Translation : construire et propriétés

Rappels de 6e et de 5e (symétrie axiale, symétrie centrale, image et antécédent), translation qui transforme A en B (direction, sens, longueur), reconnaître une translation, lien avec le parallélogramme, construire une image sur quadrillage, dans un repère et au compas, antécédent et enchaînement de deux translations, propriétés conservées et justification, frises et pavages.

À propos de cette page

Six problèmes corrigés sur la translation : la frise de Lina sur une bande de papier, un cerf-volant déplacé dans un repère, une piscine déplacée dans un jardin, un parallélogramme construit par translation, les sauts d’un personnage de jeu vidéo et deux demi-tours de suite qui donnent un glissement.

6 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je lis l’énoncé et je repère la transformation : un glissement, un motif répété, une figure déplacée sans la tourner → une translation.
Je trouve le déplacement : nombre de carreaux, ou arrivée − départ pour chaque coordonnée ; dans une frise, le nombre de translations est le nombre de motifs moins 1.
J’applique le même déplacement à chaque point (ou je recule pour un antécédent), et j’utilise les propriétés conservées : longueurs, angles, aires, parallélisme.
Je vérifie (même forme, même orientation, parallélogramme ABM′M) et je réponds par une phrase, avec l’unité.

Problème 1 · La frise de Lina★★★Facile

Sur une bande de papier de

29, 7

cm, Lina dessine une frise : un motif de

3, 5

cm de large, répété par une translation de

4, 2

cm vers la droite. Le bord gauche du premier motif est à

1, 5

cm du bord de la bande.

1. À combien de centimètres du bord de la bande se trouve le bord gauche du 5e motif ?
Du 1er au 5e motif : $4$ translations. $1, 5 + 4 \times 4, 2 = 1, 5 + 16, 8 = 18, 3$ cm.
2. Quel est l’espace vide entre deux motifs voisins, en cm ?
$4, 2 - 3, 5 = 0, 7$ cm.
3. Combien de motifs entiers peut-elle tracer au maximum ?
Le 6e motif se termine à $1, 5 + 5 \times 4, 2 + 3, 5 = 26$ cm ; le 7e se terminerait à $26 + 4, 2 = 30, 2$ cm, plus que $29, 7$ cm. Elle trace $6$ motifs.
4. Avec ces 6 motifs, elle veut la même marge à gauche et à droite. Quelle marge doit-elle prendre, en cm ?
Les $6$ motifs occupent $5 \times 4, 2 + 3, 5 = 24, 5$ cm (la translation ne change pas la largeur du motif). Il reste $29, 7 - 24, 5 = 5, 2$ cm, soit $5, 2 \div 2 = 2, 6$ cm de chaque côté.

Problème 2 · Le cerf-volant★★★Facile

Dans un repère, un cerf-volant

A B C D

a pour sommets

A (1; 2)

B (3; 5)

C (5; 2)

D (3; - 1)

. Le vent le déplace : on lui applique la translation qui transforme

A

A' (- 4; 0)

1. Déplacement horizontal et vertical de cette translation : ( ; )
$- 4 - 1 = - 5$ et $0 - 2 = - 2$ : $5$ vers la gauche et $2$ vers le bas.
2. Coordonnées de $B'$ : ( ; )
$3 - 5 = - 2$ et $5 - 2 = 3$ : $B' (- 2; 3)$ .
3. Coordonnées de $C'$ : ( ; )
$5 - 5 = 0$ et $2 - 2 = 0$ : $C'$ est l’origine du repère.
4. Coordonnées de $D'$ : ( ; )
$3 - 5 = - 2$ et $- 1 - 2 = - 3$ : $D' (- 2; - 3)$ .
5. Le quadrilatère $A A' B' B$ est un
La translation qui transforme $A$ en $A'$ transforme $B$ en $B'$ : $A A' B' B$ a la forme $A B M' M$ , c’est un parallélogramme.

Problème 3 · La piscine déplacée★★★Moyen

Sur le plan d’un jardin, une piscine rectangulaire de

12, 5

m sur

6

m doit être déplacée : on lui applique une translation de

4

m dans le sens de sa longueur.

1. Quelle est l’aire de la piscine à sa nouvelle place, en m² ?
Une translation conserve les longueurs et les aires : $12, 5 \times 6 = 75$ m².
2. Quel est son périmètre, en m ?
$2 \times (12, 5 + 6) = 37$ m, comme avant le déplacement.
3. L’ancienne et la nouvelle place se recouvrent sur un rectangle. Quelle est son aire, en m² ?
La piscine glisse de $4$ m dans le sens de sa longueur : les deux rectangles se recouvrent sur $12, 5 - 4 = 8, 5$ m de long et $6$ m de large, soit $8, 5 \times 6 = 51$ m².
4. Quelle surface du jardin est occupée par l’une ou l’autre des deux places, en m² ?
On ajoute les deux aires et on retire la partie commune, comptée deux fois : $75 + 75 - 51 = 99$ m².

