Collège · 4ᵉ · Mathématiques
Angles et parallélisme
Angles alternes-internes, correspondants et la somme des angles du triangle (programme de 4e)
À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en quatrième sur « Angles et parallélisme » suit le programme officiel de mathématiques de quatrième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Rappels : vocabulaire des angles, Deux droites coupées par une sécante, Angles et droites parallèles (la propriété clé), Démontrer que deux droites sont parallèles. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de quatrième à réussir en mathématiques.
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Rappels : vocabulaire des angles
Avant de parler de parallélisme, révisons le vocabulaire des angles vu en 6e et 5e.
Définitions.
• Deux angles sont adjacents s'ils ont le même sommet, un côté commun et sont de part et d'autre de ce côté.
• Deux angles complémentaires ont une somme égale à $90°$.
• Deux angles supplémentaires ont une somme égale à $180°$.
• Deux angles opposés par le sommet sont formés par deux droites sécantes : ils sont égaux.
• Deux angles sont adjacents s'ils ont le même sommet, un côté commun et sont de part et d'autre de ce côté.
• Deux angles complémentaires ont une somme égale à $90°$.
• Deux angles supplémentaires ont une somme égale à $180°$.
• Deux angles opposés par le sommet sont formés par deux droites sécantes : ils sont égaux.
Exemple. Si $\widehat{xOy} = 35°$ et que $\widehat{yOz}$ lui est complémentaire, alors $\widehat{yOz} = 90° - 35° = 55°$.
Astuce. Un angle plat mesure $180°$ (les deux côtés forment une droite). Un angle droit mesure $90°$. Garde ces deux repères en tête pour vérifier tes calculs.
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Deux droites coupées par une sécante
Lorsqu'une droite (appelée sécante) coupe deux autres droites, elle forme huit angles. Certaines paires de ces angles portent un nom précis.
Règle. Soit deux droites $(d_1)$ et $(d_2)$ coupées par une sécante $(\Delta)$.
• Les angles alternes-internes sont situés de part et d'autre de la sécante et entre les deux droites.
• Les angles correspondants sont situés du même côté de la sécante : l'un au-dessus d'une droite, l'autre au-dessus de l'autre droite (même position).
• Les angles alternes-internes sont situés de part et d'autre de la sécante et entre les deux droites.
• Les angles correspondants sont situés du même côté de la sécante : l'un au-dessus d'une droite, l'autre au-dessus de l'autre droite (même position).
Attention ! Pour l'instant, on a seulement nommé ces angles. Ils ne sont pas forcément égaux : tout dépend si les deux droites sont parallèles ou non (voir section 3).
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Angles et droites parallèles (la propriété clé)
C'est le cœur du chapitre. Quand les deux droites coupées sont parallèles, les paires d'angles deviennent égales.
Propriété (sens direct). Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors :
• les angles alternes-internes sont égaux ;
• les angles correspondants sont égaux.
• les angles alternes-internes sont égaux ;
• les angles correspondants sont égaux.
Exemple. Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont parallèles et coupées par la sécante $(\Delta)$. Un angle alterne-interne mesure $63°$. Alors son angle alterne-interne associé mesure aussi $\widehat{?} = 63°$.
Astuce. Pour deviner deux angles correspondants, glisse mentalement une droite sur l'autre : les angles qui se superposent sont correspondants. Pour les alternes-internes, cherche la forme d'un Z entre les deux droites.
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Démontrer que deux droites sont parallèles
La propriété marche aussi dans l'autre sens : c'est ce qui permet de prouver un parallélisme.
Propriété (sens réciproque). Si deux droites coupées par une sécante forment :
• des angles alternes-internes égaux, alors ces deux droites sont parallèles ;
• ou des angles correspondants égaux, alors ces deux droites sont parallèles.
