Que sont des angles alternes-internes ?

Deux angles formés par deux droites coupées par une sécante, situés de part et d'autre de la sécante et entre les deux droites. Si les droites sont parallèles, ils sont égaux.

Combien vaut la somme des angles d'un triangle ?

La somme des trois angles d'un triangle est toujours égale à 180°.

Comment démontrer que deux droites sont parallèles ?

Si deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes égaux (ou des angles correspondants égaux), alors ces deux droites sont parallèles.

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Angles et parallélisme

Angles alternes-internes, correspondants et la somme des angles du triangle (programme de 4e)

À propos de cette page

Ce cours de mathématiques en quatrième sur « Angles et parallélisme » suit le programme officiel de mathématiques de quatrième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Rappels : vocabulaire des angles, Deux droites coupées par une sécante, Angles et droites parallèles (propriété directe), Démontrer que deux droites sont parallèles. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de quatrième à réussir en mathématiques.

Rappels : vocabulaire des angles

Définitions.
• Deux angles sont adjacents s'ils ont le même sommet, un côté commun et sont situés de part et d'autre de ce côté.
• Deux angles sont complémentaires si leur somme vaut

90 °

; supplémentaires si leur somme vaut

180 °

.
• Deux droites sécantes forment deux paires d'angles opposés par le sommet : ils sont égaux.

Exemples. Le complémentaire de

28 °

mesure

90 ° - 28 ° = 62 °

. Le supplémentaire de

117 °

mesure

180 ° - 117 ° = 63 °

. Si deux droites se coupent en formant un angle de

117 °

, les quatre angles mesurent

117 °

63 °

117 °

63 °

Attention ! Un angle de plus de

90 °

n'a pas de complémentaire. Et « adjacents » ne veut pas dire « égaux » : deux angles adjacents peuvent avoir n'importe quelles mesures.

Deux droites coupées par une sécante

Une sécante $(Δ)$ qui coupe deux droites $(d_{1})$ et $(d_{2})$ forme huit angles, quatre à chaque point d'intersection. Certaines paires portent un nom.

Définitions. Deux angles formés par

(Δ)

, l'un en

(d_{1})

et l'autre en

(d_{2})

, sont :
• alternes-internes s'ils sont entre les deux droites et de part et d'autre de la sécante (ils dessinent un Z) ;
• correspondants s'ils sont du même côté de la sécante et dans la même position par rapport à leur droite (ils dessinent un F).

Attention ! Ces noms décrivent seulement une position. Deux angles alternes-internes ne sont pas égaux en général : ils le deviennent uniquement quand les droites sont parallèles.

Angles et droites parallèles (propriété directe)

Propriété. Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors :
• les angles alternes-internes sont égaux ;
• les angles correspondants sont égaux.

Exemple.

(d_{1}) ∥ (d_{2})

, coupées par

(Δ)

. Un angle formé en

(d_{1})

mesure

57 °

. Son alterne-interne et son correspondant en

(d_{2})

mesurent aussi

57 °

; les angles qui leur sont adjacents mesurent

180 ° - 57 ° = 123 °

Astuce. Avec des parallèles, les huit angles n'ont que deux mesures :

a

180 ° - a

. Tout angle aigu vaut

a

, tout angle obtus vaut

180 ° - a

(sauf si

a = 90 °

, où tous valent

90 °

Attention ! La propriété s'applique uniquement si l'énoncé dit que les droites sont parallèles (ou si on l'a démontré). Un dessin « qui a l'air parallèle » ne suffit pas.

Démontrer que deux droites sont parallèles

Propriété réciproque. Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes-internes égaux (ou deux angles correspondants égaux), alors ces droites sont parallèles.

Je sais que…	J'en déduis que…
les droites sont parallèles	les alternes-internes (ou correspondants) sont égaux
des alternes-internes (ou correspondants) sont égaux	les droites sont parallèles
des alternes-internes (ou correspondants) sont différents	les droites ne sont pas parallèles

Exemple. Une sécante coupe

(a)

(b)

en formant deux angles alternes-internes de

41 °

41 °

(a) ∥ (b)

. Si les mesures étaient

41 °

43 °

, les droites ne seraient pas parallèles.

Astuce. Pour savoir quelle propriété citer, regarde ce que tu cherches : une mesure d'angle → propriété directe ; un parallélisme → propriété réciproque.

