Pourcentages d’évolution et coefficient multiplicateur

Coefficient de proportionnalité et valeur manquante. Donne un nombre.

1. Les nombres $4$ ; $6$ ; $10$ sont associés à $9$ ; $13,5$ ; $22,5$. Coefficient de proportionnalité :
   $9÷4=13,5÷6=22,5÷10=2,25$ : les quotients sont égaux, le coefficient est $2,25$.
2. $y$ est proportionnel à $x$ ; pour $x=16$, $y=6$. Coefficient $k$ tel que $y=k\times x$ :
   $k=6÷16=0,375$.
3. $y=1,25\times x$ et $y=8$ : $x=$
   On divise par le coefficient : $x=8÷1,25=6,4$.
4. $7$ cahiers identiques coûtent $16,10$ €. Prix d’un cahier : €
   Passage à l’unité : $16,10÷7=2,30$ € par cahier.

Quatrième proportionnelle et ratio. Donne un nombre.

1. Tableau de proportionnalité : $7\to 4,2$ et $12\to x$. $x=$
   Produit en croix : $x=4,2\times 12÷7=50,4÷7=7,2$.
2. $2,4$ kg de raisin coûtent $9,12$ €. Prix de $4,5$ kg : €
   $4,5\times 9,12÷2,4=41,04÷2,4=17,10$ €.
3. Une imprimante imprime $45$ pages en $2,5$ min. Nombre de pages en $7$ min :
   $45÷2,5=18$ pages par minute, puis $18\times 7=126$ pages.
4. On partage $120$ € dans le ratio $3:5$ : € et €
   $3+5=8$ parts de $120÷8=15$ € : $3\times 15=45$ € et $5\times 15=75$ €.

Échelles et partages. Donne un nombre.

1. Carte au $1/150000$ : $4,6$ cm représentent km
   $4,6\times 150000=690000$ cm $=6,9$ km ($1$ km $=100000$ cm).
2. Plan au $1/40000$ : une distance réelle de $2,6$ km est représentée par cm
   $2,6$ km $=260000$ cm et $260000÷40000=6,5$ cm.
3. Sur une carte routière au $1/1000000$, deux villes sont à $12,7$ cm l’une de l’autre. Distance réelle : km
   $12,7\times 1000000=12700000$ cm $=127$ km.
4. Sur un plan, un mur de $4,5$ m mesure $9$ cm. L’échelle est $1/n$ avec $n=$
   $4,5$ m $=450$ cm et $450÷9=50$ : $1$ cm sur le plan représente $50$ cm, l’échelle est $1/50$.
5. Le schéma d’une fourmi est à l’échelle $5/1$ : la fourmi y mesure $3,5$ cm. Longueur réelle de la fourmi : mm
   À l’échelle $5/1$, les longueurs du schéma sont $5$ fois plus grandes que les longueurs réelles : $3,5÷5=0,7$ cm $=7$ mm.
6. Trois associés ont apporté $5000$ €, $7000$ € et $3000$ €. Ils partagent un bénéfice de $2700$ € proportionnellement à leurs apports : € ; € ; €
   Ratio $5:7:3$, soit $15$ parts de $2700÷15=180$ € : $5\times 180=900$ €, $7\times 180=1260$ € et $3\times 180=540$ €.

Calcule.

1. $45\%$ de $320$ =
   $320\times 0,45=144$.
2. $12,5\%$ de $96$ =
   $12,5\%={\displaystyle \frac{1}{8}}$ ; $96÷8=12$.
3. $27$ élèves sur $75$, en pourcentage : %
   $27÷75=0,36=36\%$.
4. $75\%$ de $64$, de tête :
   $75\%={\displaystyle \frac{3}{4}}$ : $64÷4=16$, puis $3\times 16=48$.

Proportion, pourcentage et total.

