Ressources · 4ᵉ · Mathématiques
Translation : construire et propriétés
Rappels de 6e et de 5e (symétrie axiale, symétrie centrale, image et antécédent), translation qui transforme A en B (direction, sens, longueur), reconnaître une translation, lien avec le parallélogramme, construire une image sur quadrillage, dans un repère et au compas, antécédent et enchaînement de deux translations, propriétés conservées et justification, frises et pavages.
À propos de cette page
Rappels de 6e et de 5e : symétrie axiale et symétrie centrale
En 6e et en 5e, tu as vu deux transformations du plan : la symétrie axiale et la symétrie centrale. En 4e, on en ajoute une troisième, la translation. Commençons par revoir le vocabulaire et les deux symétries.
• Symétrie axiale d’axe (d) (6e) : M′ est le symétrique de M si (d) est perpendiculaire au segment [MM′] en son milieu (c’est la médiatrice de [MM′]). C’est un pliage le long de (d) : la figure image est retournée, comme dans un miroir. Les points de (d) ne bougent pas : on dit qu’ils sont invariants.
• Symétrie centrale de centre O (5e) : M′ est le symétrique de M si O est le milieu du segment [MM′]. C’est un demi-tour autour de O : la figure image a la tête en bas, sans effet miroir. Seul O ne bouge pas.
Les deux symétries conservent les longueurs, les mesures d’angles, les aires, l’alignement et les milieux : la figure image est superposable à la figure de départ.
Sur un quadrillage, l’axe (d) est vertical et le point A est à 4 carreaux à gauche de (d). Son symétrique A′ est sur la même ligne, à 4 carreaux à droite de (d) : AA′ = 8 carreaux.
Le point B est à 2 carreaux à droite et 3 carreaux au-dessous du centre O. De B à O, on fait 2 carreaux vers la gauche et 3 vers le haut ; on refait ce trajet après O : le symétrique B′ est à 2 carreaux à gauche et 3 carreaux au-dessus de O.
Dans un repère d’origine O, le symétrique de C(4 ; −1,5) par rapport à O est C′(−4 ; 1,5) : O est le milieu de [CC′], on change le signe des deux coordonnées.
Si le segment [EF] mesure 5,3 cm, son symétrique [E′F′], par rapport à une droite ou à un point, mesure aussi 5,3 cm.
Réflexe — image retournée comme dans un miroir : symétrie axiale ; image la tête en bas, sans effet miroir : symétrie centrale. Pour construire, je compte jusqu’à l’axe perpendiculairement (axiale), ou je prolonge le trajet au-delà du centre (centrale).
Attention — ne confonds pas les deux définitions : pour la symétrie centrale, O est le milieu de [MM′] ; pour la symétrie axiale, (d) coupe [MM′] perpendiculairement en son milieu. Et l’image, c’est le point d’arrivée : l’antécédent, c’est le point de départ.
1 / 5
La translation : un glissement
• même direction : celle de la droite (AB) ;
• même sens : de A vers B ;
• même longueur : AB.
On la représente par une flèche qui va de A à B. Pour trouver l’image M′ d’un point M, on fait partir de M la même flèche.
La figure image a la même orientation que la figure de départ : elle n’est ni retournée (symétrie axiale), ni tête en bas (symétrie centrale). Si A et B sont distincts, aucun point ne reste à sa place : aucun point n’est invariant.
La lettre ① a seulement glissé : chacun de ses points s’est déplacé de 5 carreaux vers la droite et 2 vers le haut, comme le montre la flèche. Elle a gardé son orientation : c’est l’image de la lettre noire par une translation.
La lettre ② est retournée comme dans un miroir : c’est une image par une symétrie axiale (l’axe vertical n’est pas tracé). La lettre ③ a la tête en bas : c’est une image par une symétrie centrale.
Dans la vie courante : un wagon sur une voie rectiligne, une marche d’escalier mécanique, un livre qu’on pousse tout droit sur une table glissent sans tourner ; chacun de leurs points fait le même déplacement : ce sont des translations.
Translation et parallélogramme
Réciproquement, si ABM′M est un parallélogramme, M′ est l’image de M par la translation qui transforme A en B.
La translation qui transforme D en E transforme F en G. Alors DEGF est un parallélogramme : (DE) et (FG) sont parallèles, et si DE = 4,7 cm, alors FG = 4,7 cm. Ses diagonales [DG] et [EF] ont le même milieu.
RSTU est un parallélogramme : c’est la forme ABM′M avec A = R, B = S, M′ = T et M = U. Donc la translation qui transforme R en S transforme U en T.
Réflexe — pour reconnaître une translation, je vérifie que la figure n’a ni tourné ni été retournée et que tous ses points ont fait le même déplacement. Dès qu’une translation apparaît, je pense parallélogramme : « A va en B, M va en M′, donc ABM′M est un parallélogramme ».
