forme un parallélogramme (éventuellement aplati). On peut donc tracer la parallèle à (AA') passant par M, puis reporter la longueur AA' dans le bon sens.
💡 Astuce sûre : [AM'] et [A'M] ont le même milieu. On dit que AA'M'M est un parallélogramme : AA' et MM' sont parallèles, de même longueur et de même sens.
4Construire l'image d'une figure par une translation
Pour obtenir l'image d'une figure entière, il suffit de translater chaque point important (les sommets, le centre d'un cercle…), puis de relier les images comme dans la figure de départ.
Méthode. 1) Je repère les sommets de la figure. 2) Je construis l'image de chaque sommet avec la même translation. 3) Je relie les images dans le même ordre. 4) Pour un cercle, je translate son centre et je garde le même rayon.
- Un segment [AB] a pour image le segment [A'B'], de même longueur.
- Un cercle a pour image un cercle de même rayon, dont le centre est l'image de l'ancien centre.
⚠️ Erreur fréquente : ne translater qu'un seul sommet. Il faut appliquer le même glissement à tous les sommets, sinon la figure se déforme.
5La rotation : centre, angle et sens
Une rotation fait tourner la figure autour d'un point fixe, comme une grande aiguille d'horloge qui tourne autour de son axe.
Une rotation est définie par :
- un centre O (le point autour duquel on tourne ; il ne bouge pas) ;
- un angle (de combien on tourne : 90°, 180°, 60°…) ;
- un sens de rotation : sens horaire (comme les aiguilles d'une montre) ou sens anti-horaire / trigonométrique (le sens inverse).
Sur le dessin, M tourne autour de O d'un quart de tour (90°) dans le sens anti-horaire et arrive en M'. La distance OM = OM' ne change pas.
💡 Quelques angles utiles : un quart de tour = 90°, un demi-tour = 180°, un tour complet = 360°. Pour un demi-tour (180°), le sens n'a pas d'importance : on arrive au même endroit dans les deux sens.
6Construire l'image d'un point par une rotation
On connaît le centre O, l'angle et le sens. On veut l'image M' d'un point M.
Méthode pas à pas.
- Étape 1. Je trace le segment [OM] et je mesure sa longueur (c'est le rayon).
- Étape 2. Au rapporteur, je trace à partir de [OM] un angle égal à l'angle demandé, dans le bon sens.
- Étape 3. Sur cette nouvelle demi-droite, je reporte la longueur OM : OM' = OM. Le point obtenu est M'.
Cas particuliers très faciles
- Le centre O lui-même : son image est lui-même (il ne bouge pas).
- Demi-tour (180°) : M' est le symétrique de M par rapport à O ; O est le milieu de [MM']. Pas besoin de rapporteur !
- Sur quadrillage, quart de tour (90°) autour de O : on échange et on adapte les déplacements horizontaux/verticaux (ex. « 3 à droite, 1 en haut » devient « 1 à gauche, 3 à droite » selon le sens).
⚠️ Bien préciser le sens : une rotation de 90° dans le sens horaire ne donne pas la même image qu'une rotation de 90° dans le sens anti-horaire.
7Construire l'image d'une figure par une rotation
Comme pour la translation, on construit l'image de la figure en faisant tourner chaque sommet, puis en reliant les images.
Méthode. 1) Je construis l'image de chaque sommet par la rotation (centre O, angle, sens). 2) Pour chaque sommet S, je trace [OS], je tourne de l'angle voulu et je reporte OS = OS'. 3) Je relie les images dans le même ordre. 4) Pour un cercle de centre I, j'obtiens un cercle de même rayon dont le centre est l'image I' de I.
💡 Vérification : pour chaque sommet S, on doit avoir OS = OS' et l'angle SÔS' égal à l'angle de la rotation. Si ce n'est pas le cas, il y a une erreur.
⚠️ Le centre O n'est pas forcément à l'intérieur de la figure : il peut être sur la figure, ou même à l'extérieur. La méthode reste la même.
8Les propriétés conservées
La translation et la rotation ne déforment jamais les figures. On dit qu'elles conservent de nombreuses propriétés.
| Ce qui est conservé | Translation | Rotation |
|---|
| les longueurs | oui | oui |
| les angles | oui | oui |
| l'aire (la surface) | oui | oui |
| le périmètre | oui | oui |
| l'alignement des points | oui | oui |
| le parallélisme & la perpendicularité | oui | oui |
| le milieu d'un segment | oui | oui |
À retenir. Une figure et son image par une translation ou une rotation sont superposables : mêmes longueurs, mêmes angles, même aire, même périmètre. On dit qu'on a une isométrie (« iso » = même, « métrie » = mesure).
💡 Conséquence pratique : si on demande l'aire ou le périmètre de l'image, inutile de tout recalculer : c'est la même valeur que la figure de départ.
⚠️ Différence importante avec la symétrie axiale : celle-ci retourne la figure (comme dans un miroir, elle change le sens). La translation et la rotation, elles, ne retournent pas la figure : on peut la faire glisser/tourner pour la superposer sans la décoller du plan.
9Pavages et frises
Les translations et les rotations servent à construire de beaux motifs répétés que l'on retrouve dans l'art, le carrelage ou la décoration.
Une frise est un motif qui se répète en se décalant toujours dans la même direction (souvent une bande horizontale) : on passe d'un motif au suivant par une translation.
Un pavage recouvre tout le plan avec des figures qui se répètent, sans trou ni chevauchement (comme le carrelage d'une salle de bain). On l'obtient en répétant un motif par des translations (et parfois des rotations).
- Dans une frise, on répète le motif par translations successives, toujours de la même longueur.
- Dans un pavage, on répète dans deux directions (par exemple vers la droite et vers le bas).
- Certains pavages utilisent des rotations (demi-tours, quarts de tour) pour emboîter les motifs : c'est le cas de nombreux carrelages et des œuvres de l'artiste Escher.
🎓 Récap express : translation = glissement (direction + sens + longueur) · rotation = tour autour d'un centre (centre + angle + sens) · pour une image, on transforme chaque sommet puis on relie · les deux conservent longueurs, angles, aires et périmètres · elles ne retournent pas la figure · frises et pavages répètent un motif par translations (et parfois rotations).