Collège · 3ᵉ · Mathématiques
Notion de fonction
Définition, notation, image et antécédent, tableau de valeurs et lecture graphique — programme de 3e
Comprendre ce qu'est une fonction, calculer une image, chercher un antécédent, lire un tableau de valeurs et une courbe.
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Définitions et notation
- Une fonction f associe à chaque nombre x une seule image, notée f(x) (« f de x »).
- f(x) = 4x − 3 ou f : x ⟼ 4x − 3 ; f(2) = 5.
- Les parenthèses ne sont pas une multiplication.
- Une fonction peut être donnée par une formule, un tableau, une courbe ou un programme de calcul.
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Image et antécédent
- f(a) = b : b est l'image de a ; a est un antécédent de b.
- Image : unique, on calcule en remplaçant x (parenthèses si négatif).
- Antécédent : un, plusieurs ou aucun ; on résout f(x) = b.
- Fonction carré : 25 a deux antécédents (5 et −5), 0 un seul, −4 aucun.
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Tableau de valeurs
- Ligne du haut : x ; ligne du bas : f(x).
- Image : lire de haut en bas ; antécédent : lire de bas en haut (toutes les colonnes !).
- Il ne donne que quelques valeurs : il réfute une formule par un contre-exemple, mais ne prouve rien sur ce qu'il ne contient pas.
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Courbe et lecture graphique
- Courbe = ensemble des points (x ; f(x)). (a ; b) est sur la courbe ⟺ f(a) = b.
- Image de a : partir de a sur l'axe horizontal, monter jusqu'à la courbe, lire sur l'axe vertical.
- Antécédents de b : partir de b sur l'axe vertical, tracer l'horizontale, lire l'abscisse de chaque intersection.
- Lecture approchée : vérifier par le calcul si la formule est connue.
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Dans un problème
- La donnée est un x (km, minutes, côté) → calculer une image.
- La donnée est un résultat (prix, hauteur, aire) → chercher un antécédent (équation).
- Ex. taxi T(x) = 1,8x + 2,6 : T(12) = 24,2 € ; pour 38,6 €, résoudre 1,8x + 2,6 = 38,6 → 20 km.
- Une fonction concrète n'a de sens que sur certaines valeurs (x > 0…).
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Pièges à éviter
- Confondre image et antécédent : le nombre entre parenthèses est l'antécédent.
- Oublier un antécédent (fonction carré, courbe coupée deux fois).
- Écrire f(−3) = −9 pour la fonction carré : (−3)² = 9.
- Lire les antécédents sur le mauvais axe.
L'essentiel
- Une fonction associe à chaque x une seule image f(x).
- f(a) = b : b est l'image de a, a est un antécédent de b.
- Image : on calcule ; antécédent : on résout f(x) = b (plusieurs solutions possibles).
- Le point (a ; b) est sur la courbe si et seulement si f(a) = b.
- Tableau et courbe se lisent dans les deux sens ; le tableau reste partiel.
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