Attention — l’ordre des lettres compte : c’est ABM′M qui est un parallélogramme, pas ABMM′ (ce quadrilatère-là est croisé). Et la translation qui transforme A en B n’est pas celle qui transforme B en A : même direction, même longueur, mais sens contraire.
2 / 5
Construire l’image d’un point ou d’une figure
• Sur quadrillage : je compte le déplacement de A à B (par exemple 6 carreaux vers la droite et 2 vers le bas) et je refais exactement ce déplacement à partir de chaque point.
• Dans un repère : le déplacement horizontal est abscisse de B − abscisse de A, le déplacement vertical est ordonnée de B − ordonnée de A. Je les ajoute aux coordonnées de chaque point. Pour retrouver un antécédent, je fais le déplacement inverse : je les soustrais.
• Sur feuille blanche : M′ est le point tel que ABM′M soit un parallélogramme. Au compas, je trace l’arc de centre M et de rayon AB, puis l’arc de centre B et de rayon AM : M′ est celui de leurs points d’intersection pour lequel la flèche de M à M′ va dans le même sens que celle de A à B.
Sur le quadrillage, de E à F : 6 carreaux vers la droite et 2 vers le bas. Je refais ce déplacement à partir de K, de L et de M : j’obtiens K′, L′ et M′, et je relie K′, L′, M′ dans cet ordre. Les trois petites flèches sont parallèles, de même sens et de même longueur que la flèche de E à F.
Dans un repère, la translation qui transforme P(−2 ; 3) en P′(3 ; 1) : déplacement horizontal 3 − (−2) = 5, déplacement vertical 1 − 3 = −2. L’image de Q(1 ; −4) est Q′(1 + 5 ; −4 − 2), soit : revoir la symétrie axiale et la symétrie centrale ; comprendre l’effet d’une translation ; reconnaître une translation et la relier au parallélogramme ; transformer une figure par translation (quadrillage, repère, compas) ; utiliser la conservation des longueurs, des angles, des aires et du parallélisme ; identifier des translations dans des frises et des pavages.
Avec la même translation, l’antécédent de R′(0 ; 2,5) : je fais le déplacement inverse, 0 − 5 = −5 et 2,5 + 2 = 4,5 : R(−5 ; 4,5).
Sur feuille blanche, la construction au compas trace le parallélogramme ABM′M : MM′ = AB et BM′ = AM. Les deux cercles se coupent en deux points : le bon est celui qui donne une flèche de M à M′ de même sens que celle de A à B (être du même côté de (AB) que M ne suffit pas toujours).
Enchaîner deux translations
Faire une translation, puis une autre, revient à faire une seule translation : les déplacements s’ajoutent. Par exemple, un déplacement de 3 vers la droite et 1 vers le bas, puis un déplacement de 7 vers la gauche et 4 vers le haut, donnent en tout 3 − 7 = −4 et −1 + 4 = 3 : 4 vers la gauche et 3 vers le haut.
Réflexe — je calcule le déplacement une seule fois, de A vers B (arrivée − départ), puis je le reporte à l’identique à partir de chaque point ; je vérifie que la figure image a la même forme et la même orientation.
Attention — le déplacement se reporte à partir de chaque point de la figure, pas à partir de B. Et pour un antécédent, on recule : on soustrait le déplacement au lieu de l’ajouter.
3 / 5
Les propriétés conservées
• les longueurs, donc les périmètres ;
• les mesures d’angles (deux droites perpendiculaires ont des images perpendiculaires) ;
• les aires ;
• l’alignement et les milieux ;
• le parallélisme : deux droites parallèles ont des images parallèles.
L’image d’un segment est un segment parallèle et de même longueur. L’image d’une droite est une droite parallèle (la droite elle-même si elle a la direction de la translation). L’image d’un cercle est un cercle de même rayon, dont le centre est l’image du centre.
Le triangle P′Q′R′ est l’image du triangle PQR par une translation. PQ = 3,4 cm, donc P′Q′ = 3,4 cm, et [P′Q′] est parallèle à [PQ].
L’angle mesure 64°, donc l’angle mesure aussi 64°. Le triangle PQR a une aire de 7,2 cm² : P′Q′R′ aussi.
Si I est le milieu de [QR], alors son image I′ est le milieu de [Q′R′].
Justifier avec une propriété
La translation qui transforme A en B transforme C en C′ et D en D′, avec CD = 6,1 cm. Montrons que (C′D′) // (CD) et calculons C′D′.
On sait que [C′D′] est l’image de [CD] par une translation.
Or une translation transforme une droite en une droite parallèle, et elle conserve les longueurs.
Donc (C′D′) // (CD) et C′D′ = CD = 6,1 cm.
Réflexe — une mesure sur la figure image se lit sur la figure de départ : c’est la même. Pour justifier, j’écris « On sait que … est l’image de … par une translation. Or une translation conserve … Donc … ».
Attention — « conserver » ne veut pas dire « ne pas bouger » : la figure change de place, mais ses mesures restent les mêmes. Et une figure agrandie ou réduite n’est pas l’image par une translation : ses longueurs ont changé.
