Les cas d'égalité des triangles

Triangles égaux (superposables), éléments homologues, les trois cas d'égalité (trois côtés, un angle entre deux côtés, un côté entre deux angles), démontrer que deux triangles sont égaux puis en déduire des longueurs ou des angles, lien avec les isométries

À propos de cette page

Ces exercices corrigés sur « Les cas d'égalité des triangles » en quatrième permettent de s'entraîner et de vérifier ses acquis en mathématiques. Ils suivent le programme officiel de quatrième et sont classés par difficulté (facile, moyen, difficile). Au programme : Triangles égaux, Éléments homologues, Premier cas : trois côtés, Deuxième cas : un angle entre deux côtés. Écris ta réponse puis clique sur « Vérifier » : la correction est immédiate et tolère majuscules, espaces et ponctuation. Cet entraînement aide à mémoriser les méthodes, repérer ses erreurs et gagner en confiance avant un contrôle. Exercices gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour réviser mathématiques en quatrième.

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Facile

Ex. 1Les triangles

A B C

D E F

sont égaux, les sommets

A

B

C

ayant pour homologues respectifs

D

E

F

. Complète.

Le côté homologue de

[B C]

est

[

]

L'angle homologue de

\hat{B}

a pour sommet

A B = 4, 2

cm, donc

D E =

\hat{C} = 65^{\circ}

, donc

\hat{F} =

Le périmètre de

A B C

vaut

15, 6

cm, donc celui de

D E F

vaut cm

Voir le corrigé

EF — $B \leftrightarrow E$ et $C \leftrightarrow F$ , donc $[B C] \leftrightarrow [E F]$ .
E — $B$ est le deuxième sommet de $A B C$ , $E$ le deuxième de $D E F$ .
4,2 — $[A B]$ et $[D E]$ sont homologues : même longueur.
65 — Les angles homologues ont la même mesure.
15,6 — Trois côtés deux à deux égaux : même somme, donc même périmètre.

Ex. 2Pour chaque paire de triangles, écris le cas d'égalité qui permet de conclure : CCC (trois côtés), CAC (un angle entre deux côtés), ACA (un côté entre deux angles), ou « aucun ».

P Q R

S T U

P Q = S T = 5

cm,

Q R = T U = 6

cm,

P R = S U = 8

cm.

A B C

D E F

A B = D E = 4

cm,

A C = D F = 7

cm,

\hat{A} = \hat{D} = 35^{\circ}

K L M

X Y Z

K L = X Y = 9

cm,

\hat{K} = \hat{X} = 40^{\circ}

\hat{L} = \hat{Y} = 75^{\circ}

G H I

J K L

\hat{G} = \hat{J} = 50^{\circ}

\hat{H} = \hat{K} = 60^{\circ}

\hat{I} = \hat{L} = 70^{\circ}

A B C

M N P

A B = M N = 6

cm,

B C = N P = 4

cm,

\hat{A} = \hat{M} = 30^{\circ}

Voir le corrigé

CCC — Les trois côtés sont égaux deux à deux.
CAC — $\hat{A}$ est compris entre $[A B]$ et $[A C]$ , $\hat{D}$ entre $[D E]$ et $[D F]$ .
ACA — Les deux angles sont aux extrémités du côté égal.
aucun — Aucune longueur n'est connue : les triangles peuvent avoir des tailles différentes.
aucun — $\hat{A}$ n'est pas compris entre $[A B]$ et $[B C]$ (c'est $\hat{B}$ qui l'est) : deux triangles différents sont possibles.

Moyen

Ex. 3Les triangles

A B C

R S T

ont pour côtés

A B = 5

cm,

B C = 8

cm,

A C = 10

cm et

R S = 8

cm,

S T = 10

cm,

R T = 5

cm.

Ces triangles sont égaux d'après le cas (CCC, CAC ou ACA)

L'homologue de

A

est

L'homologue de

B

est

L'homologue de

C

est

Le triangle égal à

A B C

, écrit dans l'ordre des homologues :

Voir le corrigé

CCC — Mêmes longueurs : $5$ , $8$ et $10$ cm.
T — De $A$ partent les côtés de $5$ et $10$ cm ; de $T$ aussi ( $R T = 5$ , $S T = 10$ ).
R — Côtés de $5$ et $8$ cm : $R T$ et $R S$ partent de $R$ .
S — Côtés de $8$ et $10$ cm : $R S$ et $S T$ partent de $S$ .
TRS — $A \leftrightarrow T$ , $B \leftrightarrow R$ , $C \leftrightarrow S$ .

