Les cas d'égalité des triangles

Triangles égaux (superposables), éléments homologues, les trois cas d'égalité (trois côtés, un angle entre deux côtés, un côté entre deux angles), démontrer que deux triangles sont égaux puis en déduire des longueurs ou des angles, lien avec les isométries

À propos de cette page

Ce QCM sur « Les cas d'égalité des triangles » en quatrième teste tes connaissances en mathématiques de manière interactive. Les questions, classées par niveau (facile, moyen, difficile), respectent le programme officiel de quatrième. Au programme : Triangles égaux, Éléments homologues, Premier cas : trois côtés, Deuxième cas : un angle entre deux côtés. À chaque réponse, une explication détaillée t'aide à comprendre tes erreurs et à mémoriser l'essentiel. Idéal pour s'auto-évaluer rapidement, réviser avant un contrôle ou consolider ses acquis. Quiz gratuit conçu par un professeur particulier à Marseille pour progresser en mathématiques en quatrième.

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Les 36 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile — 12 questions

Deux triangles sont égaux lorsqu'ils…
- A. ont la même aire
- B. sont superposables
- C. ont le même périmètre
- D. ont un sommet commun
Réponse
B. sont superposables — C'est la définition : on peut poser l'un exactement sur l'autre.
$A B C$ et $D E F$ sont égaux, avec $A \leftrightarrow D$ , $B \leftrightarrow E$ , $C \leftrightarrow F$ . Le côté homologue de $[A C]$ est…
- A. $[D E]$
- B. $[E F]$
- C. $[A D]$
- D. $[D F]$
Réponse
D. $[D F]$ — $A \leftrightarrow D$ et $C \leftrightarrow F$ , donc $[A C] \leftrightarrow [D F]$ .
Le premier cas d'égalité demande que les deux triangles aient…
- A. trois angles égaux
- B. deux côtés égaux
- C. deux angles égaux
- D. trois côtés égaux
Réponse
D. trois côtés égaux — Trois côtés respectivement de même longueur suffisent.
Dans le cas « un angle entre deux côtés », l'angle utilisé est…
- A. celui formé par ces deux côtés
- B. le plus grand angle du triangle
- C. un angle droit obligatoirement
- D. n'importe quel angle du triangle
Réponse
A. celui formé par ces deux côtés — L'angle doit avoir pour sommet l'extrémité commune des deux côtés.
Deux triangles équilatéraux de côtés $3$ cm et $5$ cm…
- A. ne sont pas égaux
- B. sont égaux car ils ont les mêmes angles
- C. sont égaux car ils sont équilatéraux
- D. ont le même périmètre
Réponse
A. ne sont pas égaux — Mêmes angles ( $60^{\circ}$ ) mais tailles différentes : pas superposables.
Deux triangles égaux ont toujours…
- A. la même position
- B. la même orientation
- C. la même aire
- D. un sommet commun
Réponse
C. la même aire — Superposables, ils couvrent la même surface ; la position et l'orientation peuvent changer.
Le troisième cas d'égalité utilise…
- A. deux côtés et l'angle qu'ils forment
- B. trois angles de même mesure
- C. un angle et les deux côtés opposés
- D. un côté et ses deux angles adjacents
Réponse
D. un côté et ses deux angles adjacents — Un côté de même longueur et les deux angles situés à ses extrémités.
$A B C$ et $D E F$ sont égaux ( $A \leftrightarrow D$ , $B \leftrightarrow E$ , $C \leftrightarrow F$ ) et $\hat{A} = 72^{\circ}$ . Alors…
- A. $\hat{E} = 72^{\circ}$
- B. $\hat{D} = 72^{\circ}$
- C. $\hat{F} = 72^{\circ}$
- D. $\hat{D} = 108^{\circ}$
Réponse
B. $\hat{D} = 72^{\circ}$ — L'angle homologue de $\hat{A}$ est $\hat{D}$ : même mesure.
Si $A B = D E$ , $B C = E F$ et $A C = D F$ , les triangles $A B C$ et $D E F$ sont égaux d'après…
- A. le cas des trois côtés
- B. le cas des trois angles
- C. le théorème de Pythagore
- D. le cas d'un côté et deux angles
Réponse
A. le cas des trois côtés — Trois côtés respectivement égaux : premier cas.
Une symétrie axiale transforme un triangle en…
- A. un triangle plus grand
- B. un triangle égal
- C. un triangle plus petit
- D. un triangle d'aire double
Réponse
B. un triangle égal — Une symétrie conserve les longueurs et les angles : l'image est superposable (en retournant le calque).
Les triangles $M N P$ et $M N Q$ ont un côté commun. Lequel ?
- A. $[M P]$
- B. $[N Q]$
- C. $[M N]$
- D. $[P Q]$
Réponse
C. $[M N]$ — $M$ et $N$ sont des sommets des deux triangles : $[M N]$ leur appartient à tous les deux.
Deux triangles qui ont la même aire sont…
- A. toujours égaux
- B. égaux s'ils sont rectangles
- C. pas forcément égaux
- D. jamais égaux
Réponse
C. pas forcément égaux — Exemple : triangles isocèles $5$ - $5$ - $6$ et $5$ - $5$ - $8$ , tous deux de $12$ cm².

