Devoir surveillé : Fonctions, fonctions linéaires et affines, proportionnalité et vitesse

1. a)$f(4)=3\times 4-5=12-5=7$. L'image de $4$ par $f$ est $7$. (1 pt) (1)
2. b)$f(-2)=3\times (-2)-5=-6-5=-11$. (1 pt) (1)
3. c)On résout $3x-5=10$ : $3x=15$, donc $x=5$ (0,5 pt). Vérification : $f(5)=15-5=10$. L'antécédent de $10$ par $f$ est $5$ (0,5 pt). (1)
4. d)$f(x)=ax+b$ avec $a=3$ et $b=-5$ : $f$ est affine, et non linéaire car $b\ne 0$ (0,5 pt). Comme $a=3>0$, $f$ est croissante (0,5 pt). (1)

Méthode — pour une image, on remplace $x$ par le nombre donné ; pour un antécédent, on résout une équation. Recalculer l'image de la solution trouvée est une vérification de quelques secondes.

1. a)Dans la colonne $x=3$, on lit $g(3)=9$ : l'image de $3$ par $g$ est $9$. (1 pt) (1)
2. b)$g(-2)=4$ et $g(2)=4$ (0,5 pt) : le nombre $4$ a (au moins) deux antécédents par $g$, $-2$ et $2$ (0,5 pt). On pouvait aussi citer $g(-1)=g(1)=1$. (1)
3. c)${\displaystyle \frac{g(1)}{1}}={\displaystyle \frac{1}{1}}=1$ et ${\displaystyle \frac{g(2)}{2}}={\displaystyle \frac{4}{2}}=2$ : les quotients sont différents, le tableau n'est pas un tableau de proportionnalité (0,5 pt). Une fonction linéaire donne toujours un tableau de proportionnalité, donc $g$ n'est pas linéaire (0,5 pt). (1)
4. d)$g(x)=x^2$ convient : $g(-2)=(-2{)}^2=4$ et $g(3)=3^2=9$, et de même $0^2=0$, $(-1{)}^2=1^2=1$, $2^2=4$. (1 pt) (1)

Piège — une fonction telle que $g(0)=0$ n'est pas forcément linéaire : il faut que tous les quotients ${\displaystyle \frac{g(x)}{x}}$ (pour $x\ne 0$) soient égaux.

1. a)Remise : $60\times {\displaystyle \frac{15}{100}}=9$ € ; prix soldé : $60-9=51$ €. (1 pt) (1)
2. b)Baisser de $15\%$, c'est multiplier par $1-0,15=0,85$, donc $p(x)=0,85x$ (0,5 pt). L'expression est de la forme $ax$ : $p$ est une fonction linéaire de coefficient $0,85$ (0,5 pt). (1)
3. c)On cherche l'antécédent de $34$ par $p$ : $0,85x=34$, donc $x={\displaystyle \frac{34}{0,85}}=40$. Vérification : $40\times 0,85=34$. L'article coûtait $40$ €. (1 pt) (1)
4. d)Oui : $p(0)=0,85\times 0=0$. Comme toute fonction linéaire, $p$ est représentée par une droite qui passe par l'origine $O(0;0)$. (1 pt) (1)

Erreur fréquente — pour retrouver le prix initial, on ne rajoute pas $15\%$ au prix soldé ($34\times 1,15=39,10$ €, faux) : on divise par le coefficient $0,85$.

1. a)$32\times 25000=800000$ cm $=8000$ m $=8$ km. (1 pt) (1)
2. b)$t={\displaystyle \frac{d}{v}}={\displaystyle \frac{8}{16}}=0,5$ h, soit $30$ min. (1 pt) (1)
3. c)$d(t)=16t$ (0,5 pt). $d$ est une fonction linéaire de coefficient $16$ : la distance est proportionnelle à la durée (0,5 pt). (1)
4. d)$16t=6$ donne $t={\displaystyle \frac{6}{16}}=0,375$ h ; $0,375\times 60=22,5$ min, soit $22$ min $30$ s (0,5 pt). Chloé a parcouru $6$ km au bout de $22$ min $30$ s (0,5 pt). (1)

Piège — $0,375$ h ne fait pas $37,5$ min : une heure compte $60$ minutes, on multiplie donc la durée décimale par $60$ pour obtenir des minutes.

