Que veut dire « éléments homologues » ?

Quand on superpose deux triangles égaux, les sommets, les côtés et les angles qui coïncident sont homologues. Si les triangles ABC et DEF sont égaux dans cet ordre, alors AB = DE, BC = EF, AC = DF et A = D, B = E, C = F.

Deux triangles qui ont les mêmes angles sont-ils égaux ?

Non. Deux triangles équilatéraux de côtés 2 cm et 5 cm ont tous leurs angles égaux à 60^, mais ils ne sont pas superposables : les angles fixent la forme, pas la taille. Il faut au moins une longueur, bien placée.

Comment rédiger une démonstration avec un cas d'égalité ?

On nomme les deux triangles, on écrit trois égalités en justifiant chacune (hypothèse, milieu, côté commun, angles opposés par le sommet...), on cite le cas d'égalité, on conclut en écrivant les triangles dans l'ordre des sommets homologues, puis on en déduit la longueur ou l'angle cherché.

Mathématiques 4ᵉ

Ressources · 4ᵉ · Mathématiques

Les cas d'égalité des triangles

Q: Quels sont les trois cas d'égalité des triangles ?

Deux triangles sont égaux s'ils ont : leurs trois côtés respectivement de même longueur ; ou un angle de même mesure compris entre deux côtés respectivement de même longueur ; ou un côté de même longueur et les deux angles adjacents à ce côté respectivement de même mesure.

Triangles égaux (superposables), éléments homologues, les trois cas d'égalité (trois côtés, un angle entre deux côtés, un côté entre deux angles), démontrer que deux triangles sont égaux puis en déduire des longueurs ou des angles, lien avec les isométries

À propos de cette page

Ce cours de mathématiques en quatrième sur « Les cas d'égalité des triangles » suit le programme officiel de mathématiques de quatrième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Triangles égaux, Éléments homologues, Premier cas : trois côtés, Deuxième cas : un angle entre deux côtés. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de quatrième à réussir en mathématiques.

Triangles égaux

Deux triangles peuvent avoir exactement la même forme et la même taille tout en étant placés ailleurs, tournés ou retournés : on dit qu'ils sont égaux.

Définition. Deux triangles sont égaux lorsqu'ils sont superposables : en décalquant l'un, on peut poser le calque exactement sur l'autre, quitte à le faire glisser, tourner ou le retourner.

Propriété. Si deux triangles sont égaux, alors leurs trois côtés sont deux à deux de même longueur et leurs trois angles deux à deux de même mesure. Ils ont donc aussi le même périmètre et la même aire.

Attention ! L'inverse est faux : deux triangles de même aire ne sont pas forcément égaux. Le triangle isocèle de côtés

5

cm,

5

cm,

6

cm (hauteur

4

cm) et celui de côtés

5

cm,

5

cm,

8

cm (hauteur

3

cm) ont tous deux une aire de

12

cm², mais leurs bases sont différentes : ils ne sont pas superposables.

Astuce. Deux triangles égaux n'ont besoin ni de la même position ni de la même orientation : seules comptent les longueurs et les angles.

Éléments homologues

Définition. Quand deux triangles égaux sont superposés, les sommets, les côtés et les angles qui coïncident sont dits homologues. On écrit les deux triangles en plaçant les sommets homologues dans le même ordre.

« Les triangles $A B C$ et $D E F$ sont égaux » signifie : $A$ et $D$ , $B$ et $E$ , $C$ et $F$ sont homologues. On peut alors écrire directement :

Sommets	$A \leftrightarrow D$	$B \leftrightarrow E$	$C \leftrightarrow F$
Côtés	$A B = D E$	$B C = E F$	$A C = D F$
Angles	$\hat{A} = \hat{D}$	$\hat{B} = \hat{E}$	$\hat{C} = \hat{F}$

Exemple. Les triangles

R S T

X Y Z

sont égaux, avec

R S = 5

cm,

S T = 7

cm,

R T = 9

cm et

X Y = 9

cm,

Y Z = 7

cm,

X Z = 5

cm.

R

est l'extrémité commune des côtés de

5

9

cm ; dans

X Y Z

, c'est

X

R \leftrightarrow X

.
De même

S \leftrightarrow Z

(côtés de

5

7

cm) et

T \leftrightarrow Y

(côtés de

7

9

cm).
On écrit : les triangles

R S T

X Z Y

sont égaux.

Astuce. Pour trouver l'homologue d'un sommet, regarde les deux côtés qui en partent : son homologue est le sommet d'où partent deux côtés de mêmes longueurs. Et un côté a pour homologue le côté qui fait face à l'angle homologue.

Premier cas : trois côtés

Cas n° 1 (trois côtés, noté CCC). Si deux triangles ont leurs trois côtés respectivement de même longueur, alors ils sont égaux.