• des angles alternes-internes égaux, alors ces deux droites sont parallèles ;
• ou des angles correspondants égaux, alors ces deux droites sont parallèles.
| Ce que je sais | Ce que je conclus |
|---|---|
| Les droites sont parallèles | Les angles (alt.-int. ou corresp.) sont égaux |
| Les angles (alt.-int. ou corresp.) sont égaux | Les droites sont parallèles |
Exemple. Deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes-internes mesurant $48°$ et $48°$. Comme ils sont égaux, on conclut que les deux droites sont parallèles.
Attention ! Si les angles alternes-internes sont différents (par exemple $48°$ et $52°$), alors les droites ne sont pas parallèles.
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La somme des angles d'un triangle
Cette propriété, déjà rencontrée, se démontre en 4e grâce aux angles alternes-internes !
Propriété fondamentale. Dans tout triangle, la somme des trois angles est égale à : $$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180°$$
Exemple. Dans un triangle $ABC$, on a $\widehat{A} = 75°$ et $\widehat{B} = 40°$. Alors :
$\widehat{C} = 180° - (75° + 40°) = 180° - 115° = 65°$.
$\widehat{C} = 180° - (75° + 40°) = 180° - 115° = 65°$.
Astuce. Pour trouver le troisième angle, on calcule toujours : $180°$ moins la somme des deux angles connus.
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Triangles particuliers et calculs d'angles
La somme à $180°$ se combine avec les propriétés des triangles particuliers.
| Triangle | Propriété des angles |
|---|---|
| Équilatéral | Trois angles égaux à $60°$ (car $180° \div 3 = 60°$) |
| Isocèle | Les deux angles à la base sont égaux |
| Rectangle | Un angle droit ($90°$), les deux autres sont complémentaires |
| Rectangle isocèle | Un angle de $90°$ et deux angles de $45°$ |
Exemple. Un triangle $RST$ est isocèle en $R$ et $\widehat{R} = 50°$. Les deux angles à la base sont égaux :
$\widehat{S} = \widehat{T} = \dfrac{180° - 50°}{2} = \dfrac{130°}{2} = 65°$.
$\widehat{S} = \widehat{T} = \dfrac{180° - 50°}{2} = \dfrac{130°}{2} = 65°$.
Attention ! Dans un triangle isocèle, ce sont les angles opposés aux côtés égaux (à la base) qui sont égaux, pas l'angle du sommet principal.
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Méthode : rédiger une démonstration d'angles
En 4e, on attend une rédaction soignée. Voici la structure à suivre.
Méthode en 3 temps.
1. Données : « On sait que… » (les droites sont parallèles, ou tel angle vaut tant).
2. Propriété : « Or, si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles alternes-internes sont égaux. »
3. Conclusion : « Donc… » (la valeur de l'angle cherché).
1. Données : « On sait que… » (les droites sont parallèles, ou tel angle vaut tant).
2. Propriété : « Or, si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles alternes-internes sont égaux. »
3. Conclusion : « Donc… » (la valeur de l'angle cherché).
Exemple rédigé. $(d_1) \parallel (d_2)$, coupées par la sécante $(\Delta)$. Un angle vaut $\widehat{x} = 72°$.
• On sait que $(d_1)$ et $(d_2)$ sont parallèles.
• Or les angles correspondants formés par des parallèles sont égaux.
• Donc l'angle correspondant à $\widehat{x}$ mesure aussi $72°$.
• On sait que $(d_1)$ et $(d_2)$ sont parallèles.
• Or les angles correspondants formés par des parallèles sont égaux.
• Donc l'angle correspondant à $\widehat{x}$ mesure aussi $72°$.
Astuce. Repère toujours quelle paire d'angles tu utilises (alternes-internes ou correspondants) avant de citer la propriété : cela évite les erreurs de justification.
À retenir
- Une sécante coupant deux droites forme des angles alternes-internes (forme en Z) et correspondants (même position).
- Si les droites sont parallèles → ces angles sont égaux.
- Réciproquement, si ces angles sont égaux → les droites sont parallèles.
- Somme des angles d'un triangle : $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180°$.
- Équilatéral : $60°$ partout. Isocèle : deux angles égaux à la base. Rectangle : un angle de $90°$.
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