1. a)$V_A(3)=12\times 3+50=36+50=86$ L et $V_B(3)=22\times 3=66$ L (0,5 pt). $86>66$ : c'est la cuve A (0,5 pt). (1)
2. b)$V_B(t)=22t$ est linéaire : le volume de la cuve B est proportionnel au temps (0,5 pt). $V_A(t)=12t+50$ est affine non linéaire ($b=50\ne 0$) : pas de proportionnalité pour la cuve A (0,5 pt). (1)
3. c)On résout $22t=176$ : $t={\displaystyle \frac{176}{22}}=8$ min. (1 pt) (1)
4. d)On résout $12t+50=22t$ : $50=10t$, donc $t=5$ min (0,5 pt). Vérification : $V_A(5)=60+50=110$ et $V_B(5)=110$ ; le volume commun est $110$ L (0,5 pt). (1)

Astuce — « avoir le même volume » se traduit par l'égalité des deux expressions : on écrit l'équation, on la résout, puis on contrôle la solution dans les deux formules.

1. a)Faux (0,5 pt). $f(x)=-2x+7$ : le coefficient directeur est $a=-2<0$, donc $f$ est décroissante ; $7$ est l'ordonnée à l'origine, elle ne donne pas le sens de variation (0,5 pt). (1)
2. b)Faux (0,5 pt). Baisser de $20\%$, c'est multiplier par $1-0,2=0,8$. Contre-exemple : $50$ € baissé de $20\%$ donne $50\times 0,8=40$ €, alors que $50\times 0,2=10$ € n'est que le montant de la remise (0,5 pt). (1)
3. c)Vrai (0,5 pt). $x^2-4=-4$ équivaut à $x^2=0$, donc à $x=0$ : le seul antécédent de $-4$ est $0$ (0,5 pt). (1)
4. d)Vrai (0,5 pt). En $60$ minutes on parcourt $72$ km, donc en $1$ minute : ${\displaystyle \frac{72}{60}}=1,2$ km (0,5 pt). (1)

Méthode — un « faux » se prouve par un contre-exemple chiffré ; un « vrai » demande un argument valable dans tous les cas, un simple exemple ne suffit pas.

1. a)$a={\displaystyle \frac{f(3)-f(-1)}{3-(-1)}}={\displaystyle \frac{-4-8}{4}}={\displaystyle \frac{-12}{4}}=-3$. (1 pt) (0,75)
2. b)$f(-1)=-3\times (-1)+b=3+b$ et $f(-1)=8$, donc $b=5$ et $f(x)=-3x+5$. Contrôle : $f(3)=-9+5=-4$. (1 pt) (0,75)
3. c)$-3x+5=-13$ ; $-3x=-18$ ; $x=6$. Contrôle : $f(6)=-18+5=-13$. (0,5 pt) (0,75)
4. d)$a=-3<0$, donc $f$ est décroissante : elle range les images dans l'ordre inverse. Comme $-2,5<1,7$, on a $f(-2,5)>f(1,7)$. (0,5 pt) (0,75)

Erreur fréquente — dans le quotient qui donne $a$, les deux différences se prennent dans le même ordre ; soustraire un nombre négatif, comme dans $3-(-1)=4$, est la source d'erreur la plus courante.