1. Dans une classe de $25$ élèves, $7$ sont externes. Pourcentage d’externes : %
   $7÷25=0,28=28\%$.
2. Un pull de $360$ g contient $70\%$ de laine. Masse de laine : g
   $360\times 0,7=252$ g.
3. $30\%$ des places d’un concert, soit $84$ places, ont été vendues. Nombre total de places :
   $84÷0,3=280$ places. Contrôle : $280\times 0,3=84$.
4. $14\%$ d’une somme valent $63$ €. Cette somme vaut €
   $63÷0,14=450$ €. Contrôle : $450\times 0,14=63$.

Pourcentages de pourcentages et proportions de deux groupes.

1. $40\%$ des élèves d’un collège font du sport en club, et $25\%$ de ces sportifs jouent au football. Pourcentage des élèves du collège qui jouent au football en club : %
   $0,4\times 0,25=0,1$, soit $10\%$ des élèves du collège.
2. Classe A : $18$ filles sur $30$ élèves ; classe B : $14$ filles sur $25$ élèves. Pourcentage de filles dans la classe A : % ; dans la classe B : %
   $18÷30=0,6=60\%$ et $14÷25=0,56=56\%$.
3. Pourcentage de filles dans les deux classes réunies, arrondi au dixième : %
   $18+14=32$ filles sur $30+25=55$ élèves : $32÷55\approx 0,5818$, soit environ $58,2\%$. Ce n’est pas la moyenne de $60\%$ et $56\%$ : les classes n’ont pas le même effectif.

Coefficient multiplicateur.

1. Une hausse de $7\%$ revient à multiplier par
   $1+0,07=1,07$.
2. Une baisse de $23\%$ revient à multiplier par
   $1-0,23=0,77$.
3. Une hausse de $200\%$ revient à multiplier par
   $1+2=3$ : la valeur est triplée.
4. Une baisse de $0,5\%$ revient à multiplier par
   $1-0,005=0,995$.
5. Multiplier par $1,18$, c’est une hausse de %
   $1,18=1+0,18$ : hausse de $18\%$.
6. Multiplier par $0,66$, c’est une baisse de %
   $0,66=1-0,34$ : baisse de $34\%$.

Calcule la nouvelle valeur avec le coefficient multiplicateur.

1. $56$ € augmentés de $12,5\%$ : €
   $56\times 1,125=63$ €.
2. $250$ € diminués de $36\%$ : €
   $250\times 0,64=160$ €.
3. Un loyer de $580$ € augmente de $2,5\%$. Nouveau loyer : €
   $580\times 1,025=594,50$ €.
4. Une commune de $3600$ habitants perd $4\%$ de ses habitants. Nouvelle population : habitants
   $3600\times 0,96=3456$ habitants.

Évolution et fonction linéaire.

1. La fonction $f(x)=0,94x$ traduit une (écris « hausse » ou « baisse ») de %
   $0,94=1-0,06$ : plus petit que $1$, c’est une baisse de $6\%$.
2. Une hausse de $16\%$ est traduite par la fonction $f(x)=$ $x$
   $1+0,16=1,16$ : $f(x)=1,16x$.
3. La droite qui représente une évolution passe par l’origine et par le point $(80;92)$. Coefficient multiplicateur : ; c’est une hausse de %
   $92÷80=1,15=1+0,15$ : la fonction est $f(x)=1,15x$, c’est une hausse de $15\%$.
4. $f(x)=0,85x$ traduit une baisse. Image de $260$ : $f(260)=$
   $0,85\times 260=221$ : après une baisse de $15\%$, $260$ devient $221$.

Calcule le taux d’évolution, en % (avec un signe − pour une baisse).

1. De $48$ € à $54$ € : %
   ${\displaystyle \frac{54-48}{48}}={\displaystyle \frac{6}{48}}=0,125$ : hausse de $12,5\%$.
2. De $250$ € à $215$ € : %
   ${\displaystyle \frac{215-250}{250}}={\displaystyle \frac{-35}{250}}=-0,14$ : baisse de $14\%$.
3. De $1200$ à $1500$ visiteurs : %
   ${\displaystyle \frac{300}{1200}}=0,25$ : hausse de $25\%$.
4. De $80$ à $20$ : %
   ${\displaystyle \frac{20-80}{80}}={\displaystyle \frac{-60}{80}}=-0,75$ : baisse de $75\%$.