Niveau moyen — 12 questions

$P Q R$ : $P Q = 5$ , $Q R = 6$ , $P R = 8$ . $X Y Z$ : $X Y = 6$ , $Y Z = 8$ , $X Z = 5$ . L'homologue de $P$ est…
- A. $X$
- B. $Y$
- C. $Z$
- D. aucun : ils ne sont pas égaux
Réponse
C. $Z$ — De $P$ partent les côtés de $5$ et $8$ ; de $Z$ aussi ( $X Z = 5$ , $Y Z = 8$ ).
Deux triangles ont deux côtés de mêmes longueurs ( $4$ cm et $6$ cm). Pour qu'ils soient égaux, il suffit en plus…
- A. qu'un angle quelconque soit égal dans les deux
- B. que l'angle formé par ces côtés soit le même
- C. qu'ils aient tous les deux la même aire
- D. qu'ils soient rectangles tous les deux
Réponse
B. que l'angle formé par ces côtés soit le même — C'est le deuxième cas : l'angle compris entre les deux côtés.
$A B C$ et $M N P$ sont égaux ; $A B = 7, 5$ cm, $B C = 6$ cm, $A C = 4, 5$ cm. Le périmètre de $M N P$ vaut…
- A. $18$ cm
- B. $36$ cm
- C. $13, 5$ cm
- D. $12$ cm
Réponse
A. $18$ cm — Mêmes côtés, même périmètre : $7, 5 + 6 + 4, 5 = 18$ cm.
$A^{'} B^{'} C^{'}$ est l'image de $A B C$ par une translation. $A C = 4, 6$ cm et $\hat{A} = 72^{\circ}$ . Alors…
- A. $A^{'} C^{'} = 4, 6$ cm et $\hat{A^{'}} = 72^{\circ}$
- B. $A^{'} C^{'} = 4, 6$ cm mais $\hat{A^{'}}$ peut changer
- C. $\hat{A^{'}} = 72^{\circ}$ mais $A^{'} C^{'}$ peut changer
- D. $A^{'} C^{'} = 9, 2$ cm et $\hat{A^{'}} = 72^{\circ}$
Réponse
A. $A^{'} C^{'} = 4, 6$ cm et $\hat{A^{'}} = 72^{\circ}$ — Une translation conserve longueurs et angles : les triangles sont égaux.
Un triangle a pour côtés $4$ cm, $5$ cm, $6$ cm ; un autre a pour côtés $6$ cm, $4$ cm, $5$ cm. Ils sont…
- A. non égaux : les côtés sont dans un autre ordre
- B. égaux seulement sans retourner le calque
- C. impossibles à comparer sans les angles
- D. égaux
Réponse
D. égaux — Les trois longueurs sont les mêmes : premier cas. L'ordre d'écriture n'a pas d'importance.
Avec trois segments de $5$ cm, $7$ cm et $10$ cm, combien de triangles non superposables peut-on construire ?
- A. $0$
- B. $1$
- C. $2$
- D. $6$
Réponse
B. $1$ — Trois longueurs fixent le triangle à la position près : tous les triangles obtenus sont égaux.
$A B C$ et $D E F$ sont égaux ( $A \leftrightarrow D$ , $B \leftrightarrow E$ , $C \leftrightarrow F$ ). $A B = 5$ cm, $D F = 7$ cm et le périmètre de $A B C$ vaut $17$ cm. Alors $E F =$ …
- A. $7$ cm
- B. $12$ cm
- C. $10$ cm
- D. $5$ cm
Réponse
D. $5$ cm — $A C = D F = 7$ , donc $B C = 17 - 5 - 7 = 5$ cm, et $E F = B C = 5$ cm.
$A B C$ et $D E F$ sont égaux ( $A \leftrightarrow D$ , $B \leftrightarrow E$ , $C \leftrightarrow F$ ), avec $A B = 2 x + 1$ et $D E = 9$ . Alors $x =$ …
- A. $5$
- B. $9$
- C. $4$
- D. $3, 5$
Réponse
C. $4$ — $A B = D E$ : $2 x + 1 = 9$ , donc $x = 4$ .
Un triangle a une aire de $9$ cm². Son image par une symétrie axiale a une aire de…
- A. $18$ cm²
- B. $4, 5$ cm²
- C. $15$ cm²
- D. $9$ cm²
Réponse
D. $9$ cm² — L'image est un triangle égal : même aire.
$A B C$ et $D E F$ sont égaux ( $A \leftrightarrow D$ , $B \leftrightarrow E$ , $C \leftrightarrow F$ ), $\hat{A} = 40^{\circ}$ et $\hat{E} = 75^{\circ}$ . Alors $\hat{F} =$ …
- A. $75^{\circ}$
- B. $40^{\circ}$
- C. $65^{\circ}$
- D. $115^{\circ}$
Réponse
C. $65^{\circ}$ — $\hat{B} = \hat{E} = 75^{\circ}$ , donc $\hat{C} = 180 - 40 - 75 = 65^{\circ} = \hat{F}$ .
$A B = D E = 6$ cm, $B C = E F = 7$ cm, $A C = 8$ cm et $D F = 8, 5$ cm. Les triangles $A B C$ et $D E F$ …
- A. sont égaux (trois côtés)
- B. ne sont pas égaux
- C. sont égaux (deux côtés suffisent)
- D. sont peut-être égaux
Réponse
B. ne sont pas égaux — Les longueurs $6$ - $7$ - $8$ et $6$ - $7$ - $8, 5$ diffèrent : les triangles ne peuvent pas être superposables.
$A B C$ et $D E F$ sont égaux ( $A \leftrightarrow D$ , $B \leftrightarrow E$ , $C \leftrightarrow F$ ), $\hat{B} = 90^{\circ}$ , $A B = 3$ cm, $B C = 4$ cm. L'aire de $D E F$ vaut…
- A. $6$ cm²
- B. $12$ cm²
- C. $7$ cm²
- D. $3, 5$ cm²
Réponse
A. $6$ cm² — $D E F$ est rectangle en $E$ avec $D E = 3$ et $E F = 4$ : $3 \times 4 \div 2 = 6$ cm².