1. a)${\displaystyle \frac{11,60}{4}}=2,9$ et ${\displaystyle \frac{23}{10}}=2,3$ : les quotients sont différents, le prix n'est pas proportionnel à la distance. (1 pt) (1,25)
2. b)$a={\displaystyle \frac{23-11,60}{10-4}}={\displaystyle \frac{11,4}{6}}=1,9$ ; $b=23-1,9\times 10=23-19=4$. Contrôle : $1,9\times 15+4=28,5+4=32,5$ (1 pt). $4$ € est la prise en charge (prix payé même pour $0$ km) et $1,90$ € le prix de chaque kilomètre (0,5 pt). (1,25)
3. c)$1,9d+4=42$ ; $1,9d=38$ ; $d={\displaystyle \frac{38}{1,9}}=20$ km. (1 pt) (1,25)
4. d)Nouveau prix au km : $1,9\times 1,1=2,09$ € (0,5 pt). Course de $20$ km : $2,09\times 20+4=41,80+4=45,80$ € (0,5 pt). Or $42\times 1,1=46,20$ € : la course n'a pas augmenté de $10\%$ (environ $9\%$ seulement), car la prise en charge n'a pas bougé (0,5 pt). (1,25)

Piège — une fonction affine non linéaire ne décrit pas une proportionnalité : $20$ km coûtent $42$ €, et non le double du prix de $10$ km ($46$ €).

1. a)$10$ h $12$ correspond à $t=1,2$ h, car $12$ min $={\displaystyle \frac{12}{60}}$ h $=0,2$ h. Distance de Léa : $L(t)=5t$, donc $5\times 1,2=6$ km. (0,5 pt) (1)
2. b)À l'instant $t$, Tom roule depuis $t-0,5$ heure : $T(t)=15(t-0,5)=15t-7,5$ (0,5 pt). $T$ est affine, de coefficient directeur $15$ et d'ordonnée à l'origine $-7,5$ (0,5 pt). (1)
3. c)On résout $15t-7,5=5t$ : $10t=7,5$, donc $t=0,75$ h $=45$ min ; Tom rattrape Léa à $9$ h $45$ (1 pt). Distance : $5\times 0,75=3,75$ km ; contrôle : $T(0,75)=11,25-7,5=3,75$ km (0,5 pt). (1)
4. d)Durée de marche : ${\displaystyle \frac{12}{5}}=2,4$ h $=2$ h $24$ min ; avec la pause : $2$ h $24$ min $+36$ min $=3$ h. Vitesse moyenne : ${\displaystyle \frac{12}{3}}=4$ km/h. (1 pt) (1)

Astuce — convertir toutes les durées en heures décimales avant de calculer ($12$ min $=0,2$ h, $36$ min $=0,6$ h) évite de mélanger heures et minutes dans une même formule.

1. a)La bougie perd $24-19=5$ cm en $2$ h, soit ${\displaystyle \frac{5}{2}}=2,5$ cm par heure (0,5 pt). Après $t$ heures : $h(t)=24-2,5t=-2,5t+24$ (0,5 pt). (1)
2. b)La hauteur n'est pas proportionnelle au temps : $h(0)=24\ne 0$, $h$ est affine non linéaire. La longueur brûlée, $2,5t$, est proportionnelle au temps, de coefficient $2,5$. (0,5 pt) (1)
3. c)On résout $-2,5t+24=0$ : $t={\displaystyle \frac{24}{2,5}}=9,6$ h ; $0,6\times 60=36$ min. La bougie est consumée au bout de $9$ h $36$ min. (1 pt) (1)
4. d)La seconde dure ${\displaystyle \frac{18}{1,5}}=12$ h $>9,6$ h : c'est elle qui s'éteint en dernier (0,5 pt). On résout $24-2,5t=18-1,5t$ : $24-18=2,5t-1,5t$, donc $t=6$ h ; hauteurs : $24-15=9$ cm et $18-9=9$ cm (1 pt). (1)

Méthode — une grandeur qui diminue régulièrement se modélise par une fonction affine de coefficient négatif : $a$ est la variation par heure, $b$ la valeur de départ.