Retrouve la valeur de départ.

1. Après une hausse de $6\%$, une facture vaut $381,60$ €. Avant : €
   $381,60÷1,06=360$ €. Contrôle : $360\times 1,06=381,60$.
2. Après une baisse de $35\%$, un sac coûte $39$ €. Avant : €
   $39÷0,65=60$ €.
3. Après une baisse de $45\%$, une tablette coûte $41,80$ €. Avant : €
   $41,80÷0,55=76$ €.
4. Après une hausse de $150\%$, un nombre d’abonnés vaut $87,5$ milliers. Avant : milliers
   $87,5÷2,5=35$ milliers.

Taux d’évolution et raisonnement.

1. Un abonnement passe de $35$ € à $39,90$ €. Taux d’évolution : %
   ${\displaystyle \frac{39,90-35}{35}}={\displaystyle \frac{4,90}{35}}=0,14$ : hausse de $14\%$.
2. Une ville passe de $18400$ à $19600$ habitants. Taux d’évolution, arrondi au dixième : %
   ${\displaystyle \frac{1200}{18400}}\approx 0,0652$ : une hausse d’environ $6,5\%$.
3. Un prix baisse de $12$ € et vaut alors $84$ €. Taux d’évolution : %
   Prix de départ : $84+12=96$ €. ${\displaystyle \frac{-12}{96}}=-0,125$ : baisse de $12,5\%$ (on divise par le prix de départ, $96$, et non par $84$).

Deux évolutions à la suite.

1. Une hausse de $20\%$ puis une baisse de $20\%$ : coefficient global
   $1,2\times 0,8=0,96$ : une baisse de $4\%$.
2. Une baisse de $25\%$ puis une hausse de $10\%$ : taux d’évolution global %
   $0,75\times 1,1=0,825=1-0,175$ : une baisse de $17,5\%$.
3. Deux hausses successives de $30\%$ : taux d’évolution global %
   $1,3\times 1,3=1,69$ : une hausse de $69\%$, et non de $60\%$.

Évolutions répétées (arrondis demandés).

1. Un prix augmente de $5\%$ par an pendant $2$ ans. Hausse totale : %
   $1,{05}^2=1,1025$ : une hausse de $10,25\%$.
2. Une commune de $5000$ habitants augmente de $4\%$ par an pendant $3$ ans. Population au bout de $3$ ans, arrondie à l’unité : habitants
   $5000\times 1,{04}^3=5000\times 1,124864=5624,32$, soit environ $5624$ habitants.
3. Un appareil de $900$ € perd $20\%$ de sa valeur chaque année. Valeur au bout de $3$ ans : €
   $900\times 0,8^3=900\times 0,512=460,80$ €.
4. Au bout de combien d’années sa valeur devient-elle inférieure à la moitié de $900$ € ?
   $0,8^3=0,512$ : au bout de $3$ ans, il vaut encore plus de la moitié ($460,80$ €). $0,8^4=0,4096$ : au bout de $4$ ans, il vaut $368,64$ €, moins de $450$ €.

Évolution réciproque (complément) : quelle évolution ramène à la valeur de départ ?

1. Après une hausse de $300\%$ : une baisse de %
   Coefficient $4$ ; $1÷4=0,25=1-0,75$ : une baisse de $75\%$.
2. Après une baisse de $36\%$ : une hausse de %
   Coefficient $0,64$ ; $1÷0,64=1,5625$ : une hausse de $56,25\%$.
3. Après une baisse de $10\%$ : une hausse de % (arrondie au dixième)
   Coefficient $0,9$ ; $1÷0,9\approx 1,111$ : une hausse d’environ $11,1\%$.