Translation : construire et propriétés

Complète.

1. $M\prime$ est le symétrique de $M$ par rapport au point $O$, et $OM=3,7$ cm. $MM\prime =$ cm
   $O$ est le milieu de $[MM\prime ]$ : $MM\prime =2\times 3,7=7,4$ cm.
2. $A\prime$ est le symétrique de $A$ par rapport à la droite $(d)$, et $AA\prime =9$ cm. $A$ est à cm de $(d)$
   $(d)$ coupe $[AA\prime ]$ perpendiculairement en son milieu : $A$ est à $9÷2=4,5$ cm de $(d)$.
3. Dans un repère d’origine $O$, le symétrique de $P(5;-2)$ par rapport à $O$ : $P\prime$ ( ; )
   $O$ est le milieu de $[PP\prime ]$ : on change le signe des deux coordonnées, $P\prime (-5;2)$.
4. Un angle de $117°$ a pour symétrique par rapport à une droite un angle de °
   La symétrie axiale conserve les mesures d’angles : $117°$, même si la figure est retournée.

Dans le repère ci-dessous, $(d)$ est la droite verticale qui passe par le point $(1;0)$. Donne les coordonnées demandées.

1. Symétrique de $A(-3;2)$ par rapport à $(d)$ : ( ; )
   $A$ est à $1-(-3)=4$ unités à gauche de $(d)$ ; son symétrique est sur la même horizontale, à $4$ unités à droite : abscisse $1+4=5$. Réponse : $(5;2)$.
2. Symétrique de $C(2;3)$ par rapport à $(d)$ : ( ; )
   $C$ est à $1$ unité à droite de $(d)$ ; son symétrique est à $1$ unité à gauche : abscisse $1-1=0$. Réponse : $(0;3)$.
3. Symétrique de $B(4;-1)$ par rapport à l’origine $O$ : ( ; )
   On change le signe des deux coordonnées : $(-4;1)$.
4. Symétrique de $A$ par rapport au point $K(0;1)$ : ( ; )
   De $A$ à $K$ : $3$ vers la droite et $1$ vers le bas. On refait ce trajet après $K$ : $(0+3;1-1)$, soit $(3;0)$. $K$ est bien le milieu.

Raisonne.

1. $M\prime$ est le symétrique de $M$ par rapport à $O$, avec $OM=5,2$ cm ; $N$ est le milieu de $[OM\prime ]$. $MN=$ cm
   $M$, $O$, $N$ et $M\prime$ sont alignés dans cet ordre. $OM\prime =OM=5,2$ cm, donc $ON=5,2÷2=2,6$ cm.
   $MN=5,2+2,6=7,8$ cm.
2. $E$ et $F$ sont symétriques par rapport à la droite $(d)$ ; $G$ est un point de $(d)$ et $EG=5$ cm. $FG=$ cm
   $G$ est sur l’axe : il est son propre symétrique. $[FG]$ est donc le symétrique de $[EG]$, et la symétrie conserve les longueurs : $FG=5$ cm.
3. Dans un repère, $M(1;4)$ et $M\prime (7;-2)$ sont symétriques par rapport à un point $K$ : $K$ ( ; )
   $K$ est le milieu de $[MM\prime ]$ : $(1+7)÷2=4$ et $(4+(-2))÷2=1$. $K(4;1)$.

Quelle transformation ? Réponds par « translation », « symétrie axiale » ou « symétrie centrale ».

1. Une valise avance sur un tapis roulant rectiligne, sans tourner :
   Elle glisse en ligne droite et garde la même orientation : c’est une translation.
2. Une montagne et son reflet dans un lac immobile :
   Le reflet est retourné comme dans un miroir, par rapport à la ligne de l’eau : symétrie axiale.
3. Sur une carte à jouer, la figure du bas est celle du haut placée tête-bêche :
   Un demi-tour autour du centre de la carte, sans effet miroir : symétrie centrale.
4. Un tiroir qu’on ouvre en le tirant tout droit :
   Tous ses points font le même déplacement, sans rotation : translation.

Voici une lettre F noire et quatre lettres bleues.

1. Les deux lettres images de la lettre noire par une translation, dans l’ordre croissant : n° et n°
   Les lettres $2$ et $4$ ont exactement la même orientation que la lettre noire : elles ont seulement glissé. La $1$ est retournée en miroir, la $3$ a la tête en bas.
2. La lettre image de la lettre noire par une symétrie centrale : n°
   La lettre $3$ a la tête en bas, sans effet miroir : c’est un demi-tour.
3. La translation qui transforme la lettre noire en la lettre 4 déplace de carreaux vers la droite et carreaux vers le bas
   On suit un même point des deux lettres, par exemple le bas de la barre verticale : de la lettre noire à la lettre $4$, il se déplace de $13$ carreaux vers la droite et de $5$ carreaux vers le bas.