Ex. 4Les triangles

A B C

D E F

vérifient

B C = E F = 7

cm,

\hat{B} = \hat{E} = 55^{\circ}

\hat{C} = \hat{F} = 45^{\circ}

. Sur la figure, on a mesuré

A B = 5

cm et

A C = 5, 8

cm.

Cas d'égalité utilisé (CCC, CAC ou ACA) :

\hat{D} =

D E =

Périmètre de

D E F

: cm

Voir le corrigé

ACA — $[B C]$ est entre $\hat{B}$ et $\hat{C}$ , $[E F]$ entre $\hat{E}$ et $\hat{F}$ .
80 — $\hat{D} = \hat{A} = 180 - 55 - 45 = 80^{\circ}$ .
5 — $[D E]$ est homologue de $[A B]$ .
17,8 — $7 + 5 + 5, 8 = 17, 8$ cm ( $D F = A C$ ).

Difficile

Ex. 5Trouve l'élément qui manque, ou décide si la conclusion est possible.

A B C

D E F

A B = D E = 5

cm et

B C = E F = 7

cm. Pour conclure par le cas « un angle entre deux côtés », l'angle de

D E F

qui doit être égal à

\hat{B}

a pour sommet

K L M

P Q R

K L = P Q = 4

cm et

\hat{K} = \hat{P} = 35^{\circ}

. Pour conclure par le cas « un côté entre deux angles »,

\hat{L}

doit être égal à l'angle de sommet

A B C

D E F

\hat{A} = \hat{D} = 60^{\circ}

\hat{B} = \hat{E} = 80^{\circ}

A C = D F = 6

cm. Calcule

\hat{C} =

Deux triangles rectangles ont la même hypoténuse et un angle aigu de même mesure. Sont-ils égaux ? (oui / non)

Explique pourquoi deux côtés de même longueur ne suffisent pas pour que deux triangles soient égaux.

Voir le corrigé

E — $\hat{B}$ est compris entre $[A B]$ et $[B C]$ ; son homologue est compris entre $[D E]$ et $[E F]$ : c'est $\hat{E}$ .
Q — Les deux angles adjacents à $[P Q]$ sont $\hat{P}$ et $\hat{Q}$ .
40 — $180 - 60 - 80 = 40^{\circ}$ , de même $\hat{F} = 40^{\circ}$ : $[A C]$ est entre $\hat{A}$ et $\hat{C}$ , $[D F]$ entre $\hat{D}$ et $\hat{F}$ , donc les triangles sont égaux.
oui — L'angle droit et l'angle aigu donnent le troisième angle ; l'hypoténuse est entre les deux angles aigus : cas n° 3.
Réponse libre — exemple : Avec deux côtés fixés, on peut encore changer l'angle qu'ils forment, comme on ouvre plus ou moins un compas. Le troisième côté change alors de longueur : on obtient des triangles différents. Il faut une troisième donnée bien placée (l'angle compris ou le troisième côté).

Ex. 6

A B C

est un triangle isocèle en

A

H

est le milieu de

[B C]

. On compare les triangles

A B H

A C H

Cas d'égalité qui prouve que

A B H

A C H

sont égaux (CCC, CAC ou ACA) :

Le côté commun aux deux triangles est

[

]

Les angles

\hat{A H B}

\hat{A H C}

sont homologues, et leur somme vaut

180^{\circ}

. Chacun mesure °

\hat{B A C} = 44^{\circ}

, alors

\hat{B A H} =

Rédige la démonstration complète de l'égalité des triangles

A B H

A C H

Voir le corrigé

CCC — $A B = A C$ (isocèle), $B H = C H$ (milieu), $[A H]$ commun.
AH — $[A H]$ appartient aux deux triangles.
90 — Deux angles égaux de somme $180^{\circ}$ : $90^{\circ}$ chacun. Donc $(A H) ⟂ (B C)$ .
22 — $\hat{B A H} = \hat{C A H}$ (homologues) et leur somme vaut $44^{\circ}$ .
Réponse libre — exemple : Dans les triangles ABH et ACH : AB = AC car ABC est isocèle en A ; BH = CH car H est le milieu de [BC] ; [AH] est un côté commun. D'après le cas des trois côtés, les triangles ABH et ACH sont égaux (A ↔ A, B ↔ C, H ↔ H).

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