La somme des angles d'un triangle

Propriété. Dans tout triangle

A B C

\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180 °

Démonstration (à connaître en 4e). On trace par

A

la droite

(d)

parallèle à

(B C)

. La sécante

(A B)

forme avec

(d)

un angle alterne-interne égal à

\hat{B}

; la sécante

(A C)

forme avec

(d)

un angle alterne-interne égal à

\hat{C}

. En

A

, ces deux angles et

\hat{A}

forment un angle plat :

\hat{B} + \hat{A} + \hat{C} = 180 °

Exemple.

\hat{A} = 64 °

\hat{B} = 47 °

\hat{C} = 180 ° - (64 ° + 47 °) = 69 °

Attention ! Conséquence : un triangle a au plus un angle droit ou obtus, et la somme de deux angles est toujours inférieure à

180 °

. Un triangle «

95 °

90 °

, … » n'existe pas.

Triangles particuliers et calculs d'angles

Triangle	Angles	Calcul type
Équilatéral	trois angles de $60 °$	$180 ° \div 3$
Isocèle en $A$	$\hat{B} = \hat{C}$ (angles à la base)	$\hat{B} = (180 ° - \hat{A}) \div 2$
Rectangle en $A$	$\hat{B} + \hat{C} = 90 °$	$\hat{C} = 90 ° - \hat{B}$
Rectangle isocèle	$90 °$ , $45 °$ , $45 °$	—

Exemples. Triangle isocèle en

R

avec

\hat{R} = 34 °

\hat{S} = \hat{T} = (180 ° - 34 °) \div 2 = 73 °

. Triangle rectangle en

E

avec

\hat{D} = 52 °

\hat{F} = 90 ° - 52 ° = 38 °

Quadrilatère. Une diagonale partage un quadrilatère en deux triangles : la somme de ses angles vaut

2 \times 180 ° = 360 °

Attention ! « Isocèle en

A

» signifie que

A

est le sommet principal : les angles égaux sont

\hat{B}

\hat{C}

, pas

\hat{A}

. Si l'énoncé donne un angle sans dire où il se trouve, il peut y avoir deux triangles possibles.

Méthode : rédiger une démonstration

Les trois temps.
1. Je sais que : les données de l'énoncé (parallélisme, mesures).
2. Or : la propriété, citée en entier, avec le nom de la paire d'angles utilisée.
3. Donc : la conclusion (mesure ou parallélisme).

Exemple rédigé.

(d_{1}) ∥ (d_{2})

, sécante

(Δ)

, un angle en

(d_{1})

mesure

81 °

.
• Je sais que

(d_{1})

(d_{2})

sont parallèles et coupées par la sécante

(Δ)

.
• Or, si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles correspondants sont égaux.
• Donc l'angle correspondant en

(d_{2})

mesure

81 °

Astuce. Une démonstration sans le mot « parallèles » dans le « Je sais que » est presque toujours incomplète : c'est l'hypothèse qui déclenche la propriété.

En bref

Une sécante forme des angles alternes-internes (Z) et correspondants (F) : ce sont des positions, pas des égalités.
Droites parallèles ⟹ alternes-internes égaux et correspondants égaux.
Alternes-internes égaux (ou correspondants égaux) ⟹ droites parallèles.
Dans tout triangle : $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180 °$ (démontré avec la parallèle à un côté).
Équilatéral : $60 °$ partout ; isocèle : angles à la base égaux ; rectangle : angles aigus complémentaires.
Rédaction : Je sais que / Or / Donc.

Ce chapitre au brevet : 13 exercices d'annales (2018-2025)

Voici comment cette notion est tombée dans les sujets officiels. Fais-les après le devoir surveillé, dans les conditions de l'examen.

Brevet 2025 · Asie — exercice 4 : Construction d'un hexagone avec Scratch
Brevet 2024 · Métropole, Antilles et Guyane — exercice 5 : Angles d'un quadrilatère et programme Scratch
Brevet 2024 · Asie — exercice 3 : Pythagore, angles et aire d'un disque assemblé
Brevet 2023 · Métropole, Antilles et Guyane — exercice 4 : Pythagore et aires pour la construction d'un poulailler
Brevet 2023 · Amérique du Nord — exercice 4 : Programme de construction d'un motif floral
Brevet 2023 · Nouvelle-Calédonie — exercice 6 : Angles d'un hexagone régulier et script Scratch
Brevet 2022 · Nouvelle-Calédonie — exercice 7 : Reproduction d'une figure avec un script Scratch
Brevet 2022 · Pays du groupe 1 — exercice 3 : Thalès, perpendicularité et aire d'un triangle

tous les exercices sur « Angles et géométrie plane » (13)

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