1. a)${\displaystyle \frac{3}{4}}\times (-{\displaystyle \frac{2}{9}})=-{\displaystyle \frac{6}{36}}=-{\displaystyle \frac{1}{6}}$ (0,5 pt) ; $f(-{\displaystyle \frac{2}{9}})=-{\displaystyle \frac{1}{6}}-{\displaystyle \frac{5}{6}}=-{\displaystyle \frac{6}{6}}=-1$ (0,5 pt). (1)
2. b)${\displaystyle \frac{3}{4}}x-{\displaystyle \frac{5}{6}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$ ; ${\displaystyle \frac{3}{4}}x={\displaystyle \frac{2}{6}}+{\displaystyle \frac{5}{6}}={\displaystyle \frac{7}{6}}$ (0,5 pt) ; $x={\displaystyle \frac{7}{6}}\times {\displaystyle \frac{4}{3}}={\displaystyle \frac{28}{18}}={\displaystyle \frac{14}{9}}$. Contrôle : ${\displaystyle \frac{3}{4}}\times {\displaystyle \frac{14}{9}}={\displaystyle \frac{42}{36}}={\displaystyle \frac{7}{6}}$ et ${\displaystyle \frac{7}{6}}-{\displaystyle \frac{5}{6}}={\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$ (0,5 pt). (1)
3. c)Il faut un coefficient $k$ tel que $1,2\times k=1$, soit $k={\displaystyle \frac{1}{1,2}}={\displaystyle \frac{10}{12}}={\displaystyle \frac{5}{6}}$ (0,5 pt). La baisse est de $1-{\displaystyle \frac{5}{6}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$, soit ${\displaystyle \frac{100}{6}}\%={\displaystyle \frac{50}{3}}\%\approx 16,7\%$ (0,5 pt). (1)
4. d)$324$ km/h, c'est $324000$ m en $3600$ s, soit ${\displaystyle \frac{324000}{3600}}=90$ m/s (0,5 pt). Durée : ${\displaystyle \frac{1350}{90}}=15$ s (0,5 pt). (1)

Astuce — pour passer des km/h aux m/s, on divise par $3,6$ ($324÷3,6=90$) ; dans l'autre sens, on multiplie par $3,6$.

1. a)$P$ appartient à la droite si et seulement si $f(3)=20$, c'est-à-dire $3a+b=20$. (0,5 pt) (1)
2. b)$f$ strictement croissante impose $a>0$, donc $a⩾1$. De plus $b=20-3a⩾0$ impose $3a⩽20$, donc $a⩽6$ puisque $3\times 7=21>20$ (0,5 pt). Chaque valeur de $a$ entre $1$ et $6$ donne un unique $b$ : $(a;b)=(1;17)$, $(2;14)$, $(3;11)$, $(4;8)$, $(5;5)$, $(6;2)$. Il y a donc exactement six fonctions, de $f(x)=x+17$ à $f(x)=6x+2$ (1 pt). (1)
3. c)Une fonction linéaire a $b=0$, ce qui donnerait $3a=20$, soit $a={\displaystyle \frac{20}{3}}$, qui n'est pas entier. Aucune de ces fonctions n'est linéaire. (1 pt) (1)
4. d)$f(-1)=-a+b=0$ donne $b=a$ ; avec $3a+b=20$ : $4a=20$, donc $a=5$ et $b=5$. C'est $f(x)=5x+5$ ; contrôle : $f(3)=20$ et $f(-1)=-5+5=0$. (1 pt) (1)

Méthode — pour ne rien oublier, on encadre l'inconnue ($1⩽a⩽6$) puis on passe en revue chaque valeur possible : l'encadrement prouve qu'il n'existe pas d'autre solution.

