Angles et parallélisme

1. a)$90-36,5=53,5^{\circ }$. (1)
2. b)$180-98={82}^{\circ }$. (1)
3. c)${127}^{\circ }$ (opposé), ${53}^{\circ }$ et ${53}^{\circ }$ (supplémentaires). (1)
4. d)$5x=90$, $x={18}^{\circ }$ et $4x={72}^{\circ }$. (1)

Repère — complémentaires : 90° ; supplémentaires : 180° ; opposés par le sommet : égaux — trois faits à mobiliser sans hésiter.

1. a)Je sais que $(d_1)\parallel (d_2)$ ; or des parallèles coupées par une sécante forment des correspondants égaux ; donc ${66}^{\circ }$. (1)
2. b)${66}^{\circ }$ (alternes-internes égaux). (1)
3. c)$180-66={114}^{\circ }$ (deux angles). (1)
4. d)Non : $68\ne 66$, $(d_3)$ n'est pas parallèle à $(d_1)$, aucune égalité d'angles n'est garantie. (1)

Le point clé — l'hypothèse « parallèles » est ce qui déclenche l'égalité des angles ; sans elle, les noms « alternes-internes » ou « correspondants » ne donnent aucune information.

1. a)$180-128,5=51,5^{\circ }$. (1)
2. b)$\hat{T}={64}^{\circ }$, donc $\hat{R}=180-128={52}^{\circ }$. (1)
3. c)$3\hat{F}=90$, $\hat{F}={30}^{\circ }$, $\hat{D}={60}^{\circ }$. (1)
4. d)$6x+12=180$, $x=28$ : angles ${38}^{\circ }$, ${51}^{\circ }$, ${91}^{\circ }$ ; oui, ${91}^{\circ }$ est obtus. (1)

Astuce — quand les angles sont donnés par des expressions, écrire « somme = 180° » fournit toujours l'équation ; vérifier ensuite que les trois valeurs trouvées se somment bien à 180°.

1. a)Faux : seulement si les droites sont parallèles. (1)
2. b)Faux : deux angles obtus dépassent ${180}^{\circ }$ à eux seuls. (1)
3. c)Vrai : c'est la propriété réciproque. (1)
4. d)Vrai : que ${60}^{\circ }$ soit au sommet ou à la base, les trois angles valent ${60}^{\circ }$. (1)

Erreur fréquente — confondre la propriété directe (parallèles ⟹ angles égaux) et sa réciproque (angles égaux ⟹ parallèles) : les deux sont vraies, mais on doit citer celle qui correspond à ce qu'on cherche.

1. a)Angle formé par le prolongement : $180-112={68}^{\circ }$ ; correspondant de $\widehat{ADC}$, donc $\widehat{ADC}={68}^{\circ }$. (1)
2. b)$180-74={106}^{\circ }$ ; correspondant de $\widehat{BCD}$, donc $\widehat{BCD}={106}^{\circ }$. (1)
3. c)$\widehat{ACD}$ et $\widehat{BAC}$ sont alternes-internes pour la sécante $(AC)$ et les parallèles $(AB)$, $(DC)$ : ${47}^{\circ }$. (1)
4. d)$\widehat{DAC}=112-47={65}^{\circ }$ ; $65+68+47={180}^{\circ }$. (1)

Attention — dans une figure complexe, on isole une sécante et les deux parallèles concernées avant de nommer la paire d'angles : la diagonale [AC] est une sécante comme une autre.