Fonctions linéaires et affines

Le tableau $x\to y$ est un tableau de proportionnalité : $2\to 7$ ; $5\to$ … ; $8\to$ … ; … $\to 49$

1. Coefficient de proportionnalité :
   $7÷2=3,5$ : on multiplie par $3,5$.
2. Nombre associé à $5$ :
   $5\times 3,5=17,5$.
3. Nombre associé à $8$ :
   $8\times 3,5=28$.
4. Nombre $x$ associé à $y=49$ :
   On divise par le coefficient : $49÷3,5=14$.

Pourcentages et coefficient multiplicateur.

1. Augmenter de $12\%$ revient à multiplier par
   $1+{\displaystyle \frac{12}{100}}=1,12$.
2. Diminuer de $8\%$ revient à multiplier par
   $1-{\displaystyle \frac{8}{100}}=0,92$.
3. Un prix de $60$ € augmente de $15\%$. Nouveau prix : €
   $60\times 1,15=69$ €.
4. Multiplier par $0,7$ revient à diminuer de %
   $0,7=1-0,3$ : c’est une baisse de $30\%$.

Points alignés avec l’origine.

1. Les points $(4;6)$, $(10;15)$ et $(14;y)$ sont alignés avec l’origine : $y=$
   $6÷4=1,5$ et $15÷10=1,5$ : le coefficient est $1,5$, donc $y=14\times 1,5=21$.
2. Une droite passe par l’origine et par $(5;-4)$. Ordonnée de son point d’abscisse $-10$ :
   Coefficient : $(-4)÷5=-0,8$. Pour $-10$ : $(-0,8)\times (-10)=8$.
3. $4$ kg de pommes coûtent $9,80$ €, et le prix est proportionnel à la masse. Prix de $x$ kg : $y=$ $x$
   $9,80÷4=2,45$ €/kg : $y=2,45x$.

Calcule les images.

1. $f(x)=-3x$ : $f(4)=$
   $-3\times 4=-12$.
2. $f(x)=-3x$ : $f(-2,5)=$
   $(-3)\times (-2,5)=7,5$ (produit de deux négatifs : positif).
3. $f(x)=-3x$ : $f(0)=$
   Pour toute fonction linéaire, $f(0)=a\times 0=0$.
4. Une réduction de $25\%$ : $p(x)=0,75x$. $p(36)=$ €
   $0,75\times 36=27$ €.

Calcule les antécédents.

1. $f(x)=3x$. Antécédent de $-7,5$ :
   $3x=-7,5$, donc $x=-7,5÷3=-2,5$.
2. $g(x)=-0,5x$. Antécédent de $4$ :
   $-0,5x=4$, donc $x=4÷(-0,5)=-8$.
3. $h(x)=1,2x$. Antécédent de $18$ :
   $1,2x=18$, donc $x=18÷1,2=15$.

Retrouve le coefficient, puis utilise-le.

1. $f$ est linéaire et $f(9)=6$. Alors $f(15)=$
   $a={\displaystyle \frac{6}{9}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$ ; $f(15)={\displaystyle \frac{2}{3}}\times 15=10$.
2. $f$ est linéaire et $f(8)=-6$. Coefficient $a=$
   $a={\displaystyle \frac{-6}{8}}=-0,75$.
3. Augmenter de $40\%$ : $f(x)=$ $x$
   Coefficient multiplicateur : $1+0,4=1,4$, donc $f(x)=1,4x$.
4. $f$ est linéaire, $f(3)=4,5$ et $f(4)=6$. Sans calculer $a$, $f(7)=$
   Linéarité : $f(7)=f(3+4)=f(3)+f(4)=4,5+6=10,5$.

$g(x)=0,5x-4$. Calcule les images.

1. $g(10)=$
   $0,5\times 10-4=5-4=1$.
2. $g(-6)=$
   $0,5\times (-6)-4=-3-4=-7$.
3. $g(0)=$
   $g(0)=b=-4$ : c’est l’ordonnée à l’origine.

Nature de la fonction : réponds « linéaire », « affine » ou « ni l’une ni l’autre ». (Une fonction linéaire est aussi affine : réponds « linéaire » dans ce cas.)

1. $f(x)=2x+9$ :
   Forme $ax+b$ avec $b=9\ne 0$ : affine, non linéaire.
2. $f(x)=-x$ :
   $f(x)=-1\times x$ : $a=-1$ et $b=0$, linéaire.
3. $f(x)=x^2+1$ :
   Le carré empêche la forme $ax+b$.
4. $f(x)=7$ :
   $a=0$ et $b=7$ : fonction constante, cas particulier de fonction affine.
5. $f(x)={\displaystyle \frac{3}{x}}$ :
   $x$ est au dénominateur : ce n’est pas de la forme $ax+b$.

Lis ou calcule le nombre demandé (développe si besoin).