1. a)Sami a raison. Si $f(x)=kx$, alors $f(u+v)=k(u+v)=ku+kv=f(u)+f(v)$ par distributivité. (1 pt) (1)
2. b)Inès a raison. Avec $f(x)=ax+b$ : $3a+b=7a+b$ donne $4a=0$, donc $a=0$ et $f(x)=b$ pour tout $x$. (1 pt) (1)
3. c)Lou a tort. $1$ cm représente $50000$ cm $=0,5$ km ; un carré de $1$ cm de côté représente donc un carré de $0,5$ km de côté, d'aire $0,5^2=0,25$ km². (1 pt) (1)
4. d)Emma a tort. Le coefficient global est $1,1\times 1,1=1,21$ : c'est une hausse de $21\%$, car la seconde hausse porte sur un prix déjà augmenté. (1 pt) (1)

Erreur fréquente — les longueurs se multiplient par l'échelle, mais les aires par son carré ; de même, des évolutions successives se multiplient sous forme de coefficients, leurs pourcentages ne s'additionnent pas.

1. a)Cycliste : $c(t)=18t$, fonction linéaire (0,5 pt). À l'instant $t$, le piéton marche depuis $t-{\displaystyle \frac{1}{3}}$ heure et s'est rapproché de A de $6(t-{\displaystyle \frac{1}{3}})=6t-2$ km ; sa distance à A est $p(t)=42-(6t-2)=44-6t$, fonction affine (1 pt). (1,33333)
2. b)On résout $18t=44-6t$ : $24t=44$, donc $t={\displaystyle \frac{44}{24}}={\displaystyle \frac{11}{6}}$ h $=1$ h $50$ min ; ils se croisent à $9$ h $50$ (1 pt). Distance à A : $18\times {\displaystyle \frac{11}{6}}=33$ km ; contrôle : le piéton a marché de $8$ h $20$ à $9$ h $50$, soit $1,5$ h et $6\times 1,5=9$ km, et $42-9=33$ km (0,5 pt). (1,33333)
3. c)$18t=42$ donne $t={\displaystyle \frac{42}{18}}={\displaystyle \frac{7}{3}}$ h $=2$ h $20$ min : le cycliste arrive en B à $10$ h $20$ (0,5 pt). $p\left({\displaystyle \frac{7}{3}}\right)=44-6\times {\displaystyle \frac{7}{3}}=44-14=30$ : le piéton est à $30$ km de A, donc à $12$ km de B (0,5 pt). (1,33333)

Piège — le piéton part $20$ minutes plus tard : $20$ min $={\displaystyle \frac{1}{3}}$ h, et non $0,2$ h ; oublier ce décalage, ou mal le convertir, fausse l'heure de la rencontre.

1. a)$f(u)-f(v)=(au+b)-(av+b)=au-av=a(u-v)$. Comme $u\ne v$, $u-v\ne 0$ et l'on peut diviser : ${\displaystyle \frac{f(u)-f(v)}{u-v}}=a$. (1 pt) (1)
2. b)D'après la question précédente, $a={\displaystyle \frac{35}{2026-2016}}={\displaystyle \frac{35}{10}}=3,5$ (0,5 pt). Donc $f(2046)-f(2026)=a\times (2046-2026)=3,5\times 20=70$ (0,5 pt). (1)
3. c)Membre de gauche : $a\times {\displaystyle \frac{u+v}{2}}+b={\displaystyle \frac{au+av}{2}}+b$. Membre de droite : ${\displaystyle \frac{(au+b)+(av+b)}{2}}={\displaystyle \frac{au+av}{2}}+{\displaystyle \frac{2b}{2}}={\displaystyle \frac{au+av}{2}}+b$. Les deux membres sont égaux. (1 pt) (1)
4. d)Non. Contre-exemple avec $u=0$ et $v=2$ : $g\left({\displaystyle \frac{0+2}{2}}\right)=g(1)=1$, mais ${\displaystyle \frac{g(0)+g(2)}{2}}={\displaystyle \frac{0+4}{2}}=2\ne 1$. (1 pt) (1)

Méthode — pour une fonction affine, l'écart entre deux images est proportionnel à l'écart entre les nombres de départ, de coefficient $a$ : c'est ce qui permet de conclure sans connaître $b$.