Exemple.

A B C

A B = 4

cm,

B C = 6

cm,

A C = 7

cm.

E F G

E F = 7

cm,

F G = 4

cm,

E G = 6

cm.
Les longueurs sont les mêmes (

4

6

7

cm) : d'après le premier cas, les triangles sont égaux.
Homologues :

A \leftrightarrow F

(côtés de

4

7

cm),

B \leftrightarrow G

(côtés de

4

6

cm),

C \leftrightarrow E

(côtés de

6

7

cm). Donc

A B C

F G E

sont égaux, et

\hat{A} = \hat{F}

\hat{B} = \hat{G}

\hat{C} = \hat{E}

Pourquoi ça marche ? Pour construire un triangle dont on connaît les trois côtés, on trace un côté puis deux arcs de cercle au compas. Les arcs se coupent en deux points symétriques par rapport à ce côté, qui donnent deux triangles superposables (en retournant le calque). Trois longueurs fixent donc le triangle, à la position près.

Attention ! Les longueurs n'ont pas à être données dans le même ordre de lettres : on compare les valeurs, puis on en déduit les homologues. Pense aussi à convertir dans la même unité.

Deuxième cas : un angle entre deux côtés

Cas n° 2 (un angle entre deux côtés, noté CAC). Si deux triangles ont un angle de même mesure compris entre deux côtés respectivement de même longueur, alors ils sont égaux.

Exemple.

A B C

A B = 5

cm,

A C = 8

cm,

\hat{A} = 40^{\circ}

M N P

M N = 5

cm,

M P = 8

cm,

\hat{M} = 40^{\circ}

.
L'angle

\hat{A}

est compris entre

[A B]

[A C]

, l'angle

\hat{M}

entre

[M N]

[M P]

: d'après le deuxième cas, les triangles

A B C

M N P

sont égaux (

A \leftrightarrow M

B \leftrightarrow N

C \leftrightarrow P

).
On en déduit

B C = N P

\hat{B} = \hat{N}

\hat{C} = \hat{P}

, sans rien mesurer.

Attention ! « Compris entre » veut dire : le sommet de l'angle est l'extrémité commune des deux côtés. Entre

[A B]

[A C]

, c'est

\hat{A}

; entre

[A B]

[B C]

, c'est

\hat{B}

. Un autre angle ne convient pas.

Image mentale. Un compas ouvert : les deux branches sont les deux côtés, l'ouverture est l'angle. Branches et ouverture fixées, l'écart entre les pointes (le troisième côté) est imposé.

Troisième cas : un côté entre deux angles

Cas n° 3 (un côté entre deux angles, noté ACA). Si deux triangles ont un côté de même longueur et les deux angles adjacents à ce côté respectivement de même mesure, alors ils sont égaux.

Exemple.

A B C

B C = 6

cm,

\hat{B} = 50^{\circ}

\hat{C} = 70^{\circ}

D E F

E F = 6

cm,

\hat{E} = 50^{\circ}

\hat{F} = 70^{\circ}

.
Les angles

\hat{B}

\hat{C}

sont aux deux extrémités de

[B C]

, les angles

\hat{E}

\hat{F}

aux deux extrémités de

[E F]

: d'après le troisième cas,

A B C

D E F

sont égaux. Donc

A B = D E

A C = D F

\hat{A} = \hat{D} = 180 - 50 - 70 = 60^{\circ}

Astuce : le troisième angle. La somme des angles d'un triangle vaut

180^{\circ}

: connaître deux angles, c'est connaître le troisième. Exemple :

R S T

avec

S T = 6

cm,

\hat{S} = 50^{\circ}

\hat{R} = 60^{\circ}

. Alors

\hat{T} = 70^{\circ}

: le côté

[S T]

est entre des angles de

50^{\circ}

70^{\circ}

, et

R S T

est égal à

A B C

(

S \leftrightarrow B

T \leftrightarrow C

R \leftrightarrow A

Attention ! Le côté doit être placé de la même façon dans les deux triangles : s'il fait face à l'angle de

70^{\circ}

dans l'un et à l'angle de

50^{\circ}

dans l'autre, les triangles ne sont pas égaux.

Ce qui ne suffit pas

Trois égalités bien choisies suffisent ; mal choisies, elles ne prouvent rien. Voici le bilan.

