Les cas d'égalité des triangles

Triangles égaux (superposables), éléments homologues, les trois cas d'égalité (trois côtés, un angle entre deux côtés, un côté entre deux angles), démontrer que deux triangles sont égaux puis en déduire des longueurs ou des angles, lien avec les isométries

À propos de cette page

Ces problèmes corrigés sur « Les cas d'égalité des triangles » en quatrième permettent d'appliquer le cours à des situations concrètes en mathématiques. Ils suivent le programme officiel de quatrième et se résolvent étape par étape. Au programme : Triangles égaux, Éléments homologues, Premier cas : trois côtés, Deuxième cas : un angle entre deux côtés. Cherche au brouillon, saisis ta réponse puis clique sur « Vérifier » pour te corriger. Idéal pour développer le raisonnement, la rigueur et la confiance avant une évaluation. Problèmes gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour progresser en mathématiques en quatrième.

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Facile

Problème 1Un charpentier assemble une ferme de toit triangulaire avec deux pièces inclinées de

3, 2

m et une pièce horizontale (la base) de

5, 6

m. Il fabrique une deuxième ferme avec trois pièces coupées exactement aux mêmes longueurs. Sur la première ferme, l'angle au sommet mesure

122^{\circ}

(arrondi au degré).

Cas d'égalité qui garantit que les deux fermes sont superposables (CCC, CAC ou ACA) :

Angle au sommet de la deuxième ferme : °

Chacun des deux angles à la base de la deuxième ferme mesure °

Longueur totale de bois pour

5

fermes identiques : m

Pourquoi le charpentier n'a-t-il pas besoin de rapporteur pour obtenir des fermes de même inclinaison ?

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CCC — Mêmes trois longueurs : $3, 2$ m, $3, 2$ m et $5, 6$ m.
122 — Angles homologues : même mesure.
29 — La ferme est isocèle : $(180 - 122) \div 2 = 29^{\circ}$ .
60 — Une ferme : $3, 2 + 3, 2 + 5, 6 = 12$ m ; cinq fermes : $60$ m.
Réponse libre — exemple : Trois côtés de mêmes longueurs suffisent : d'après le premier cas d'égalité, les fermes sont égales, donc leurs angles homologues ont la même mesure. Couper les pièces à la bonne longueur impose les angles.

Problème 2Un cerf-volant a la forme d'un quadrilatère

A B C D

avec

A B = A D = 40

cm et

C B = C D = 65

cm. Une baguette rigide relie

A

C

. On mesure

\hat{A B C} = 110^{\circ}

Le triangle égal à

A B C

, écrit dans l'ordre des homologues :

\hat{A D C} =

Longueur de ruban pour border tout le contour du cerf-volant : cm

Le ruban coûte

2, 40

€ le mètre. Prix du ruban nécessaire : €

Explique pourquoi la baguette

[A C]

partage le cerf-volant en deux triangles égaux.

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ADC — $A B = A D$ , $B C = D C$ et $[A C]$ est commun : $A \leftrightarrow A$ , $B \leftrightarrow D$ , $C \leftrightarrow C$ .
110 — $\hat{A D C}$ est l'homologue de $\hat{A B C}$ .
210 — $40 + 40 + 65 + 65 = 210$ cm.
5,04 — $210$ cm $= 2, 1$ m ; $2, 1 \times 2, 40 = 5, 04$ €.
Réponse libre — exemple : Dans les triangles ABC et ADC : AB = AD = 40 cm, CB = CD = 65 cm et [AC] est un côté commun. D'après le cas des trois côtés, les triangles ABC et ADC sont égaux.

Moyen

Problème 3Pour mesurer la largeur d'une rivière, Inès part du point

A

de la rive, face à un arbre

B

situé sur l'autre rive (

(A B)

est perpendiculaire à la rive). Elle longe la rive sur

15

m jusqu'à

C

, y plante un jalon, puis continue tout droit sur

15

m jusqu'à

D

. En

D

, elle s'éloigne de la rivière perpendiculairement à la rive, jusqu'au point

E

d'où elle voit le jalon

C

exactement devant l'arbre

B

B

C

E

sont alignés.

Le côté homologue de

[A B]

dans le triangle

D E C

est

[

]

Les angles

\hat{A C B}

\hat{D C E}

sont égaux car ils sont par le sommet.

Inès mesure

D E = 23, 5

m. Largeur de la rivière

A B

: m

Distance parcourue à pied de

A

E

, en passant par

C

D

: m

Démontre que les triangles

A B C

D E C

sont égaux.

