Les cas d'égalité des triangles

1. a)De $K$ partent les côtés de $6,4$ et $3,8$ cm, comme de $Q$ : $K\leftrightarrow Q$ ; de même $L\leftrightarrow R$ ($6,4$ et $5,1$) et $M\leftrightarrow P$ ($5,1$ et $3,8$). (1)
2. b)$\hat{Q}=\hat{K}\approx {53}^{\circ }$ et $\hat{R}=\hat{L}\approx {36}^{\circ }$. (1)
3. c)$\hat{P}=\hat{M}\approx 180-53-36={91}^{\circ }$. (1)
4. d)Les lettres ne sont pas dans l'ordre des homologues ($KLM=QRP$) : $KL=QR=6,4$ cm (et $PQ=MK=3,8$ cm). (1)

Repère — Pour apparier les sommets, on regarde les deux côtés qui partent de chacun : deux sommets homologues sont les extrémités communes de côtés de mêmes longueurs.

1. a)$45$ mm $=4,5$ cm, $0,62$ dm $=6,2$ cm, $58$ mm $=5,8$ cm : égaux (trois côtés), $A\leftrightarrow D$, $B\leftrightarrow E$, $C\leftrightarrow F$. (1)
2. b)Pas forcément : $\hat{G}$ n'est pas compris entre $[GH]$ et $[HI]$ ; deux triangles différents sont possibles. (1)
3. c)$\hat{P}=\hat{T}=180-48-67={65}^{\circ }$ ; $[NP]$ et $[ST]$ sont entre des angles égaux : égaux (côté entre deux angles), $M\leftrightarrow R$, $N\leftrightarrow S$, $P\leftrightarrow T$. (1)
4. d)$[UV]$ est entre $\hat{U}$ et $\hat{V}$, $[XZ]$ entre $\hat{X}$ et $\hat{Z}$ : égaux (côté entre deux angles), $U\leftrightarrow X$, $V\leftrightarrow Z$, $W\leftrightarrow Y$. (1)

Attention — Avant de citer un cas, on convertit les longueurs dans la même unité et on vérifie la place de chaque angle sur la figure, sans se fier à l'ordre des lettres.

1. a)Triangles $ABN$ et $ACM$ : $AB=AC$ (isocèle en $A$), $AN=AM$ (hypothèse), $\widehat{BAN}=\widehat{CAM}$ (c'est le même angle $\widehat{BAC}$). (1)
2. b)Angle compris entre deux côtés égaux : $ABN$ et $ACM$ sont égaux ($A\leftrightarrow A$, $B\leftrightarrow C$, $N\leftrightarrow M$). (1)
3. c)$[BN]$ et $[CM]$ sont homologues : $BN=CM=7,35$ cm. (1)
4. d)$\widehat{ANB}=180-48-23={109}^{\circ }$ ; $\widehat{AMC}$ est son homologue : ${109}^{\circ }$. (1)

Le point clé — Pour démontrer que deux longueurs sont égales, on les voit comme des côtés homologues de deux triangles que l'on prouve égaux.

1. a)Faux : côtés $3$, $4$, $5$ cm et $4$, $4$, $4$ cm ont le même périmètre ($12$ cm) sans être égaux. (1)
2. b)Faux : côtés de l'angle droit $3$ et $4$ cm pour l'un, $3$ et $6$ cm pour l'autre : non superposables. (1)
3. c)Vrai : une rotation conserve les longueurs et les angles (isométrie), l'image est superposable. (1)
4. d)$\hat{A}$ est entre $[AB]$ et $[AC]$, pas entre $[AB]$ et $[BC]$ : ce n'est pas l'angle compris, deux triangles différents sont possibles. (1)

Erreur fréquente — Trois égalités ne suffisent pas toujours : il faut qu'elles correspondent exactement à l'un des trois cas, avec les angles à la bonne place.

1. a)$DA=AB=12$ m (carré), $AE=BF=4,5$ m ($450$ cm), $\widehat{DAE}=\widehat{ABF}={90}^{\circ }$ : angle compris, triangles égaux ; $D\leftrightarrow A$, $A\leftrightarrow B$, $E\leftrightarrow F$. (1)
2. b)$[AF]$ est l'homologue de $[DE]$ : $AF=DE\approx 12,82$ m. (1)
3. c)$2\times 12,82=25,64$ m ; $25,64\times 18,50=474,34$ €. (1)
4. d)$\widehat{IAE}=\widehat{BAF}=\widehat{ADE}$ (homologues) ; dans $DAE$, $\widehat{ADE}+\widehat{AED}={90}^{\circ }$ ; dans $AIE$, $\widehat{AIE}=180-90={90}^{\circ }$. (1)

À retenir — Des triangles égaux fournissent aussi des angles égaux, qui servent ensuite à démontrer une perpendicularité ou un parallélisme.