Pourcentages d’évolution et coefficient multiplicateur

Rappels de 5ᵉ et de 4ᵉ (proportionnalité dans un tableau et sur un graphique, lien avec le théorème de Thalès, quatrième proportionnelle, ratio, échelle, proportions et pourcentage d’une quantité), coefficient multiplicateur d’une hausse ou d’une baisse et fonction linéaire associée, taux d’évolution, valeur de départ, évolutions successives et répétées, évolution réciproque en complément ; problèmes.

À propos de cette page

Six problèmes corrigés : une recette de crêpes, les soldes d’une veste avec deux démarques, les romans policiers d’une bibliothèque, le prix HT et la TVA, la population d’une ville entre 2020 et 2024 et un placement à 3 % par an.

6 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je lis l’énoncé et je repère la valeur de départ, la valeur d’arrivée et les pourcentages.
Je distingue une proportion (une partie d’un tout : « 36 % des livres ») d’une évolution (une hausse ou une baisse : « augmente de 3 % »).
Je traduis chaque évolution par son coefficient multiplicateur ; plusieurs évolutions à la suite : je multiplie les coefficients.
Je calcule : je multiplie pour avancer, je divise pour revenir au départ ; je garde les valeurs exactes et j’arrondis seulement à la fin.
Je vérifie l’ordre de grandeur (une hausse donne un résultat plus grand) et je réponds par une phrase, avec l’unité.

Problème 1 · Les crêpes★★★Facile

Pour

12

crêpes, il faut

250

g de farine,

3

œufs et

50

cL de lait. Les quantités sont proportionnelles au nombre de crêpes.

1. Masse de farine pour $30$ crêpes : g
$30 = 12 \times 2, 5$ : $250 \times 2, 5 = 625$ g (ou $250 \times 30 \div 12 = 625$ ).
2. Nombre d’œufs à prévoir pour $30$ crêpes (un nombre entier) :
$3 \times 2, 5 = 7, 5$ œufs : il faut en prévoir $8$ .
3. Avec $1$ L de lait, combien de crêpes au maximum ?
$1$ L $= 100$ cL $= 2 \times 50$ cL : $2 \times 12 = 24$ crêpes.
4. Avec un paquet de $1$ kg de farine, combien de crêpes au maximum ?
$1$ kg $= 1 000$ g $= 4 \times 250$ g : $4 \times 12 = 48$ crêpes.

Problème 2 · Les soldes★★★Facile

Une veste coûte

120

€. Elle est soldée à

- 30 %

, puis une seconde démarque de

15 %

s’applique sur le prix déjà soldé.

1. Prix après la première démarque : €
$120 \times 0, 7 = 84$ €.
2. Prix après la seconde démarque : €
$84 \times 0, 85 = 71, 40$ €.
3. Coefficient multiplicateur global :
$0, 7 \times 0, 85 = 0, 595$ .
4. Pourcentage de baisse total : %
$0, 595 = 1 - 0, 405$ : une baisse de $40, 5 %$ , et non de $30 + 15 = 45 %$ .

Problème 3 · La bibliothèque★★★Moyen

Une bibliothèque possède

1 500

livres.

36 %

sont des romans et, parmi les romans,

45 %

sont des romans policiers.

1. Nombre de romans :
$1 500 \times 0, 36 = 540$ romans.
2. Nombre de romans policiers :
$540 \times 0, 45 = 243$ romans policiers.
3. Pourcentage des livres de la bibliothèque qui sont des romans policiers : %
$243 \div 1 500 = 0, 162$ , soit $16, 2 %$ . On retrouve $0, 36 \times 0, 45 = 0, 162$ : $45 %$ de $36 %$ .
4. La bibliothèque achète $300$ livres, dont $120$ romans. Nouveau pourcentage de romans, arrondi au dixième : %
$540 + 120 = 660$ romans sur $1 500 + 300 = 1 800$ livres : $660 \div 1 800 \approx 0, 3667$ , soit environ $36, 7 %$ .

Problème 4 · Prix hors taxes et TVA★★★Moyen

En France, le prix affiché en magasin est le prix TTC (toutes taxes comprises) : c’est le prix HT (hors taxes) augmenté de la TVA. Le taux normal de TVA est

20 %

; le taux réduit de

5, 5 %

s’applique à la plupart des produits alimentaires achetés en magasin.

1. Un vélo coûte $350$ € HT, avec une TVA à $20 %$ . Prix TTC : €
$350 \times 1, 2 = 420$ €.
2. Une console est affichée $474$ € TTC, avec une TVA à $20 %$ . Prix HT : €
$474 \div 1, 2 = 395$ € : on divise par le coefficient multiplicateur (contrôle : $395 \times 1, 2 = 474$ ).
3. Des courses alimentaires valent $84$ € HT, avec une TVA à $5, 5 %$ . Prix TTC : €
$84 \times 1, 055 = 88, 62$ €.
4. Pour un article à $20 %$ de TVA, quel pourcentage du prix TTC la TVA représente-t-elle ? Arrondis au dixième : %
Pour un prix HT $x$ : TVA $= 0, 2 x$ et prix TTC $= 1, 2 x$ . $\frac{0, 2 x}{1, 2 x} = \frac{1}{6} \approx 0, 1667$ , soit environ $16, 7 %$ du prix TTC, et non $20 %$ : le pourcentage se calcule par rapport au prix HT.

Problème 5 · La population d’une ville★★★Difficile

Une ville comptait

24 000

habitants en 2020 et

25 200

habitants en 2022. Entre 2022 et 2024, sa population a baissé de

4 %

1. Taux d’évolution de la population entre 2020 et 2022 : %
$\frac{25 200 - 24 000}{24 000} = \frac{1 200}{24 000} = 0, 05$ : une hausse de $5 %$ .
2. Population en 2024 : habitants
$25 200 \times 0, 96 = 24 192$ habitants.
3. Taux d’évolution global entre 2020 et 2024 : %
$1, 05 \times 0, 96 = 1, 008$ : une hausse de $0, 8 %$ (et non de $5 - 4 = 1 %$ ).
4. Quelle évolution, entre 2024 et 2026, ramènerait la population à $24 000$ habitants ? Taux arrondi au centième : %
$\frac{24 000 - 24 192}{24 192} = \frac{- 192}{24 192} \approx - 0, 0079$ : une baisse d’environ $0, 79 %$ .

Problème 6 · Le placement★★★Difficile

Sami place

1 500

€ sur un compte qui rapporte

3 %

par an : chaque année, les intérêts s’ajoutent à la somme, qui augmente donc de

3 %

1. Somme au bout de $1$ an : €
$1 500 \times 1, 03 = 1 545$ €.
2. Somme au bout de $2$ ans : €
$1 545 \times 1, 03 = 1 591, 35$ €.
3. Somme au bout de $5$ ans, arrondie au centime : €
$1 500 \times 1, 03^{5} \approx 1 500 \times 1, 159274 \approx 1 738, 91$ €.
4. Hausse totale en $5$ ans, arrondie au centième : %
$1, 03^{5} \approx 1, 1593$ : une hausse d’environ $15, 93 %$ , un peu plus que $5 \times 3 = 15 %$ .
5. Au bout de combien d’années la somme dépasse-t-elle $1 800$ € pour la première fois ?
$1 500 \times 1, 03^{6} \approx 1 791, 08$ € : pas encore. $1 500 \times 1, 03^{7} \approx 1 844, 81$ € : c’est au bout de $7$ ans.

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