Problème 4 · Le parallélogramme dans un repère★★★Moyen

Dans un repère, on place

A (- 2; 1)

B (3; 2)

C (1; - 3)

. La translation qui transforme

A

B

transforme

C

D

1. Déplacement de cette translation : ( ; )
$3 - (- 2) = 5$ et $2 - 1 = 1$ .
2. Coordonnées de $D$ : ( ; )
$1 + 5 = 6$ et $- 3 + 1 = - 2$ : $D (6; - 2)$ .
3. $A B D C$ est un parallélogramme. Coordonnées du point d’intersection de ses diagonales : ( ; )
Les diagonales $[A D]$ et $[B C]$ ont le même milieu. Milieu de $[A D]$ : $(- 2 + 6) \div 2 = 2$ et $(1 + (- 2)) \div 2 = - 0, 5$ . On vérifie avec $[B C]$ : $(3 + 1) \div 2 = 2$ et $(2 + (- 3)) \div 2 = - 0, 5$ .
4. La même translation transforme $D$ en $E$ . Coordonnées de $E$ : ( ; )
$6 + 5 = 11$ et $- 2 + 1 = - 1$ : $E (11; - 1)$ . Comme $C$ va en $D$ et $D$ va en $E$ , $D$ est le milieu de $[C E]$ .

Problème 5 · Les sauts du personnage★★★Difficile

Dans un jeu vidéo, la position d’un personnage est repérée par des coordonnées. Il part du point

(2; 1)

et, à chaque saut, il glisse de

3

unités vers la droite et de

2

unités vers le haut, toujours de la même façon.

1. Coordonnées du personnage après 4 sauts : ( ; )
$4$ translations identiques : $2 + 4 \times 3 = 14$ et $1 + 4 \times 2 = 9$ .
2. Combien de sauts lui faut-il pour atteindre l’abscisse $32$ ?
Il doit gagner $32 - 2 = 30$ unités vers la droite, à raison de $3$ par saut : $30 \div 3 = 10$ sauts.
3. Quelle est alors son ordonnée ?
$1 + 10 \times 2 = 21$ .
4. Ces 10 sauts équivalent à une seule translation : de combien d’unités vers la droite et de combien vers le haut ? et
Les déplacements s’ajoutent : $10 \times 3 = 30$ vers la droite et $10 \times 2 = 20$ vers le haut. On vérifie : $(2 + 30; 1 + 20) = (32; 21)$ .

Problème 6 · Deux demi-tours de suite★★★Difficile

Dans un repère d’origine

O

, on place

K (3; 1)

. On applique à un point la symétrie de centre

O

, puis au point obtenu la symétrie de centre

K

1. $M (1; 4)$ a pour symétrique $M_{1}$ par rapport à $O$ : ( ; )
On change le signe des deux coordonnées : $M_{1} (- 1; - 4)$ .
2. $M_{1}$ a pour symétrique $M_{2}$ par rapport à $K$ : ( ; )
$K$ est le milieu de $[M_{1} M_{2}]$ . De $M_{1}$ à $K$ : $3 - (- 1) = 4$ et $1 - (- 4) = 5$ ; on refait ce trajet après $K$ : $3 + 4 = 7$ et $1 + 5 = 6$ . $M_{2} (7; 6)$ .
3. Même chose pour $N (- 2; 0)$ : $N_{1} (2; 0)$ , puis $N_{2}$ ( ; )
De $N_{1} (2; 0)$ à $K$ : $1$ et $1$ ; après $K$ : $3 + 1 = 4$ et $1 + 1 = 2$ . $N_{2} (4; 2)$ .
4. De $M$ à $M_{2}$ et de $N$ à $N_{2}$ , le déplacement est le même : ( ; )
$7 - 1 = 6$ et $6 - 4 = 2$ ; $4 - (- 2) = 6$ et $2 - 0 = 2$ . Sur ces deux points, les deux demi-tours font le même glissement : ils se comportent comme une translation.
5. Ce déplacement vaut combien de fois le déplacement de $O$ à $K$ ?
De $O$ à $K$ : $(3; 1)$ . Et $(6; 2) = 2 \times (3; 1)$ : le glissement est deux fois la flèche de $O$ à $K$ .

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