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DE — $A \leftrightarrow D$ (angles droits), $B \leftrightarrow E$ , $C \leftrightarrow C$ .
opposés — $A$ , $C$ , $D$ sont alignés, ainsi que $B$ , $C$ , $E$ .
23,5 — $[A B]$ et $[D E]$ sont homologues.
53,5 — $15 + 15 + 23, 5 = 53, 5$ m.
Réponse libre — exemple : AC = DC = 15 m ; l'angle BAC et l'angle EDC sont droits ; les angles ACB et DCE sont opposés par le sommet, donc égaux. Le côté [AC] est entre les angles A et C, le côté [DC] entre les angles D et C : d'après le cas d'un côté entre deux angles, les triangles ABC et DEC sont égaux.

Problème 4Un logo est formé de quatre triangles. Le premier,

O A B

, est rectangle en

A

avec

O A = 3

cm,

A B = 4

cm,

O B = 5

cm et

\hat{A O B} \approx 53^{\circ}

. Les trois autres,

O A^{'} B^{'}

O A^{″} B^{″}

O A^{'''} B^{'''}

, sont ses images par les rotations de centre

O

et d'angles

90^{\circ}

180^{\circ}

270^{\circ}

A^{'} B^{'} =

\hat{A^{'} O B^{'}} \approx

O B^{'''} =

Aire totale du logo (les quatre triangles ne se chevauchent pas) : cm²

Explique, sans rien mesurer, pourquoi les quatre triangles du logo sont égaux.

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4 — Une rotation conserve les longueurs : $A^{'} B^{'} = A B$ .
53 — Une rotation conserve les angles.
5 — $[O B^{'''}]$ est l'homologue de $[O B]$ .
24 — Aire de $O A B$ : $3 \times 4 \div 2 = 6$ cm² ; quatre triangles égaux : $24$ cm².
Réponse libre — exemple : Chaque triangle est l'image de OAB par une rotation. Une rotation est une isométrie : elle conserve les longueurs et les angles. Chaque triangle est donc superposable à OAB : les quatre triangles sont égaux.

Difficile

Problème 5Une table pliante a des pieds en X : les barres

[A B]

[C D]

mesurent chacune

2, 4

m et sont fixées l'une à l'autre en leur milieu commun

O

. Les extrémités

A

C

portent le plateau,

B

D

reposent au sol. Au sol, l'écart entre les pieds est

B D = 90

cm.

O A = O B = O C = O D =

Écart

A C

entre les deux appuis du plateau : cm

On mesure

\hat{A O C} = 44^{\circ}

. Le triangle

O A C

est isocèle en

O

\hat{O A C} =

\hat{O B D} =

Démontre que le plateau, posé sur

A

C

, est parallèle au sol, c'est-à-dire que

(A C) ∥ (B D)

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1,2 — $O$ est le milieu de chaque barre : $2, 4 \div 2 = 1, 2$ m.
90 — $O A = O B$ , $O C = O D$ , $\hat{A O C} = \hat{B O D}$ (opposés par le sommet) : $O A C$ et $O B D$ sont égaux, donc $A C = B D$ .
68 — $(180 - 44) \div 2 = 68^{\circ}$ .
68 — $\hat{O B D}$ est l'homologue de $\hat{O A C}$ ( $A \leftrightarrow B$ ).
Réponse libre — exemple : Les triangles OAC et OBD sont égaux, donc les angles homologues OAC et OBD sont égaux (68°). Ces deux angles sont alternes-internes, formés par les droites (AC) et (BD) avec la sécante (AB). Des angles alternes-internes égaux donnent des droites parallèles : (AC) // (BD).

Problème 6Prise d'initiative. Un champ a la forme d'un quadrilatère

A B C D

avec

A B = C D = 120

m et

A D = B C = 75

m. Sa diagonale

[B D]

mesure

150

Le triangle égal à

A B D

, écrit dans l'ordre des homologues :

Un géomètre mesure

\hat{A B D} \approx 30^{\circ}

. Alors

\hat{C D B} \approx

Longueur de clôture pour faire le tour du champ : m

La clôture coûte

12, 50

€ le mètre. Coût total : €

Démontre que les côtés

(A B)

(C D)

du champ sont parallèles.

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CDB — $A B = C D$ , $A D = C B$ , $[B D]$ commun : $A \leftrightarrow C$ , $B \leftrightarrow D$ , $D \leftrightarrow B$ .
30 — $\hat{C D B}$ est l'homologue de $\hat{A B D}$ .
390 — $2 \times (120 + 75) = 390$ m.
4875 — $390 \times 12, 50 = 4 875$ €.
Réponse libre — exemple : Dans ABD et CDB : AB = CD, AD = CB et [BD] est commun. D'après le cas des trois côtés, ces triangles sont égaux, donc les angles homologues ABD et CDB sont égaux. Ils sont alternes-internes pour les droites (AB) et (CD) coupées par (BD) : donc (AB) // (CD).

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