Angles et parallélisme

Angles alternes-internes, correspondants et la somme des angles du triangle (programme de 4e)

À propos de cette page

Ces problèmes corrigés sur « Angles et parallélisme » en quatrième permettent d'appliquer le cours à des situations concrètes en mathématiques. Ils suivent le programme officiel de quatrième et se résolvent étape par étape. Au programme : Rappels : vocabulaire des angles, Deux droites coupées par une sécante, Angles et droites parallèles (propriété directe), Démontrer que deux droites sont parallèles. Cherche au brouillon, saisis ta réponse puis clique sur « Vérifier » pour te corriger. Idéal pour développer le raisonnement, la rigueur et la confiance avant une évaluation. Problèmes gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour progresser en mathématiques en quatrième.

Résous chaque problème, écris ta réponse puis clique sur « Vérifier ». Pose tes calculs au brouillon.

Facile

Problème 1Une échelle appuyée contre un mur vertical forme avec le sol horizontal un angle de 68°. L'échelle, le mur et le sol forment un triangle rectangle.

Quel angle l'échelle forme-t-elle avec le mur, en degrés ?

On redresse l'échelle de

5 °

. Quel est le nouvel angle avec le mur ?

Une seconde échelle forme un angle de

29 °

avec le mur. Quel angle forme-t-elle avec le sol ?

Explique pourquoi les deux angles aigus d'un triangle rectangle sont toujours complémentaires.

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22 — $90 - 68 = 22$ : les deux angles aigus sont complémentaires.
17 — Angle avec le sol $73 °$ , donc $90 - 73 = 17 °$ .
61 — $90 - 29 = 61$ .
Réponse libre — exemple : La somme des trois angles vaut 180°. L'angle droit en prend 90°, il reste 180 − 90 = 90° pour les deux autres : ils sont complémentaires.

Moyen

Problème 2Sur un parking, les lignes blanches des places « en épi » sont parallèles entre elles. Le bord du trottoir, rectiligne, les coupe en formant avec chaque ligne un angle aigu de 65°.

Quel est l'angle correspondant, formé par le trottoir et la ligne suivante, en degrés ?

Quel est l'angle obtus formé par le trottoir et une ligne ?

Quel angle alterne-interne mesure-t-on entre deux lignes voisines, de l'autre côté du trottoir ?

Le peintre trace une ligne supplémentaire faisant 63° avec le trottoir. Est-elle parallèle aux autres ? Justifie.

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65 — Lignes parallèles coupées par le trottoir : correspondants égaux.
115 — $180 - 65 = 115$ : supplémentaire de l'angle aigu.
65 — Les alternes-internes sont égaux avec des parallèles.
Réponse libre — exemple : Non : si elle était parallèle, l'angle correspondant vaudrait 65°. Or 63° ≠ 65°, donc la nouvelle ligne n'est pas parallèle aux autres.

Problème 3Un voilier porte trois voiles triangulaires.

La grand-voile est un triangle rectangle dont un angle mesure

38 °

. Quel est son troisième angle, en degrés ?

Le foc est un triangle isocèle dont l'angle au sommet principal mesure

24 °

. Que mesure chaque angle à la base ?

Le spi a des angles proportionnels à

2

3

4

. Quel est son plus grand angle ?

Le spi est-il un triangle rectangle ? isocèle ? Justifie.

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52 — $90 - 38 = 52$ .
78 — $(180 - 24) \div 2 = 78$ .
80 — $2 x + 3 x + 4 x = 180$ , $x = 20$ : angles $40 °$ , $60 °$ et $80 °$ .
Réponse libre — exemple : Ni l'un ni l'autre : aucun angle ne vaut 90° et les trois angles (40°, 60°, 80°) sont différents, donc aucun côté n'est égal à un autre.

Difficile

Problème 4Un charpentier fixe deux barres (a) et (b) sur une poutre oblique (p). Entre les deux barres, la poutre forme un angle de 47° avec (a) d'un côté de (p), et un angle de 47° avec (b) de l'autre côté de (p).

Comment s'appellent ces deux angles de

47 °

, situés entre les barres et de part et d'autre de la poutre ?

Démontre que les barres

(a)

(b)

sont parallèles (Je sais que / Or / Donc).

Sur une seconde structure, les angles mesurent

47 °

49 °

. De combien de degrés faut-il tourner la barre

(b)

pour la rendre parallèle à

(a)

Retour à la première structure. Combien de degrés mesure l'angle formé par

(b)

(p)

, situé entre les barres et du même côté de

(p)

que l'angle de

47 °

(a)

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alternes-internes — Deux angles placés entre les deux droites et de part et d'autre de la sécante sont alternes-internes. Ne les confonds pas avec les angles correspondants (du même côté de la sécante, l'un entre les droites, l'autre à l'extérieur).
Réponse libre — exemple : Je sais que (a) et (b) sont coupées par la sécante (p) et forment deux angles alternes-internes de 47°. Or, si deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes égaux, alors elles sont parallèles. Donc (a) et (b) sont parallèles.
2 — Il faut ramener $49 °$ à $47 °$ : une rotation de $2 °$ .
133 — Cet angle et l'angle alterne-interne de $47 °$ de $(b)$ sont adjacents et forment un angle plat : $180 - 47 = 133 °$ . Erreur à éviter : répondre $47 °$ .

Problème 5Les droites (d1) et (d2) sont parallèles. Les points A et B sont sur (d1), le point C sur (d2). Dans le triangle ABC, l'angle en A mesure 54° et l'angle en B mesure 61°.

C

, l'angle formé par

(d_{2})

(C A)

est alterne-interne avec

\hat{B A C}

. Il mesure °.

C

, l'angle formé par

(d_{2})

(C B)

, de l'autre côté, est alterne-interne avec

\hat{A B C}

. Il mesure °.

Ces deux angles et

\hat{A C B}

forment un angle plat en

C

. Donc

\hat{A C B} =

°.

En quoi ce calcul démontre-t-il que la somme des angles d'un triangle vaut 180° ?

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54 — Parallèles : alternes-internes égaux.
61 — Même propriété, avec la sécante $(C B)$ .
65 — $180 - 54 - 61 = 65$ .
Réponse libre — exemple : Les trois angles du triangle (54°, 61° et 65°) se retrouvent côte à côte en C, où ils forment un angle plat de 180°. Le raisonnement ne dépend pas des valeurs choisies : il marche pour tout triangle.

Problème 6Prise d'initiative. On découpe un polygone en triangles en traçant toutes les diagonales issues d'un même sommet.

Un quadrilatère se découpe en

2

triangles. Somme de ses angles, en degrés :

Un pentagone se découpe en

3

triangles. Somme de ses angles :

Dans un pentagone régulier, les cinq angles sont égaux. Chacun mesure °.

Combien mesure chaque angle d'un hexagone régulier ? Explique ta démarche.

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360 — $2 \times 180 = 360$ .
540 — $3 \times 180 = 540$ .
108 — $540 \div 5 = 108$ .
Réponse libre — exemple : Un hexagone se découpe en 4 triangles depuis un sommet : somme 4 × 180 = 720°. Régulier, ses six angles sont égaux : 720 ÷ 6 = 120°.

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