Fiche de révision : notion de fonction

Rappels de 5e et de 4e (une grandeur en fonction d’une autre, formule, programme de calcul, question inverse, image et antécédent, proportionnalité) ; notation f(x) et f : x ⟼ …, calcul d’images ; antécédents par le calcul (équation du premier degré, carré, produit nul) ; tableau de valeurs et courbe représentative, point qui appartient à une courbe ; lecture graphique d’images, d’antécédents, de maximum et de minimum, résolution graphique d’une équation.

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benprofparticulier.frMathématiques · 3ᵉ

Fonctions : image, antécédent, notations

Fiche méthode

(Mathématiques 3ᵉ · Organisation et gestion de données, fonctions · Notion de fonction)

La démarche face à une question sur une fonction

1. Je repère ce qu’on me donne. Un nombre de départ $x$ ou un résultat $f (x)$ ? Une formule, un tableau ou une courbe ?

2. Pour une image, je remplace $x$ dans la formule ; dans un tableau, je lis sous le nombre ; sur une courbe, je vais de l’axe des abscisses à la courbe, puis à l’axe des ordonnées.

3. Pour des antécédents, je résous $f (x) = b$ ; dans un tableau, je parcours toute la deuxième ligne ; sur une courbe, je trace l’horizontale d’ordonnée $b$ et je lis l’abscisse de chaque point d’intersection.

4. Je vérifie en calculant l’image trouvée, puis je conclus avec le bon mot : « l’image de … est … », « … est un antécédent de … ».

Le réflexe — une image se calcule et elle est unique ; des antécédents se cherchent, et il peut y en avoir aucun, un ou plusieurs.

Cas 1 · Rappels : formule et question inverse

Réflexe — je fais le calcul avec un nombre simple, puis je remplace ce nombre par la lettre ; pour la question inverse, je défais les opérations à l’envers.

Exemple. Une imprimerie facture $15$ € de mise en page, puis $0, 40$ € par carte de visite. Écrire le prix $P$ de $n$ cartes, puis trouver $n$ pour un prix de $47$ €.

Pour $10$ cartes : $0, 4 \times 10 + 15$ ; donc $P = 0, 4 n + 15$ .

$47 - 15 = 32$ , puis $32 \div 0, 4 = 80$ : $80$ cartes. Vérification : $0, 4 \times 80 + 15 = 47$ .

Attention — pour la question inverse, je défais d’abord la dernière opération (ici l’addition de $15$ ), puis la multiplication.

Cas 2 · La notation f(x) : calculer une image

Réflexe — je recopie la formule en remplaçant $x$ par le nombre, entre parenthèses, puis je respecte les priorités.

Exemple. $f (x) = 3 x^{2} - x$ . Calculer $f (- 2)$ et $f (0, 5)$ .

$f (- 2) = 3 \times (- 2)^{2} - (- 2) = 12 + 2 = 14$ .

$f (0, 5) = 3 \times 0, 25 - 0, 5 = 0, 75 - 0, 5 = 0, 25$ .

Attention — $3 \times (- 2)^{2} = 12$ : le carré se calcule avant la multiplication, et $(- 2)^{2}$ est positif.

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Cas 3 · Chercher un antécédent par le calcul

Réflexe — je résous l’équation $f (x) = b$ , puis je vérifie en calculant l’image de la solution.

Exemple 1. $f (x) = 7 - 2 x$ . Trouver l’antécédent de $- 5$ .

$7 - 2 x = - 5$ , donc $- 2 x = - 12$ , donc $x = 6$ .

Vérification : $f (6) = 7 - 12 = - 5$ .

Exemple 2. $g (x) = x^{2} + 6$ . Antécédents de $42$ , de $6$ et de $1$ .

$x^{2} = 36$ : $6$ et $- 6$ . $x^{2} = 0$ : $0$ seulement.

$x^{2} = - 5$ : impossible, $1$ n’a aucun antécédent.

Attention — un carré positif a deux antécédents opposés : $x^{2} = 36$ donne $6$ et $- 6$ .

Cas 4 · Tableau de valeurs et courbe représentative

Réflexe — pour un point $(a; b)$ , je calcule $f (a)$ et je compare à $b$ ; dans un tableau, je lis toute la deuxième ligne.

Exemple. $f (x) = x^{2} - 2 x$ . Les points $C (- 3; 15)$ et $D (4; 10)$ sont-ils sur la courbe de $f$ ?

$f (- 3) = 9 + 6 = 15$ : $C$ est sur la courbe.

$f (4) = 16 - 8 = 8$ et $8 \neq 10$ : $D$ n’est pas sur la courbe.

Attention — l’abscisse vient en premier : $(a; b)$ sur la courbe veut dire $f (a) = b$ .

Cas 5 · Lire images et antécédents sur une courbe

Réflexe — image : de l’axe des abscisses vers l’axe des ordonnées ; antécédents : une horizontale, et tous les points d’intersection.

Exemple. L’horizontale d’ordonnée $3$ coupe la courbe de $f$ aux points d’abscisses $- 1$ et $2$ ; le point le plus bas de la courbe est $(1; - 4)$ .

$3$ a deux antécédents, $- 1$ et $2$ : $f (- 1) = 3$ , $f (2) = 3$ , et ce sont les solutions de $f (x) = 3$ .

Le minimum de $f$ est $- 4$ , atteint pour $x = 1$ ; $- 5$ n’a aucun antécédent.

Attention — les antécédents se lisent sur l’axe des abscisses ; la lecture est approchée, je vérifie par le calcul si j’ai la formule.

Les pièges

Lire $f (3)$ comme « $f$ fois $3$ » : c’est l’image de $3$ par $f$ .
Inverser image et antécédent : dans $f (- 1) = 8$ , $8$ est l’image de $- 1$ , et $- 1$ est un antécédent de $8$ .
Oublier un antécédent : $x^{2} = 81$ donne $9$ et $- 9$ ; une horizontale peut couper la courbe plusieurs fois.
Oublier les parenthèses : avec $f (x) = x^{2} + 1$ , $f (- 4) = (- 4)^{2} + 1 = 17$ , et non $- 15$ .
Lire un antécédent sur l’axe des ordonnées, ou croire qu’un nombre absent d’un tableau n’a pas d’antécédent.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche face à une question sur une fonction : repérer si l’on cherche une image ou un antécédent, puis calculer, lire un tableau ou lire une courbe. Un exemple corrigé par cas (prix de cartes de visite, f(−2), équation 7 − 2x = −5, point sur la courbe, lecture d’antécédents) et les pièges classiques.

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