Niveau difficile — 12 questions

$A B C$ et $D E F$ sont égaux ( $A \leftrightarrow D$ , $B \leftrightarrow E$ , $C \leftrightarrow F$ ) et $A B C$ est isocèle en $A$ . Alors…
- A. $D E F$ est isocèle en $E$
- B. $D E F$ est équilatéral
- C. $D E F$ n'est pas forcément isocèle
- D. $D E F$ est isocèle en $D$
Réponse
D. $D E F$ est isocèle en $D$ — $A B = A C$ donne $D E = D F$ : isocèle en $D$ .
Deux triangles ont chacun des angles de $30^{\circ}$ , $60^{\circ}$ et $90^{\circ}$ . On peut affirmer que…
- A. ils sont égaux (trois angles)
- B. ils peuvent ne pas être égaux
- C. ils ont le même périmètre
- D. ils sont égaux car rectangles
Réponse
B. ils peuvent ne pas être égaux — Les angles fixent la forme, pas la taille : l'un peut être un agrandissement de l'autre.
$A B C$ et $R S T$ sont égaux. $\hat{A} = 90^{\circ}$ , $\hat{B} = 35^{\circ}$ ; $\hat{S} = 55^{\circ}$ , $\hat{T} = 90^{\circ}$ . L'homologue de $[A B]$ est…
- A. $[R S]$
- B. $[S T]$
- C. $[T R]$
- D. on ne peut pas savoir
Réponse
C. $[T R]$ — $A \leftrightarrow T$ ( $90^{\circ}$ ), $\hat{R} = 35^{\circ}$ donc $B \leftrightarrow R$ : $[A B] \leftrightarrow [T R]$ .
Un élève écrit : « $A B = D E$ , $A C = D F$ et $\hat{B} = \hat{E}$ , donc $A B C$ et $D E F$ sont égaux (un angle entre deux côtés) ». Son erreur :
- A. aucune, le raisonnement est juste
- B. $\hat{B}$ n'est pas l'angle compris
- C. il fallait citer le cas des trois côtés
- D. deux côtés ne suffisent jamais ensemble
Réponse
B. $\hat{B}$ n'est pas l'angle compris — L'angle compris entre $[A B]$ et $[A C]$ est $\hat{A}$ , pas $\hat{B}$ .
$A B = D E$ , $B C = E F$ et les triangles $A B C$ et $D E F$ ont le même périmètre. Ils sont…
- A. égaux, cas des trois côtés
- B. pas forcément égaux : aucun angle n'est connu
- C. égaux, cas d'un angle entre deux côtés
- D. pas égaux : il manque $A C$ et $D F$
Réponse
A. égaux, cas des trois côtés — Même périmètre et deux côtés égaux : le troisième côté est égal aussi ( $A C = D F$ ), d'où le premier cas.
Deux triangles ont un côté de $6$ cm et des angles de $40^{\circ}$ , $60^{\circ}$ , $80^{\circ}$ . Dans le premier, le côté de $6$ cm est entre les angles de $40^{\circ}$ et $60^{\circ}$ ; dans le second, entre ceux de $40^{\circ}$ et $80^{\circ}$ . Alors…
- A. ils sont égaux (un côté entre deux angles)
- B. ils sont égaux : mêmes angles, même côté
- C. on ne peut rien conclure
- D. ils ne sont pas égaux
Réponse
D. ils ne sont pas égaux — Le côté de $6$ cm fait face à $80^{\circ}$ dans l'un et à $60^{\circ}$ dans l'autre : il n'est pas placé de la même façon, les triangles ne sont pas superposables.
