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Mathématiques 3ᵉ

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Fonctions linéaires et affines

Reprendre les acquis de 5e et de 4e (proportionnalité dans un tableau et sur un graphique, coefficient, pourcentages et coefficient multiplicateur) ; fonction linéaire f(x) = ax et proportionnalité (images, antécédents, coefficient à partir d’une valeur, linéarité) ; fonction affine f(x) = ax + b (coefficient directeur, ordonnée à l’origine, cas particuliers, reconnaître, images et antécédents) ; représentation graphique par une droite (tracer, lire a et b, sens de variation, droites parallèles) ; déterminer une fonction affine par deux valeurs et modéliser une situation.

À propos de cette page
Six problèmes corrigés modélisés par une fonction affine : les tarifs d’un dépanneur informatique, un réservoir qui fuit, la conversion entre degrés Celsius et Fahrenheit, le salaire d’un vendeur avec un pourcentage des ventes, une droite tracée par deux points et trois tarifs de location de skis à comparer.

6 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

  1. Je repère la partie fixe (abonnement, frais, quantité de départ) et la partie qui dépend de l’unité (prix par jour, débit, vitesse).
  2. J’écris f(x)=ax+b, avec a négatif si la quantité diminue ; je vérifie avec une valeur de l’énoncé.
  3. Je choisis l’outil : image → je remplace x ; antécédent → je résous ax+b=y ; deux offres → je résous f(x)=g(x).
  4. Je conclus avec l’unité et le bon sens (durée positive, nombre entier de jours) ; sur un graphique, l’offre la moins chère est la droite la plus basse.
Problème 1 · Le dépanneur informatique★★★Facile
Un dépanneur informatique facture 35 € de déplacement, puis 42 € par heure de travail. On note f(x) le prix, en €, pour x heures.
  1. 1. f(x)= x +
    Partie proportionnelle : 42x ; partie fixe : 35. Donc f(x)=42x+35.
  2. 2. Prix pour 2,5 heures : €
    f(2,5)=42×2,5+35=105+35=140 €.
  3. 3. Une facture s’élève à 287 €. Durée du travail : h
    42x+35=287 ; 42x=252 ; x=6 h.
  4. 4. De combien d’euros le prix de 5 h est-il inférieur au double du prix de 2,5 h ? €
    Double du prix de 2,5 h : 2×140=280 € ; prix de 5 h : f(5)=42×5+35=245 €. Écart : 35 €, les frais de déplacement comptés deux fois. Le prix n’est pas proportionnel à la durée : b=35≠0.
Méthodes utiles : Cas 3 Cas 5
Problème 2 · Le réservoir qui fuit★★★Facile
Un réservoir contient 450 L d’eau. À cause d’une fuite, il perd 18 L par heure. On note V(t) le volume, en L, après t heures.
  1. 1. V(t)= t +
    Le volume diminue de 18 L par heure : a=−18 ; volume de départ : b=450. V(t)=−18t+450.
  2. 2. Volume après 10 h : L
    V(10)=−180+450=270 L.
  3. 3. Au bout de combien d’heures le réservoir est-il vide ? h
    −18t+450=0 ; 18t=450 ; t=25 h.
  4. 4. Il reste le tiers du volume initial au bout de h min
    Le tiers de 450 L : 150 L. −18t+450=150 ; 18t=300 ; t=30018=503 h =16 h +23 h, soit 16 h 40 min.
Méthodes utiles : Cas 4 Cas 5
Problème 3 · Celsius et Fahrenheit★★★Moyen
La température en degrés Fahrenheit (°F) s’obtient à partir de la température x en degrés Celsius (°C) par F(x)=1,8x+32.
  1. 1. 25 °C en °F :
    1,8×25+32=45+32=77 °F.
  2. 2. −10 °C en °F :
    1,8×(−10)+32=−18+32=14 °F.
  3. 3. 98,6 °F en °C :
    1,8x+32=98,6 ; 1,8x=66,6 ; x=37 °C.
  4. 4. Pour quelle température les deux échelles indiquent-elles le même nombre ?
    1,8x+32=x ; 0,8x=−32 ; x=−40 : −40 °C =−40 °F.
Méthodes utiles : Cas 3 Cas 5
Problème 4 · Le salaire du vendeur★★★Moyen
Un vendeur gagne 1250 € fixes par mois, plus 4% du montant de ses ventes. On note S(x) son salaire pour x € de ventes.
  1. 1. S(x)= x +
    4%=0,04 : S(x)=0,04x+1250.
  2. 2. Salaire pour 12000 € de ventes : €
    0,04×12000+1250=480+1250=1730 €.
  3. 3. Ventes nécessaires pour gagner 2000 € : €
    0,04x+1250=2000 ; 0,04x=750 ; x=18750 €.
  4. 4. Un autre magasin propose 12% des ventes, sans fixe. Pour quel montant de ventes les deux offres rapportent-elles autant ? €
    0,12x=0,04x+1250 ; 0,08x=1250 ; x=15625 €. Au-delà, la droite de 0,12x passe au-dessus : les 12% rapportent plus.
Problème 5 · La droite tracée★★★Difficile
Dans un repère, une droite passe par A(−2;7) et B(4;−2). Elle représente une fonction affine f.
  1. 1. Coefficient directeur a :
    a=−2−74−(−2)=−96=−1,5.
  2. 2. Ordonnée à l’origine b :
    b=7−(−1,5)×(−2)=7−3=4. Contrôle : f(4)=−6+4=−2.
  3. 3. Abscisse du point où la droite coupe l’axe des abscisses, en fraction irréductible :
    −1,5x+4=0 ; 1,5x=4 ; x=41,5=83. Erreur à éviter : donner 2,67, qui n’est qu’une valeur approchée.
  4. 4. Le point C de la droite a pour ordonnée −11. Son abscisse :
    −1,5x+4=−11 ; −1,5x=−15 ; x=10. Erreur à éviter : calculer l’image f(−11) au lieu de l’antécédent.
Méthodes utiles : Cas 4 Cas 5
Problème 6 · La location de skis★★★Difficile
Tarif 1 : 21 € par jour. Tarif 2 : une carte à 45 €, puis 12 € par jour. Tarif 3 : un forfait illimité à 195 € pour la saison. On note x le nombre de jours.
  1. 1. Prix du tarif 2 pour 9 jours : €
    12×9+45=108+45=153 €.
  2. 2. Pour combien de jours les tarifs 1 et 2 coûtent-ils la même chose ?
    21x=12x+45 ; 9x=45 ; x=5 jours (105 €).
  3. 3. Prix le plus bas pour 3 jours : €
    Tarif 1 : 21×3=63 € ; tarif 2 : 36+45=81 € ; tarif 3 : 195 €. Avant 5 jours, la droite du tarif 1 est en dessous : 63 €.
  4. 4. À partir de combien de jours le tarif 3 devient-il le moins cher ?
    Au-delà de 5 jours, le tarif 2 est moins cher que le tarif 1. 12x+45>195 dès que 12x>150, soit x>12,5 : à partir de 13 jours (12×13+45=201 € >195 €).
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