Complète avec un mot ou une lettre.

1. La translation qui transforme $R$ en $S$ transforme $T$ en $U$ ($T$ hors de $(RS)$). Le quadrilatère $RSUT$ est un
   C’est la forme $ABM\prime M$ : $R$ va en $S$, $T$ va en $U$, donc $RSUT$ est un parallélogramme.
2. La translation qui transforme $A$ en $B$ transforme $B$ en $C$. Le point $B$ est le de $[AC]$
   Les flèches de $A$ à $B$ et de $B$ à $C$ sont identiques : $A$, $B$, $C$ sont alignés dans cet ordre et $AB=BC$. $B$ est le milieu de $[AC]$.
3. $ABFE$ est un parallélogramme. Par la translation qui transforme $A$ en $B$, l’image de $E$ est le point
   $ABFE$ a la forme $ABM\prime M$ avec $M=E$ et $M\prime =F$ : l’image de $E$ est $F$.

La translation $t$ transforme $A(-3;2)$ en $A\prime (1;-1)$.

1. Déplacement horizontal : ; déplacement vertical :
   $1-(-3)=4$ et $-1-2=-3$ : $4$ vers la droite et $3$ vers le bas.
2. Image de $B(2,5;0)$ : ( ; )
   $2,5+4=6,5$ et $0-3=-3$ : $(6,5;-3)$.
3. Image de $C(0;4)$ : ( ; )
   $0+4=4$ et $4-3=1$ : $(4;1)$.
4. Antécédent de $D\prime (-2;-5)$ : ( ; )
   Déplacement inverse : $-2-4=-6$ et $-5+3=-2$ : $D(-6;-2)$.

Dans le repère, la flèche représente la translation qui transforme $E$ en $F$.

1. Image $K\prime$ de $K$ : ( ; )
   De $E(-5;-3)$ à $F(-1;-1)$ : $4$ vers la droite et $2$ vers le haut. $K(-4;1)$ donne $K\prime (0;3)$.
2. Image $L\prime$ de $L$ : ( ; )
   $L(-2;3)$ : $-2+4=2$ et $3+2=5$, donc $L\prime (2;5)$.
3. Image de $F$ par cette translation : ( ; )
   On part de $F(-1;-1)$, pas de $E$ : $-1+4=3$ et $-1+2=1$, soit $(3;1)$.
4. Le point $G$ a pour image $G\prime (5;-2)$. $G$ ( ; )
   Déplacement inverse : $5-4=1$ et $-2-2=-4$ : $G(1;-4)$.

Enchaîner, raisonner.

1. $M(3;3)$ subit la translation de déplacement $(+2;-5)$, puis celle de déplacement $(-6;+1)$. Image finale : ( ; )
   Après la première : $(5;-2)$. Après la seconde : $5-6=-1$ et $-2+1=-1$, soit $(-1;-1)$.
2. Ces deux translations équivalent à une seule translation de déplacement ( ; )
   Les déplacements s’ajoutent : $2+(-6)=-4$ et $-5+1=-4$. On vérifie : $M(3;3)$ va bien en $(-1;-1)$.
3. La translation qui transforme $A(2;-1)$ en $B(-1;3)$ transforme $C$ en $D(0;0)$. $C$ ( ; )
   Déplacement : $-1-2=-3$ et $3-(-1)=4$. Antécédent de $D$ : $0+3=3$ et $0-4=-4$, donc $C(3;-4)$.
4. Sur feuille blanche, pour construire l’image $M\prime$ de $M$ par la translation qui transforme $A$ en $B$, on trace l’arc de centre $B$ et de rayon $AM$, puis l’arc de centre $M$ et de rayon
   $ABM\prime M$ doit être un parallélogramme : $BM\prime =AM$ et $MM\prime =AB$. Le second arc a pour centre $M$ et pour rayon $AB$.

Une translation transforme chaque figure en son image. Complète.

1. Un triangle de périmètre $17,4$ cm a pour image un triangle de périmètre cm
   Les longueurs sont conservées, donc le périmètre aussi : $17,4$ cm.
2. Un angle de $37°$ a pour image un angle de °
   Une translation conserve les mesures d’angles : $37°$.
3. Un cercle de rayon $2,5$ cm a pour image un cercle de rayon cm
   L’image d’un cercle est un cercle de même rayon : $2,5$ cm.
4. Un rectangle de $6,5$ cm sur $4$ cm a pour image une figure d’aire cm²
   L’image est un rectangle de $6,5$ cm sur $4$ cm : aire $6,5\times 4=26$ cm².

