Ce cours de mathématiques en quatrième sur « Angles et parallélisme » suit le programme officiel de mathématiques de quatrième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Rappels : nommer et mesurer un angle, Angles adjacents, Angles complémentaires et supplémentaires, Angles opposés par le sommet. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de quatrième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Rappels : nommer et mesurer un angle
2 · Angles adjacents
3 · Angles complémentaires et supplémentaires
4 · Angles opposés par le sommet
5 · Deux droites coupées par une sécante
6 · Deux parallèles et une sécante (Z et F)
7 · Démontrer que deux droites sont parallèles
8 · La somme des angles d'un triangle
9 · Méthode : calculer un angle inconnu
1Rappels : nommer et mesurer un angle
Un angle est formé par deux demi-droites qui partent d'un même point appelé le sommet. On le mesure en degrés (symbole °) à l'aide d'un rapporteur.
Notation. On note un angle avec trois lettres et un petit chapeau, la lettre du sommet au milieu : l'angle xOy a pour sommet O. On peut aussi écrire l'angle ABC : son sommet est B.
Un angle droit mesure 90° (le petit carré sur la figure).
Un angle plat mesure 180° : ses deux côtés forment une droite.
Un angle aigu mesure moins de 90° ; un angle obtus mesure entre 90° et 180°.
💡 Quand le sommet d'un angle est posé sur une droite, les deux angles situés de part et d'autre forment ensemble un angle plat : leur somme vaut 180°. C'est l'idée de base de tout le chapitre.
2Angles adjacents
Définition. Deux angles sont adjacents lorsqu'ils ont :
• le même sommet,
• un côté commun,
• et qu'ils sont situés de part et d'autre de ce côté commun (ils ne se chevauchent pas).
Sur la figure, les angles 1 = AOB et 2 = BOC sont adjacents : même sommet O, côté commun [OB), et placés de part et d'autre de ce côté.
💡 Quand deux angles adjacents forment ensemble un angle connu (droit, plat…), on peut additionner leurs mesures : ici AOB + BOC = AOC.
3Angles complémentaires et supplémentaires
Complémentaires. Deux angles sont complémentaires lorsque la somme de leurs mesures vaut 90°.
Supplémentaires. Deux angles sont supplémentaires lorsque la somme de leurs mesures vaut 180°.
Attention : ces deux définitions parlent seulement des mesures. Les angles peuvent être adjacents ou bien dessinés à deux endroits différents.
Si un angle mesure…
son complément (→ 90°)
son supplément (→ 180°)
30°
60°
150°
52°
38°
128°
90°
0°
90°
Exemple. Un angle mesure 37°. Son complémentaire mesure 90 − 37 = 53°. Son supplémentaire mesure 180 − 37 = 143°.
⚠️ Ne confonds pas : complémentaire → 90° (comme l'angle droit) ; supplémentaire → 180° (l'angle plat). Astuce : « S comme Straight (plat) → 180 ».
4Angles opposés par le sommet
Définition. Quand deux droites se coupent, elles forment quatre angles. Deux angles opposés par le sommet ont le même sommet et leurs côtés sont dans le prolongement l'un de l'autre (ils sont « face à face »).
Propriété : deux angles opposés par le sommet ont la MÊME mesure.
Pourquoi ? Les deux angles notés a sont chacun supplémentaires de l'angle b (ils forment un angle plat avec lui). Comme ils ont le même supplément, ils sont égaux.
Exemple. Deux droites se coupent. Un des angles mesure 110°. L'angle opposé par le sommet mesure aussi 110°, et les deux autres mesurent 180 − 110 = 70°.
5Deux droites coupées par une sécante : le vocabulaire
Quand une sécante (une droite qui coupe) traverse deux autres droites, elle forme 8 angles (4 à chaque croisement). On apprend à reconnaître deux familles d'angles.
Angles alternes-internes. Ils sont situés entre les deux droites (côté « intérieur »), mais de part et d'autre de la sécante. Sur la figure, l'angle en bas à droite du point A et l'angle en haut à gauche du point B forment une paire d'alternes-internes (ils dessinent une forme en Z).
Angles correspondants. Ils sont du même côté de la sécante et à la même position autour de chaque croisement (par exemple « tous les deux en haut à droite »). Ils dessinent une forme en F.
💡 Moyens mémo : Z → alternes-internes (en zigzag), F → correspondants (même sens). Ce vocabulaire est valable même si les droites ne sont pas parallèles.
6La propriété clé : deux parallèles coupées par une sécante
Si deux droites sont PARALLÈLES, alors :
• les angles alternes-internes sont ÉGAUX ;
• les angles correspondants sont ÉGAUX.
Les petits traits « ∥ » indiquent que les deux droites sont parallèles. Les deux angles marqués x sont alternes-internes : ils ont donc la même mesure.
Exemple. d1 ∥ d2 sont coupées par une sécante. Un angle alterne-interne mesure 64°. Alors l'autre mesure aussi 64°. De même, un angle correspondant à un angle de 110° mesure 110°.
💡 On peut combiner avec le cours : opposés par le sommet (égaux) + angles plats (180°) permettent de retrouver les 8 angles dès qu'on en connaît un seul. Avec deux parallèles, il n'y a en réalité que deux mesures différentes qui se répètent.
7Démontrer que deux droites sont parallèles (la réciproque)
Les propriétés du §6 marchent aussi dans l'autre sens : elles permettent de prouver un parallélisme.
Si deux droites coupées par une sécante forment :
• des angles alternes-internes ÉGAUX,
• ou des angles correspondants ÉGAUX,
alors ces deux droites sont PARALLÈLES.
⚠️ Bien distinguer les deux sens :
• « droites parallèles → angles égaux » sert à calculer un angle ;
• « angles égaux → droites parallèles » sert à démontrer le parallélisme.
On choisit la propriété selon ce que l'on connaît et ce que l'on cherche.
Méthode pas à pas pour démontrer un parallélisme
1. Repérer la sécante et les deux droites concernées.
2. Reconnaître une paire d'angles : alternes-internes (forme Z) ou correspondants (forme F).
3. Vérifier (ou calculer) que ces deux angles ont la même mesure.
4. Conclure avec la propriété : « Comme les angles … sont égaux, les droites sont parallèles. »
Exemple rédigé. Une sécante coupe d1 et d2. Elle forme un angle de 53° avec d1 et un angle alterne-interne de 53° avec d2. Ces deux angles alternes-internes sont égaux, donc d1 ∥ d2.
8La somme des angles d'un triangle
Dans tout triangle, la somme des trois angles vaut 180°.
Autrement dit : A + B + C = 180°. Si on connaît deux angles, on trouve le troisième par soustraction.
Exemple. Un triangle a deux angles de 65° et 48°. Le troisième mesure 180 − (65 + 48) = 180 − 113 = 67°.