4 / 5
Frises et pavages
Un pavage recouvre tout le plan, sans trou ni chevauchement, avec un ou plusieurs motifs répétés. Deux motifs d’un pavage sont images l’un de l’autre par une translation quand ils ont exactement la même orientation ; la flèche va d’un point du premier au point correspondant du second. Si un motif est retourné ou tête en bas par rapport à l’autre, on passe de l’un à l’autre par une symétrie, pas par une translation.
Le fanion fait 1,8 cm de large et il est répété par une translation de 2,4 cm vers la droite ; le premier commence à 0,5 cm du bord. Entre deux fanions voisins, il reste 2,4 − 1,8 = 0,6 cm.
Le 6e fanion est l’image du 1er après 5 translations : il commence à 0,5 + 5 × 2,4 = 12,5 cm du bord, et il se termine à 12,5 + 1,8 = 14,3 cm.
Dans ce pavage par des triangles équilatéraux, le triangle ② a la pointe en haut comme le triangle ① : c’est son image par la translation représentée par la flèche. Tous les triangles pointe en haut sont des images du ① par des translations.
Le triangle ③ a la pointe en bas : on passe du ① au ③ par un demi-tour autour du milieu de leur côté commun (symétrie centrale), pas par une translation.
Réflexe — dans une frise, je compte les translations, pas les motifs : du 2e au 7e motif, il y a 7 − 2 = 5 translations. Dans un pavage, je cherche les motifs qui ont exactement la même orientation.
Attention — la longueur de la translation se mesure d’un point d’un motif au point correspondant du motif suivant (bord gauche à bord gauche), pas dans l’espace vide entre deux motifs.
5 / 5
Pour aller plus loin
Se verra en 3e — la rotation. Faire tourner une figure autour d’un point (le centre), d’un angle donné, dans un sens donné, c’est lui appliquer une rotation ; le demi-tour de 5e (symétrie centrale) est la rotation d’angle 180°. Comme la translation, une rotation conserve les longueurs, les angles et les aires ; on s’en sert pour les rosaces. L’homothétie, qui agrandit ou réduit une figure, viendra aussi en 3e.
Agrandir ou réduire — multiplier toutes les longueurs d’une figure par un même nombre la déforme en taille : ce n’est pas une translation. Voir Théorème de Thalès : triangles emboîtés.
- Symétrie axiale (6e) : (d) est perpendiculaire à [MM′] en son milieu, la figure est retournée. Symétrie centrale (5e) : O est le milieu de [MM′], la figure a la tête en bas.
- La translation qui transforme A en B fait glisser chaque point dans la direction de (AB), dans le sens de A vers B, d’une longueur AB : la figure garde son orientation.
- Si cette translation transforme M en M′, alors ABM′M est un parallélogramme : [MM′] est parallèle à [AB] et de même longueur.
- Construire : je reporte le même déplacement à partir de chaque sommet (carreaux, coordonnées : arrivée − départ) ; pour un antécédent, je soustrais.
- Une translation conserve longueurs, périmètres, angles, aires, alignement, milieux et parallélisme ; l’image d’une droite est une droite parallèle.
- Frise : un motif répété par une même translation ; du 1er au n-ième motif, il y a n − 1 translations. Pavage : les motifs de même orientation sont images l’un de l’autre par une translation.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre symétrie axiale et symétrie centrale ?
La symétrie axiale (6e) est un pliage le long d’une droite : l’image est retournée comme dans un miroir, et l’axe est perpendiculaire à [MM′] en son milieu. La symétrie centrale (5e) est un demi-tour autour d’un point O : l’image a la tête en bas, et O est le milieu de [MM′].
Qu’est-ce qu’une translation ?
La translation qui transforme A en B fait glisser tous les points dans la direction de (AB), dans le sens de A vers B, d’une longueur AB. La figure garde son orientation. Si elle transforme M en M′, alors ABM′M est un parallélogramme.
Comment construire l’image d’une figure par une translation ?
On reporte le même déplacement à partir de chaque sommet, puis on relie les images dans le même ordre. Dans un repère, le déplacement est arrivée − départ : la translation qui transforme P(−2 ; 3) en P′(3 ; 1) ajoute 5 aux abscisses et −2 aux ordonnées. Sur feuille blanche, on construit le parallélogramme au compas.
Que conserve une translation ?
Les longueurs, les périmètres, les mesures d’angles, les aires, l’alignement, les milieux et le parallélisme. L’image d’une droite est une droite parallèle, l’image d’un cercle est un cercle de même rayon. Seule la position change.
Quel est le lien entre une frise et une translation ?
Dans une frise, un motif est répété par une même translation : chaque motif est l’image du précédent. Du 1er au n-ième motif, il y a n − 1 translations. Dans un pavage, deux motifs de même orientation sont images l’un de l’autre par une translation.
Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.
Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au collège · Aide aux devoirs