Utilise les propriétés conservées par une translation.

1. $A$, $B$, $C$ sont alignés dans cet ordre, $AB=2,7$ cm et $BC=4,6$ cm. Leurs images $A\prime$, $B\prime$, $C\prime$ : $A\prime C\prime =$ cm
   L’alignement et les longueurs sont conservés : $A\prime C\prime =AC=2,7+4,6=7,3$ cm.
2. $I$ est le milieu de $[EF]$ et $EF=9,4$ cm. Avec les images : $E\prime I\prime =$ cm
   Les milieux sont conservés : $I\prime$ est le milieu de $[E\prime F\prime ]$, et $E\prime F\prime =9,4$ cm. Donc $E\prime I\prime =9,4÷2=4,7$ cm.
3. Deux droites perpendiculaires ont pour images deux droites qui forment un angle de °
   Un angle droit a pour image un angle droit : $90°$, les images sont perpendiculaires.
4. Un cercle de diamètre $7,8$ cm a pour image un cercle de rayon cm
   Le diamètre est conservé : $7,8$ cm, donc le rayon vaut $7,8÷2=3,9$ cm.

Raisonne avec plusieurs propriétés.

1. La translation qui transforme $A$ en $B$ transforme $C$ en $D$, avec $AB=5,2$ cm et $AC=3,1$ cm. $BD=$ cm
   $A$ va en $B$ et $C$ va en $D$ : $[BD]$ est l’image de $[AC]$. Les longueurs sont conservées : $BD=AC=3,1$ cm.
2. Dans la même situation, périmètre du parallélogramme $ABDC$ : cm
   $CD=AB=5,2$ cm (flèche de la translation) et $BD=AC=3,1$ cm. Périmètre : $5,2+3,1+5,2+3,1=16,6$ cm.
3. Un carré de périmètre $22$ cm a pour image un carré d’aire cm²
   Le côté est conservé : $22÷4=5,5$ cm. Aire de l’image : $5,5\times 5,5=30,25$ cm².
4. Le triangle $R\prime S\prime T\prime$ est l’image de $RST$ par une translation ; $RST=48°$ et $STR=71°$. $\widehat{S\prime R\prime T\prime }=$ °
   Dans le triangle $RST$ : $SRT=180°-48°-71°=61°$. Les angles sont conservés : $\widehat{S\prime R\prime T\prime }=61°$.

Une frise est obtenue par une translation de $3,2$ cm vers la droite ; le motif mesure $2,6$ cm de large.

1. Le 4e motif est décalé du 1er de cm
   Du 1er au 4e motif : $4-1=3$ translations, soit $3\times 3,2=9,6$ cm.
2. Entre le 2e et le 7e motif, il y a translations
   $7-2=5$ translations.
3. Espace vide entre deux motifs voisins : cm
   De bord gauche à bord gauche, $3,2$ cm ; le motif en occupe $2,6$ : il reste $3,2-2,6=0,6$ cm.

Voici une bande de six fanions. Le fanion 1 est le motif de départ.

1. Les fanions qui sont des images du fanion 1 par une translation, dans l’ordre croissant : n° , n° et n°
   Les fanions $2$, $4$ et $6$ ont exactement la même orientation que le $1$ (mât à gauche, pointe vers la droite, en haut) : ce sont des images par des translations.
2. Le fanion retourné comme dans un miroir : n°
   Le fanion $3$ a le mât à droite et la pointe vers la gauche : il est retourné, c’est une image par une symétrie axiale.
3. Le fanion tête en bas : n°
   Le fanion $5$ a sa pointe en bas et vers la gauche : c’est l’image du $1$ par un demi-tour (symétrie centrale).

Sur une bande de $50$ cm, on trace un motif de $3$ cm de large, répété par une translation de $4,5$ cm vers la droite. Le premier motif commence à $1$ cm du bord gauche.

1. Le 10e motif se termine à cm du bord gauche
   Il commence après $9$ translations : $1+9\times 4,5=41,5$ cm, et se termine à $41,5+3=44,5$ cm.
2. Nombre de motifs entiers sur la bande :
   Le 11e motif se termine à $1+10\times 4,5+3=49$ cm : il tient. Le 12e se terminerait à $49+4,5=53,5$ cm : trop loin. Il y a $11$ motifs.
3. Longueur de bande laissée libre à droite du dernier motif : cm
   $50-49=1$ cm.