Pour superposer le calque de $A B C$ sur $D E F$ , il faut le retourner. On passe de $A B C$ à $D E F$ par…
- A. une translation seule
- B. une rotation seule
- C. une symétrie axiale (au moins)
- D. une symétrie centrale seule
Réponse
C. une symétrie axiale (au moins) — Translation, rotation et symétrie centrale ne retournent pas la figure ; seule une symétrie axiale le fait.
Deux triangles rectangles ont la même hypoténuse ( $10$ cm) et un côté de l'angle droit de $6$ cm. Ils sont…
- A. égaux
- B. pas forcément égaux
- C. égaux seulement s'ils sont isocèles
- D. impossibles à comparer sans un angle
Réponse
A. égaux — Le troisième côté vaut $8$ cm dans les deux ( $10^{2} - 6^{2} = 64$ ) : premier cas.
$A B = D E = 5$ cm, $\hat{A} = \hat{D} = 50^{\circ}$ et $\hat{C} = \hat{F} = 60^{\circ}$ . Les triangles $A B C$ et $D E F$ sont…
- A. égaux, après calcul de $\hat{B}$ et $\hat{E}$
- B. pas forcément égaux : $\hat{C}$ n'est pas adjacent à $[A B]$
- C. égaux, cas des trois côtés
- D. pas égaux : il manque un côté
Réponse
A. égaux, après calcul de $\hat{B}$ et $\hat{E}$ — $\hat{B} = \hat{E} = 70^{\circ}$ : $[A B]$ et $[D E]$ sont entre des angles de $50^{\circ}$ et $70^{\circ}$ , troisième cas.
$A B C$ et $D E F$ sont égaux ( $A \leftrightarrow D$ , $B \leftrightarrow E$ , $C \leftrightarrow F$ ). Un élève en déduit $A B = E F$ . Qu'en penser ?
- A. il a raison
- B. $[A B]$ a pour homologue $[D E]$ , pas $[E F]$
- C. il fallait écrire $A B = F E$
- D. il fallait d'abord citer un cas d'égalité précis
Réponse
B. $[A B]$ a pour homologue $[D E]$ , pas $[E F]$ — L'ordre des lettres donne les homologues : $[A B] \leftrightarrow [D E]$ .
$A B = D E$ , $A C = D F$ et $\hat{A} = \hat{D}$ . Quelle égalité ne peut-on PAS en déduire ?
- A. $B C = E F$
- B. $\hat{B} = \hat{E}$
- C. $\hat{C} = \hat{F}$
- D. $\hat{B} = \hat{F}$
Réponse
D. $\hat{B} = \hat{F}$ — Les triangles sont égaux avec $B \leftrightarrow E$ et $C \leftrightarrow F$ : $\hat{B}$ et $\hat{F}$ ne sont pas homologues.
$A B C$ et $D E F$ sont égaux ; $A B = B C = 5$ cm, $A C = 7$ cm et $D E = 7$ cm. On peut affirmer que…
- A. $D$ est l'homologue de $A$
- B. $E$ est l'homologue de $B$
- C. $F$ est l'homologue de $B$
- D. $E F = 7$ cm
Réponse
C. $F$ est l'homologue de $B$ — $[D E]$ correspond au seul côté de $7$ cm, $[A C]$ : $D$ et $E$ correspondent à $A$ et $C$ (dans un ordre inconnu), donc $F$ à $B$ .

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