1. $f(x)=-2,5x+4$. Coefficient directeur :
   C’est le nombre qui multiplie $x$ : $-2,5$.
2. $g(x)=6-3x$. Coefficient directeur :
   $6-3x=-3x+6$ : $a=-3$ (et $b=6$).
3. $h(x)=2(x-5)$. Ordonnée à l’origine :
   $2(x-5)=2x-10$ : $b=-10$ (et $h(0)=2\times (-5)=-10$).
4. $k(x)=(x+1{)}^2-x^2$. Coefficient directeur :
   $(x+1{)}^2=(x+1)(x+1)=x^2+x+x+1=x^2+2x+1$, donc $k(x)=2x+1$ : $k$ est affine, $a=2$.

Calcule l’antécédent en résolvant une équation.

1. $g(x)=4x-9$. Antécédent de $11$ :
   $4x-9=11$ ; $4x=20$ ; $x=5$.
2. $h(x)=-0,5x+8$. Antécédent de $11$ :
   $-0,5x+8=11$ ; $-0,5x=3$ ; $x=3÷(-0,5)=-6$.
3. $k(x)=2x+7$. Antécédent de $0$ :
   $2x+7=0$ ; $2x=-7$ ; $x=-3,5$.

Réponds « croissante », « décroissante » ou « constante », ou donne le nombre demandé.

1. $f(x)=-0,4x+7$ est
   $a=-0,4<0$ : la fonction est décroissante, sa droite descend.
2. $g(x)=3x-8$ est
   $a=3>0$ : la droite monte.
3. $h(x)=5$ est
   $a=0$ : la droite est horizontale.
4. $m(x)=9-4x$. Quand $x$ augmente de $3$, $m(x)$ varie de
   $a=-4$ : $m(x)$ varie de $-4\times 3=-12$ (il diminue de $12$).

La droite $d$ ci-dessous représente une fonction affine $f$.

1. Ordonnée à l’origine :
   La droite coupe l’axe des ordonnées au point $(0;-4)$ : $b=-4$.
2. Coefficient directeur :
   De $(0;-4)$ à $(2;2)$, on avance de $2$ et on monte de $6$ : $a=6÷2=3$.
3. Le point $E(5;y)$ est sur $d$ : $y=$
   $f(x)=3x-4$, donc $y=f(5)=15-4=11$. Erreur à éviter : chercher l’antécédent de $5$ au lieu de son image.

Points et droites parallèles.

1. Le point $(4;y)$ est sur la droite de $f(x)=3x-2$ : $y=$
   $f(4)=12-2=10$.
2. La droite d’une fonction linéaire est parallèle à celle de $y=-2x+3$ : $y=$ $x$
   Parallèles : même coefficient directeur, $-2$ ; linéaire : $b=0$. C’est $y=-2x$.
3. La droite parallèle à celle de $y=0,5x+1$ passe par $(4;5)$. Son ordonnée à l’origine :
   Même $a=0,5$ : $y=0,5x+b$ avec $5=0,5\times 4+b$, donc $b=5-2=3$.
4. Le point $(-4;9)$ est sur la droite $y=ax+1$ : $a=$
   $9=a\times (-4)+1$ ; $-4a=8$ ; $a=-2$.

$f$ est affine, $f(3)=11$ et $f(7)=23$.

1. $a=$
   $a={\displaystyle \frac{23-11}{7-3}}={\displaystyle \frac{12}{4}}=3$.
2. $b=$
   $b=11-3\times 3=2$. Contrôle : $f(7)=21+2=23$.

Détermine $a$ et $b$, avec des nombres négatifs.

1. $f(-2)=9$ et $f(4)=-9$ : $a=$ et $b=$
   $a={\displaystyle \frac{-9-9}{4-(-2)}}={\displaystyle \frac{-18}{6}}=-3$ ; $b=9-(-3)\times (-2)=9-6=3$.
2. La droite passe par $A(1;2)$ et $B(5;4)$ : $a=$ et $b=$
   $a={\displaystyle \frac{4-2}{5-1}}={\displaystyle \frac{2}{4}}=0,5$ ; $b=2-0,5\times 1=1,5$.

Modélise par une fonction affine, puis utilise-la.

1. Un ballon-sonde est à $300$ m d’altitude et monte de $5$ m par seconde. Altitude après $t$ secondes : $h(t)=$ $t$ +
   Partie fixe : l’altitude de départ, $300$ ; partie proportionnelle : $5$ m par seconde. $h(t)=5t+300$.
2. Même ballon : au bout de combien de secondes atteint-il $2000$ m ? s
   $5t+300=2000$ ; $5t=1700$ ; $t=340$ s.
3. Un jardinier facture $15$ € de déplacement puis $24$ € par heure ; un autre facture $30$ € par heure, sans déplacement. Durée pour laquelle ils coûtent le même prix : h
   $24x+15=30x$ ; $15=6x$ ; $x=2,5$ h ($75$ € chez les deux).