On sait que les triangles ont…	Conclusion
trois côtés égaux deux à deux	égaux (cas n° 1)
deux côtés égaux et l'angle compris égal	égaux (cas n° 2)
un côté égal et ses deux angles adjacents égaux	égaux (cas n° 3)
un côté et deux angles égaux, placés de la même façon	égaux, après calcul du troisième angle
trois angles égaux	pas forcément égaux
deux côtés égaux et un angle non compris	pas forcément égaux
seulement la même aire, ou le même périmètre	pas forcément égaux

Trois angles ne suffisent pas. Deux triangles équilatéraux de côtés

2

cm et

5

cm ont tous leurs angles égaux à

60^{\circ}

: même forme, mais pas même taille.

Un angle non compris ne suffit pas. On veut

A B = 8

cm,

\hat{A} = 30^{\circ}

B C = 5

cm. Le cercle de centre

B

et de rayon

5

cm coupe la demi-droite d'origine

A

en deux points

C_{1}

C_{2}

. Les triangles

A B C_{1}

A B C_{2}

respectent les trois données, mais

A C_{1} \approx 3, 9

cm et

A C_{2} \approx 9, 9

cm : ils ne sont pas égaux.

Démontrer puis en déduire

Les cas d'égalité servent surtout à démontrer qu'une longueur ou un angle est égal à un autre : on les voit comme des éléments homologues de deux triangles égaux.

Méthode. ① Nommer les deux triangles à comparer. ② Écrire trois égalités, chacune avec sa justification (hypothèse, milieu, côté commun, angles opposés par le sommet, somme des angles...). ③ Citer le cas d'égalité. ④ Conclure en écrivant les triangles dans l'ordre des homologues. ⑤ En déduire l'égalité cherchée.

Exemple rédigé.

I

est le milieu de

[A B]

, la droite

(d)

est perpendiculaire à

(A B)

I

M

est un point de

(d)

distinct de

I

. Démontrons que

M A = M B

.
« Dans les triangles

M I A

M I B

:
•

I A = I B

car

I

est le milieu de

[A B]

;
•

\hat{M I A} = \hat{M I B} = 90^{\circ}

car

(d) ⟂ (A B)

;
•

[M I]

est un côté commun.
D'après le cas d'un angle compris entre deux côtés, les triangles

M I A

M I B

sont égaux (

M \leftrightarrow M

I \leftrightarrow I

A \leftrightarrow B

).
Les côtés

[M A]

[M B]

sont homologues, donc

M A = M B

. »
On vient de démontrer la propriété de la médiatrice.

Attention ! On ne déduit une égalité qu'entre éléments homologues. Écrire les triangles dans le bon ordre évite de conclure

M A = I B

par erreur.

Triangles égaux et isométries

Propriété. La symétrie axiale, la symétrie centrale, la translation et la rotation conservent les longueurs et les angles : ce sont des isométries. L'image d'un triangle par une isométrie est un triangle égal, et chaque sommet a pour homologue son image.
Réciproquement, deux triangles égaux se déduisent l'un de l'autre par une de ces transformations ou par un enchaînement de plusieurs d'entre elles.

Exemple.

A^{'} B^{'} C^{'}

est l'image de

A B C

par la rotation de centre

O

et d'angle

90^{\circ}

. Sans aucune mesure, les triangles

A B C

A^{'} B^{'} C^{'}

sont égaux, avec

A \leftrightarrow A^{'}

B \leftrightarrow B^{'}

C \leftrightarrow C^{'}

A^{'} B^{'} = A B

\hat{B^{'}} = \hat{B}

, et les deux triangles ont la même aire.

Le calque, encore. Si l'on superpose les triangles sans retourner le calque, on passe de l'un à l'autre par une translation ou une rotation (la symétrie centrale est une rotation d'un demi-tour). S'il faut retourner le calque, une symétrie axiale intervient.

Attention ! Un agrandissement ou une réduction ne conserve pas les longueurs : ce n'est pas une isométrie, et l'image n'est pas un triangle égal.

En bref

Deux triangles sont égaux s'ils sont superposables ; leurs éléments homologues (sommets, côtés, angles qui coïncident) sont égaux.
On écrit les triangles dans l'ordre des homologues : $A B C$ et $D E F$ égaux donne $A B = D E$ , $\hat{B} = \hat{E}$ , etc.
Cas n° 1 : trois côtés respectivement égaux.
Cas n° 2 : un angle égal compris entre deux côtés respectivement égaux.
Cas n° 3 : un côté égal et ses deux angles adjacents respectivement égaux (deux angles donnent le troisième : $180^{\circ}$ ).
Ne suffisent pas : trois angles, deux côtés et un angle non compris, même aire, même périmètre.
Démonstration : trois égalités justifiées, le cas cité, la conclusion, puis la déduction.
Symétries, translation, rotation conservent longueurs et angles : l'image d'un triangle est un triangle égal.

Bloqué sur ce chapitre ?

Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.

Réserver un 1^er cours → Voir les tarifs

Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au collège · Aide aux devoirs